Algebra 0-17 geometria analityczna.pdf

Wykład16

Geometriaanalitycznacd.

Podziałliniistopniadrugiego

Ka»d¡lini¦przedstawion¡równaniem:

ax 2 +2 bxy + cy 2 +2 dx +2 ey + f =0 (1)

gdzie a,b,c,d,e,f 2 R nazywamylini¡stopniadrugiego.

Ka»derównaniestopniadrugiegoprzedstawia:elips¦,hiperbol¦,parabol¦,

dwieprostelubzbiórpusty.

Oznaczmy:

W =

abd

bce

def

w =

Twierdzenie1 GdyW 6 =0 torównanie (1) przedstawia:

(i) elips¦gdyw> 0 iaW< 0 ,zbiórpusty(elips¦urojon¡)gdyw> 0 i

aW> 0 ,

(ii) hiperbol¦gdyw< 0 ,

(iii) parabol¦gdyw =0

GdyW =0 torównanie (1) przedstawia:

(iv) dwieprzecinaj¡cesi¦prostegdyw< 0 ,

(v) punktgdyw> 0 ,

(vi) dwieprosterównoległe(lubrówne)gdyw =0 .

Dowód Dowódmo»naznale¹¢wksi¡»ceF.Leja”Geometriaanalityczna”

wyd.dziesi¡te,PWNWarszawa1966.

Przykład Zbadajmy,jak¡lini¦przedstawiarównanie ax 2 + y 2 − 4 x +6 y +7=

0,dlaró»nychwarto±ci a .Naszewyró»nikis¡równe:

W =

a 0 − 2

013

− 237

= − 2( a +2) ,w =

a 0

= a

(1)Niech w 6 =0tzn a 6 =0wtedymamy:

a x )+( y 2 +6 y )+7= a ( x − 2

a ) 2 +( y +3) 2 − 4

a − 9+7=0

a ( x 2 − 4

st¡d:

a ) 2 +( y +3) 2 = 4

a +2= 2(2+ a )

Krzywestopniadrugiegonazywamyte» krzywymisto»kowymi gdy»po-

wstaj¡onezprzeci¦ciasto»katrójwymiarowegoró»nymipłaszczyznami.

a ( x − 2