metryki matematyka.pdf

ROZDZIAl 1

Pojecie przestrzeni metrycznej

Definicja 1.1.

Dowolny niepusty zbior X z funkcja ‘ : X × X !

[0, 1 ), spelniaja ‘ ca ‘ nast ‘ puja ‘ ce trzy warunki

M1: (x, y) = 0 , x = y,

M2: (x, y) = (y, x),

M3: (x, z) (x, y) + (y, z),

dla dowolnych x, y, z 2 X, nazywamy

naczamy symbolem (X, ). Funkcj ‘ nazywamy metryka ‘ w X, elemen-

przestrzenia ‘ metryczna ‘ i oz-

ty zbioru X—punktami, a wartosc (x, y)— odlegloscia ‘ mi ‘ dzy punk-

tami x, y w przestrzeni metrycznej (X, ). Warunek M3 zwie si ‘

nie-

rownoscia ‘ trojka ‘ ta .

Jesli rozwazamy przestrzen metryczna ‘ z ustalona ‘ jedna ‘ metryka ‘ ,

to zamiast pisac (X, ), b ‘ dziemy po prostu pisac X.

niepustego podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, ) jest

liczba diam A = sup { (x, y) : x, y 2 X } , jesli rozwazany kres gorny

istnieje; mowimy wtedy, ze zbior A jest

ograniczony . W przeciwnym

wypadku piszemy diam A = 1 .

Przyklad 1.1. Przestrzen dyskretna. W dowolnym zbiorze

niepustym X mozna okreslic metryk ‘

01 przyjmuja ‘ ca ‘ wartosc 0 na

Przyklad 1.2. Przestrzen unormowana.

Przestrzen unormowana jest to przestrzen liniowa X (dla prostoty—

nad R), w ktorej okreslona jest norma k·k wektorow, tj. funkcja

k·k : X ! [0, 1 ) maja ‘ ca nast ‘ puja ‘ ce wlasnosci:

(1) k x k = 0 , x = 0

(2) k x k = | |k x k

(3) k x + y k k x k + k y k

dla dowolnych wektorow x, y 2 X i skalara 2

normy okreslamy latwo metryk ‘

w X wzorem (x, y) = k x − y k .

Srednica ‘

kazdej parze punktow rownych oraz 1 na pozostalych parach punktow.

Przestrzen metryczna ‘ (X, 01 ) nazywamy przestrzenia ‘ dyskretna ‘

Przestrzen taka ‘ oznaczamy symbolem (X, k·k ). Przy pomocy

1. POJ ¸ CIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ

Przykladami najcz ‘ sciej spotykanych w matematyce przestrzeni unor-

nego rodzaju przestrzenie funkcyjne. Niektore z nich omowione sa ‘

ponizej.

Przyklad 1.3. Przestrzen euklidesowa.

Jest to n-wymiarowa przestrzen unormowana

R n

z norma ‘ euklide-

sowa ‘ dana ‘ wzorem

k x k e =

(x i ) 2 ,

i=1

gdzie x = (x 1 , . . . , x n ) 2 R n . Wobec tego metryka euklidesowa w

R n

dana jest wzorem

e (x, y) = k x − y k e =

(x i − y i ) 2 .

i=1

Zauwazmy, ze odleglosc euklidesowa dwoch punktow oznacza geome-

trycznie dlugosc odcinka prostoliniowego mi ‘ dzy nimi.

Przyklad 1.4.

W przestrzeni liniowej

R n

rozwaza si ‘

cz ‘ sto dwie

inne normy:

(1) k x k s =

| x i | ,

(2) k x k m = max {| x 1 | , . . . , | x n |} ,

gdzie x = (x 1 , . . . , x n ) 2 R n , prowadza ‘ ce odpowiednio do metryk

(1) s (x, y) = k x − y k s ,

(2) m (x, y) = k x − y k m .

