Niektórzy z nas pamiętają zapewne szkolne „boje o kalkulatory" sprzed kilkunastu lat. Wynalezienie małego i taniego układu elektronicznego, który najpierw „nauczył się" wykonywać cztery działania arytmetyczne, potem zaś także obliczać wartości funkcji trygonometrycznych, logarytmować, potęgować, wreszcie szkicować wykresy na specjalnym ekraniku, rozpętało wówczas zajadłą dyskusję. Czy można pozwolić, by uczeń korzystał z takiego urządzenia czy też należy zmusić go do robienia obliczeń „na piechotę"?
Było to (a ze wstydem należy powiedzieć: do dziś w niektórych szkołach jest nadal) pytanie stawiane niezwykle ostro i pryncypialnie. Nauczyciele starej daty byli oczywiście przeciw, dostrzegając w ręcznie realizowanych rutynach obliczeniowych „dyscyplinowanie umysłu" i „podstawę matematycznego myślenia". Rozdzierano szaty:, co to będzie, gdy absolwent szkoły nie będzie potrafił z ołówkiem w ręce obliczyć na kartce wyniku działania typu 842 razy 1234? Upadek i katastrofa!
Okno programu Derive do Windows'95. Po lewej stronie obliczenia; w pierwszym wierszu wprowadziłem „po swojemu" pewien wielomian, w drugim program pokazuje, „jak go rozumie", w trzecim nakazałem znaleźć pierwiastki tego wielomianu. Czwarty wiersz (nie w pełni widoczny) zawiera wyprowadzone wzory. Piąty, szósty i siódmy to znane funkcje trygonometryczne, których wykresy są w oknie po prawej
Nie brano przy tym pod uwagę, że już wtedy na ogół nikt nie potrafił w ten sposób obliczyć... pierwiastka kwadratowego (czego niżej podpisanego starannie uczono jeszcze w latach pięćdziesiątych); i jakoś świat się nie zawalał. Nie chciano zauważyć, że dozwolone już wtedy, (choć też nie bez darcia szat) stosowanie przez ucznia tablic logarytmicznych niczym się w zasadzie nie różni od posługiwania się najwymyślniejszym kalkulatorem. Różnica polega na tym tylko, iż kalkulator jest lżejszy i poręczniejszy. A jednak ów nieszczęsny gadżet elektroniczny budził emocje na skalę sporu o Największe Wartości...
Mało ludzi przewidywało wówczas, że rewolucja pójdzie jeszcze znacznie, znacznie dalej. Spowodował ją oczywiście komputer, do którego podchodzono zrazu paradoksalnie! znacznie łagodniej niż do kalkulatora; może dlatego, iż machina ta z początku była dostępna tylko wybranym, trudna w obsłudze i nie zagrażała w żaden sposób interesom kiepskich nauczycieli. Ale i tu nie obeszło się bez awantury.
Te same trzy funkcje trygonometryczne i ich wykresy, wykonane przez program Derive do systemu DOS
Obliczenia komputerowe wymagały na początku osobistego programowania; to było trudne. W dodatku obliczenia te były czysto numeryczne, co z grubsza oznacza tyle, że komputerowi podaje się pewne dane w postaci liczb, on zaś także w postaci liczbowej zwraca wynik. Powiedzmy, iż trzeba rozwiązać równanie kwadratowe: wprowadzamy komputerowi współczynniki (dla przykładu, 1, 2, 1), a on odpowiada nam, że pierwiastkiem tego równania jest określona liczba (w naszym wypadku: 1). Przy takim postępowaniu komputer realizuje tylko sam „goły" proces obliczeniowy (oblicza na przykład wyróżnik równania, pierwiastkuje go i wykonuje odpowiednie działania arytmetyczne we właściwej kolejności). „Myślenie" (tu: programowanie) pozostawione jest człowiekowi; taki podział zadań nie budzi oporów nawet u największych konserwatystów.
Narzuca się jednak kolejny krok: po cóż za każdym razem pisać sekwencję poleceń dla maszyny od nowa? Czy nie można napisać programu rozwiązywania równań kwadratowych „raz na zawsze" i pozostawić człowiekowi tylko „wpalcowanie" współczynników? W ten sposób zamienimy komputer w coś w rodzaju kalkulatora, który poza innym wbudowanymi funkcjami będzie rozwiązywał automatycznie równania drugiego stopnia...
Tak z kolei kreśli funkcje taniutki program Graphmatica
No to idźmy dalej: napiszmy, jeśli potrafimy (i może skierujmy do sprzedaży, na rynek), program, który rozwiąże równanie dowolnego stopnia, nie tylko kwadratowe! A może potrafimy napisać program, który rozwiąże numerycznie z dowolną założoną dokładnością dowolne równanie z jedną niewiadomą? A może uda nam się napisać program, który potrafi numerycznie obliczać całki, pochodne, sumy szeregów nieskończonych?
Uda się. Potrafimy to od dawna. Odpowiednie algorytmy są nam znane od dziesiątków a niekiedy setek lat. W ten sposób człowiek otrzymuje (w postaci pakietu odpowiednich programów) niezwykle potężny superkalkulator, dla którego obliczenie pola obszaru, ograniczonego złożoną krzywą, czyli w istocie wykonanie naprawdę skomplikowanego działania wyższej matematyki, którym jest całkowanie jest zupełnym banałem...
Program Derive do Windows pozwala „wyciągnąć" obraz powierzchni i umieścić go w dowolnym innym programie
Przeciętny człowiek dziś zwłaszcza przyjmuje to już do wiadomości i nie dziwi się. W końcu, wiadomo: komputer to maszyna do liczenia na tyle złożona, że może wykonywać i takie niemiłe rachunki; po to ją wymyślono.
