Algebra 2-08 równania stopnia 2, 3 i 4.pdf

Wykład8

Wzorynarozwi¡zywanierówna«stopnia2,3,4wciele C

Wszystkierozwa»aneturównaniamaj¡współczynnikizespolone.

Je±lirozwa»amyrównanie az 2 + bz + c =0toznamyalgorytmrozwi¡zy-

waniategorównania.

Rozwa»myterazrównaniestopnia3: az 3 + bz 2 + cz + d =0.Poka»emy

jakrozwi¡zywa¢takierównania.

Przypadek1. Niech b =0,awi¦cmamyrównanie az 3 + cz + d =0.Po

pierwszeje±li a 6 =0tomo»emynaszerównaniepodzieli¢obustronnieprzez

a .Iprzyjmuj¡c,»e s = c a , t = d a ,otrzymujemyrównanie:

z 3 + sz + t =0

Przedstawmyrozwi¡zanietegorównaniawpostaci z = + wtedyotrzy-

mujemy:

( + ) 3 + s ( + )+ t =0

st¡d:

3 +3 2 +3 2 + 3 + s ( + )+ t =0

idalej:

3 + 3 +3 ( + )+ s ( + )+ t =0

awi¦c:

3 + 3 + t +( + )(3 + s )=0

Torównaniejestspełnionemi¦dzyinnymiwprzypadkugdy:

3 + 3 = − t

3 = − s

Podzielmydrugierównanieprzez3ipodnie±mydotrzeciejpot¦gi:

3 + 3 = − t

3 3 = − s 3

Wstawmy u za 3 i v za 3 wtedyotrzymujemy:

u + v = − t

uv = − s 3

Obliczmy u zdrugiegorównaniaiwstawmydopierwszego:

27 v + v = − t

− s 3

Pomnó»myobiestronyprzez v :

− s 3

27 + v 2 = − tv

przenie±mynajedn¡stron¦:

27 =0

Otrzymali±myzale»no±¢kwadratow¡na v ,atakierównaniaumiemyrozwi¡-

zywa¢.Tonampozwoliwyznaczy¢ v ,oraz u .Zwi¦crównie» i .Coda

namrozwi¡zaniewyj±ciowegorównania.

Przykład Rozwi¡za¢opisan¡powy»ejmetod¡równanie x 3 +3 x − 4=0.

Przypadek2. Je±li b 6 =0todokonujemypodstawienia: z = y − b 3 a .Iotrzy-

mujemyrównanie:

v 2 + tv − s 3

a 1 z 3 + c 1 z + d 1 =0

gdzie a 1 = a,c 1 =3 as 2 − 2 bs + c,d 1 = s 2 − cs + d − as 3 , s = b 3 a .Awi¦cotrzymu-

jemyrównaniezprzypadkupierwszego.Je±lipotraﬁmyrozwi¡za¢równanie

a 1 z 3 + c 1 z + d 1 =0topotraﬁmyrównie»rozwi¡za¢równaniewyj±ciowe.

Przykład Rozwi¡za¢równanie x 3 − 2 x 2 − x +2=0.

Rozwa»myterazrównaniestopnia4: az 4 + bz 3 + cz 2 + dz + e =0.Podobnie

jakpoprzedniorozpatrzymydwaprzypadki:

Przypadek1. Załó»my,»e b =0.Wtedymamyrównanie: az 4 + cz 2 + dz + e =

0.Podzielmynaszerównanieobustronnieprzez a iwstawmy: s = c a ,t = d a ,r =

z 4 + sz 2 + tz + r =0

Spróbujmyrozło»y¢wielomiannailoczyndwóchwielomianówstopnia2:

z 4 + sz 2 + tz + r =( z 2 + z + )( z 2 + z + )

Obliczmy:

( z 2 + z + )( z 2 + z + )= z 4 +( + ) z 3 +( + + ) z 2 +( + ) z +

Poporównaniuzrównaniemwyj±ciowymotrzymujemyukładrówna«:

> > > <

+ =0

+ + = s

+ = t

= r

> > > :

a .Wtedyrównanieprzybieraposta¢:

Terazkorzystaj¡czpierwszegorównaniamo»emywsz¦dziepozby¢si¦zmien-

nej .

+ − 2 = s

− = t

= r

Przekształcaj¡cdwapierwszerównaniaotrzymujemy:

(

> :

+ = s + 2

− = t

2 = s + 2 + t

2 = s + 2 − t

Wymnó»myterazterównaniaprzezsiebie:

4 =( s + 2 − t

)( s + 2 + t

)

wiemyte»»e = r ,awi¦cotrzymujemyrównanie:

)( s + 2 + t

)= s 2 +2 s 42 − t 2

Wymnó»mytorównanieprzez 2 :

4 r 2 = s 2 +2 s 6 − t 2

Wstawmyza 2 zmienn¡ u wtedyotrzymamy:

4 ru = s 2 +2 su 3 − t 2

Otrzymali±myrównaniastopnia3nazmienn¡ u topozwalanamwyznaczy¢

u (stosujemypoprzednialgorytm).Aje±limamy u toznamyrównie» ,a

wi¦crównie» i .

Przypadek2. Je±liwrównaniu az 4 + bz 3 + cz 2 + dz + e =0mamy b 6 =0

topodobniejakwprzypadkurówna«stopnia3mo»emysi¦pozby¢współ-

czynnikaprzytrzyciejpot¦dzedokonuj¡cpodstawienia z = y − b 4 a .Idalej

rozwi¡zujemyrównaniejakwprzypadkupoprzednim.

> <

(

Anast¦pniedodaj¡ciodejmuj¡cstronamitedwaostatnierównaniaotrzy-

mujemy:

4 r =( s + 2 − t

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: