Wykład I (16.03.2003)
POJĘCIE MODELU EKONOMETRYCZNEGO.
Modelem ekonometrycznym nazywamy konstrukcję formalną, która za pomocą jednego równania bądź też wielu równań odwzorowuje zasadnicze powiązania ilościowe zachodzące między badanymi zjawiskami ekonomicznymi.
Elementami modelu będą:
1. zmienne objaśniane
2. zmienne objaśniające
3. składnik losowy
4. parametry strukturalne modelu
Zmienne objaśniane – to wyróżnione zjawiska ekonomiczne, które są opisywane (wyjaśniane) przez poszczególne równania modelu. Zmienne te noszą także nazwę zmiennych endogenicznych.
Zmienne objaśniające – to zmienne służące do opisu (wyjaśniania) zmian zmiennych objaśnianych. W modelach wielorównaniowych zmienne objaśniające dzielą się na zmienne egzogeniczne oraz endogeniczne innych równań.
Zmienne egzogeniczne to takie zmienne objaśniające, które nie są wyjaśniane przez żadne równania modelu.
Zmienne endogeniczne innych równań to takie zmienne, które w danym równaniu pełnią rolę zmiennych objaśniających i są opisywane przez inne równanie modelu.
W grupie zmiennych egzogenicznych i endogenicznych pełniących rolę zmiennych objaśniających mogą się pojawić zmienne opóźnione w czasie.
Opóźnioną zmienną egzogeniczną (endogeniczną) nazywamy zmienną odnoszącą się do wcześniejszych okresów niż okres bieżący „t”.
Zmienne opóźnione w czasie wraz ze zmiennymi egzogenicznymi tworzą grupę zmiennych z góry ustalonych.
Przykład I
Zbudujemy jednorównaniowy model ekonomiczny popytu na dobro A. Jeżeli model potraktujemy jako „układ hipotez” to konstrukcja modelu będzie się opierała na hipotezach:
1. popyt na dobro A w okresie t zależy od poziomu dochodów przypadających na 1 mieszkańca, ceny dobra A oraz ceny dobra substytucyjnego B.
Yt = ƒ ( x1t, x2t, x3t, xt) (1)
gdzie:
Yt - poziom popytu na dobro A w okresie t
x1t – poziom dochodów na 1 mieszkańca w okresie t
x2t – poziom ceny dobra A w okresie t
x3t – poziom ceny dobra substytucyjnego B w okresie t
xt – składnik losowy modelu.
2. popyt na dobra A w okresie t zależy od poziomu popytów w okresie poprzednim ceny dobra A oraz ceny dobra komplementarnego C w okresie t.
Yt = ƒ ( Yt-1, x2t, x4t, xt ) (2)
Yt – popyt na dobra A w okresie t
Yt-1 – poziom popytu na dobro A w okresie poprzednim
X2t – poziom ceny dobra A w okresie t
X4t – poziom ceny dobra komplementarnego C w okresie t
Ogólny zapis modelu 1 i 2 wymaga określenia typu funkcji f.
Typ zależności f jest określany na podstawie danych empirycznych.
Celem ekonometryka na ogół nie jest weryfikacja jednej hipotezy lecz ustalenie takiej hipotezy, która byłaby dobrze uzasadniona przez materiał statystyczny, a więc w wykresie pewnej ilościowej prawidłowości ekonomicznej.
Przykładem modelu wielorównaniowego jest np. układ 3 funkcji liniowych:
Pt = a11 Zt + a12 Mt-1 + a13 It + a10 + x1t
Zt = a21 Zt-1 + a22 It + a23 Mt-1 + a20 + x2t
It = a31 It-1 + a32 Pt + a30 + x3t (3)
Model ten wyjaśnia wzajemne zależności między wielkością produktu krajowego brutto (P), zatrudnieniem (Z), inwestycjami (I) oraz produkcyjnym majątkiem trwałym (M).
W I równaniu zmienną objaśniającą jest zmienna mierząca poziom produktu krajowego brutto w okresie t (Pt jest zmienna endogeniczna), natomiast zmiennymi objaśniającymi są zmienne mierzące rozmiary zatrudnienia (Z), wartość majątku trwałego w okresie poprzednim i poziom inwestycji w okresie t.
II równanie – zmienna mierząca rozmiary zatrudnienia jest wyjaśniane przez II równanie modelu. Czyli zmienna Zt jest zmienną endogeniczną drugiego równania. Podobnie zmienna mierząca poziom inwestycji jest wyjaśniona przez III równanie modelu .czyli poziom inwestycji jest zmienną objaśniającą I równania i zmienną endogeniczną III równania jednocześnie.
Zmienna mierząca wartość majątku trwałego nie jest wyjaśniona przez żadne równanie modelu, a więc jest zmienną egzogeniczną, jest opóźnioną zmienną egzogeniczną.
Lewa strona: zmienne objaśniane; prawa strona: zmienne objaśniające
Parametry aij to parametry strukturalne modelu, natomiast x1t , x2t, x3t to składniki losowe.
Parametry strukturalne modelu są to parametry wyrażające ilościowy wpływ danej zmiennej przy której występują na zmienną endogeniczną.
Są one szacowane na podstawie danych statystycznych.
Składnik losowy x (ksi) w modelu wynika z konieczności uwzględnienia:
1. wpływu wszystkich czynników mało istotnych nie wyspecyfikowanych w równaniu, a które oddziałują na zmienną endogeniczną.
2. różnic między przyjętą postacią analityczną modelu a istniejącą zależnością rzeczywistości
3. błędów pomiarów zmiennych
4. czynników losowych wywołujących wpływ na zmienną endogeniczną.
Składnik losowy x jest zmienną losową a wartości oczekiwanej = 0. Jest to zmienna o rozkładzie normalnym.
KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH.
Istnieje wiele kryteriów klasyfikacji modeli ekonometrycznych.
Ze względu na postać analityczną związków zmiennych i parametrów modele dzielą się na :
1. liniowe
2. nieliniowe sprowadzane do liniowych (wykładnicze, potęgowe, logarytmiczne)
3. nieliniowe nie sprowadzalne do liniowych.
Yt = a tb
model trendu potęgowego, sprowadzany do liniowego poprzez logarytmowanie
ln Yt = ln a + b ln t
Yt = a + bt + ct2 trend paraboliczny, niesprowadzalny do liniowego
Podział ten jest istotny z punktu widzenia estymacji parametrów modelu, gdyż modele liniowe i sprowadzalne do liniowych można szacować stosunkowo prostymi metodami (metoda najmniejszych kwadratów).
Modele nieliniowe nie sprowadzalne do liniowych wymagają specjalnych metod estymacji nieliniowej.
Ze względu na udział czynnika czasu, a tym samym na własności dynamiczne czasu, modele dzielą się na statystyczne i dynamiczne.
Model statystyczny – to taki model, w którym zmienne endogeniczne występują bez ograniczeń czasowych, a w zbiorze zmiennych objaśniających nie występuje zmienna czasowa.
Przykładem modelu statystycznego jest ekonometryczny model kosztów całkowitych w przedsiębiorstwie. Ma on postać:
Kt = a0 + a1 Qt + xt (4)
Kt – poziom kosztów całkowitych w okresie t
Qt – poziom produkcji w okresie t.
Model dynamiczny to każdy model w którym występuje zmienna losowa jako zmienna egzogeniczna lub wystepują zmienne z opóxnieniem losowym.
Przykład:
Kt = a0 + a1 Qt + a2 t + xt (5) - model kosztów całkowitych
Wprowadzony czas wynika z faktu, dlatego, że koszty całkowite często wykazują trend wzrostowy lub spadkowy. Często się tez zdarza, że koszty całkowite zależą również od kosztów w okresie poprzednim.
Kt = a0 + a1 Qt + b1 Kt-1 + xt
Ze względu na walory poznawcze modele ekonometryczne dzielimy na:
1. przyczynowo – opisowe
2. symptomatyczne
3. tendencje rozwojowe
Modele przyczynowo – opisowe to takie modele w których odzwierciedlone są powiązania przyczynowo –skutkowe między zmiennymi. Oznacza to, że zmienne endogeniczne Y pełnią rolę skutku, a zmienne objaśniające role przyczyn.
Modele symptomatyczne to modele w których jedyna zmienną endogeniczną a zmiennymi objaśniającymi zachodzi silna korelacja. Modele takie stosuje się wtedy, gdy brak jest podstaw do orzekania o przyczynowości badanej relacji ekonomicznej.
Modele tendencji rozwojowej to takie modele w których jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna czasowa t. Zadaniem tych modeli jest wyjaśnianie zmian w czasie zmiennych endogenicznych.
Ponieważ bardzo wiele procesów ekonomicznych charakteryzuje się regularnymi zmianami w czasie, poznanie tych zmian ma bardzo istotne znaczenie dla oceny ich przebiegu.
Ze względu na sposób powiązań między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi modele wielorównaniowe dzielą się na :
1. proste
2. rekurencyjne
3. o równaniach współzależnych
Modele proste to takie modele w których zbiorze zmiennych objaśniających występują zmienne egzogeniczne i opóźnione zmienne endogeniczne.
W modelach rekurencyjnych występuje jednokierunkowy charakter między zmiennymi endogenicznymi.
Y1t ® Y2t ®Y3t
Y1t ¬ Y2t ¬Y3t
W modelach o równaniach współzależnych występuje sprężania zwrotne (bezpośrednie lub pośrednie) między zmiennymi endogenicznymi np.
Y1t « Y2t ®Y3t
Y1t ® Y2t «Y3t
Y1t « Y2t «Y3t
W celu zbadania czy model jest prosty rekurencyjny czy o równaniach współzależnych należy stwierdzić jaką postać ma macierz parametrów przy nieopóźnionych zmiennych endogenicznych.
Jeżeli macierz parametrów przy nieopóźnionych zmiennych endogenicznych B jest diagonalna to model jest prosty. Jeżeli jest trójkątna to model jest rekurencyjny. Jeżeli nie jest diagonalna i nie trójkątna to model jest o równaniach współzależnych.
W celu uzyskania macierzy B należy wszystkie zmienne wraz z parametrami przenieść na lewa stronę poszczególnych równań.
Model III
Pt - a11 Zt - a12 Mt-1 It - ...
Minnie_