Postawmy jednak zadanie inaczej: zastanówmy się, co by to było, gdyby komputer potrafił rozwiązać równanie kwadratowe w liczbach ogólnych; innymi słowy, gdybyśmy mu podali nie konkretne współczynniki, ale symbole? Na przykład, gdybyśmy mu powiedzieli, że interesuje nas rozwiązanie równania, w którym przy drugiej potędze niewiadomej występuje jakieś a, przy pierwszej b, wyrazem wolnym jest c... Cóż by to znaczyło:, że komputer rozwiąże tak postawiony problem?
A oto arkusz obliczeń w Derive, wyciągnięty, podobnie jak poprzedni, jako grafika. W ostatnim wierszu widzimy wynik rozkładania na czynniki pierwsze olbrzymiej liczby 2123 +1
Otóż nic innego ponad to, iż potrafiłby on... wyprowadzić wzory na pierwiastki równania kwadratowego! A gdyby potrafił tak postąpić z dowolnym równaniem z pewnej klasy? A gdyby potrafił całkować i różniczkować symbolicznie? Czyż nie stałby się w jakiejś mierze matematykiem?
I czy gdyby to potrafił można by pozwolić używać go w ten sposób w szkole? Już nie po to, by znaleźć wartość funkcji sinus 30 stopni, co robi kalkulator i na co z niechęcią się godzimy, ale po to, by na przykład zwinąć wyrażenie trygonometryczne w iloczyn albo sprawdzić jakąś tożsamość? Czego byśmy mieli tak uzbrojonego ucznia nauczać?
Nie jest to żadna futurystyka. Programy wykonujące obliczenia symboliczne znane są od wielu lat; najpierw napisano je dla wielkich komputerów typu mainframe (słynny program REDUCE), potem przeniesiono na komputery osobiste. Wymieńmy kilka nazw: Maple, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Theorist, Eureka, Scientific Notebook1, Derive... Ten ostatni program, od niedawna dostępny również w wersji do użycia z systemem Windows2 (zarówno w wersji 3.x, jak i Windows 95), był reklamowany niegdyś sloganem dwa tysiące lat pracy matematyków na jednej dyskietce; i proszę mi wierzyć, że nie ma w tym wielkiej przesady: niebywale pomysłowo napisany i szybko działający program rozwiązuje równania różniczkowe, bez problemu radzi sobie z rachunkiem macierzowym i geometrią różniczkową czy funkcjami specjalnymi albo działaniami na zbiorach abstrakcyjnych nie mówiąc oczywiście o „banalnych" badaniach krzywych i powierzchni czy rozwiązywaniu „zwykłych" równań albo problemów z dziedziny teorii liczb. To właśnie te programy realizują tytułową algebrę komputerową. Są one na ogół dość kosztowne (taka Mathematica to ciężkie tysiące nowych złotówek), ale można znaleźć i programy bardzo tanie rzecz jasna, najczęściej o minimalnych możliwościach, na przykład ograniczonych do funkcji analizy graficznej, jak chociażby shareware'owa sympatyczna Graphmatica.
Piękny przykład wstęgi Möbiusa, wykonany za pomocą programu Mathcad
Powtórzmy: czy można takie programy dać do ręki uczniom i studentom?
Otóż: można i należy. Oczywiście, w takiej sytuacji uczenie zwykłych rutyn obliczeniowych czy wyprowadzania prostych wzorów (nie mówiąc już o wkuwaniu na pamięć samych wzorów!) kompletnie i dogłębnie traci sens. Obliczanie staje się środkiem do jakiegoś celu, a nie celem samym w sobie. Matematyka staje się po części nauką empiryczną (eksperymentuję z jakąś klasą równań, badam praktycznie jakieś krzywe czy powierzchnie, szukam prawidłowości, jak szuka ich biolog albo fizyk...), po części zaś jakąś ogromnie abstrakcyjną sztuką tworzenia i dostrzegania analogii już nie między zadaniami ani nawet teoriami, ale analogii między analogiami...
Ekran programu Scientific Notebook, na którym wykonano całkowanie nieoznaczone pewnej funkcji, której wykres jest w części dolnej
Nauczyciel matematyki szkolny czy akademicki zostanie zmuszony do nauczania formułowania problemów, szukania nowych dróg, rozumienia abstrakcyjnej istoty pojęć matematycznych, słowem myślenia, i to par excellence, twórczego. Jego zadanie stanie się znacznie trudniejsze niż dziś oraz wymagać będzie dużo wyższych kwalifikacji. I głównie, dlatego właśnie nie mam osobiście złudzeń: mimo istnienia wersji o bardzo wysokich numerach tych wszystkich cudownych programów (Mathcad: już wersja 6, Derive: 4 i tak dalej), co oznacza, iż jest to już od dawna komputerowa codzienność, jeszcze przez długie lata nie trafią one powszechnie do szkół i będą budziły opór daleko większy i bardziej zasadniczy niż poczciwy staruszek kalkulator. Opór niskokwalifikowanej kadry i jej zwierzchników odegra tu większą rolę niż faktycznie wysokie koszta wprowadzenia takiej rewolucji do szkół, to pewne.
Ale w końcu opór zostanie pokonany, a ceny spadną. Wspomnicie moje słowa: być może, wasze dzieci, a z pewnością wnuki, nie będą już klepały sinus a plus be równa się dwa sinus a plus be przez dwa razy...
MAXXDATA