Obie metryki sa ‘

i=1

mowa w dalszej cz ‘ sci. Ich interpretacja geometryczna jest jasna.

Przyklad

rownowazne metryce euklidesowej, o czym b ‘ dzie

1.5. metryka centrum.

R n

okreslamy odleglosc

punktow wzorem

(

e (x, y) gdy 0, x, y sa wspolliniowe,

k x k e + k y k e w przeciwnym razie.

Mozna podawac wiele interpretacji ﬁzycznych, w ktorych punkty ma-

terialne moga ‘ si ‘

c (x, y) =

“centrum” 0 i wtedy metryka c w sposob naturalny mierzy odleglosc

punktow. Przemawia do wyobrazni przyklad miasta (lub kopalni), w

ktorym wszystkie ulice (chodniki) schodza ‘

poruszac wyla ‘ cznie po promieniach wychodza ‘ cych z

(centralnego szybu). Metryk ‘ c nazywa si ‘ czasem metryka ‘ “centrum”

si ‘ promieniscie do rynku

lub metryka ‘ “jeza” z kolcami, b ‘ da ‘ cymi promieniami wychodza ‘ cymi z

mowanych sa ‘ przestrzenie euklidesowe, przestrzen Hilberta l 2 lub roz-

1. POJ ¸ CIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ

Przyklad 1.6. metryka rzeka. Na plaszczyznie okreslamy od-

leglosc punktow x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ):

(

e (x, y) gdy x 1 = y 1 ,

| x 2 | + | x 1 − y 1 | + | y 2 | w przeciwnym razie.

Taka odleglosc staje si ‘ naturalna w dzungli amazonskiej, gdzie je-

r (x, y) =

dynymi dost ‘ pnymi szlakami sa ‘ proste sciezki wydeptane przez zwie-

rz ‘ ta do rzeki (prosta x 2 = 0) i sama rzeka.

Dwie ostatnie metryki okaza ‘ si ‘

nierownowazne metryce euklideso-

wej.

Przyklad 1.7. Na sferze S 2 = { x 2 R 3 : k x k e = 1 } okreslamy

odleglosc geodezyjna ‘ (x, y) jako dlugosc niedluzszego luku kola wiel-

Przyklad 1.8. Przestrzen Hilberta

l 2 = { (x 1 , x 2 , . . . ) 2 R 1 :

(x i ) 2 < 1} .

i=1

Jest to przestrzen unormowana z norma ‘

k x k =

(x i ) 2 ,

i=1

gdzie x = (x 1 , x 2 , . . . ) 2 l 2 . Mozna ja ‘ uwazac za nieskonczenie wymia-

Przyklad

1.9. Kostka Hilberta

Q. Jest to podzbior przes-

trzeni l 2 postaci

Q = { (x 1 , x 2 , . . . ) : | x i | 1

} ,

z metryka ‘ okreslona ‘ takim samym wzorem, jak w l 2 .

Przyklad 1.10. Przestrzen B(X, Y ).

Jesli X jest dowolnym zbiorem niepustym, a (Y, )—przestrzenia ‘

czonych, to znaczy takich, ze diam f (X) < 1 , wprowadzamy metryk ‘

sup (f, g) = sup { (f (x), g(x)) : x 2 X }

(metryka ta zwana jest metryka ‘

k·k , rowniez

B(X, Y ) staje si ‘ w naturalny sposob przestrzenia ‘ unormowana ‘ , mozna

zbieznosci jednostajnej ). W przy-

bowiem dodawac funkcje i mnozyc je przez skalary rzeczywiste, a norm ‘

kiego od x do y.

rowy odpowiednik przestrzeni euklidesowych.

metryczna ‘ , to w zbiorze B(X, Y ) wszystkich funkcji f : X ! Y ograni-

padku, gdy Y jest przestrzenia ‘

unormowana ‘ , z norma ‘

1. POJ ¸ CIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ

funkcji f okresla wzor k f k sup = sup {k f (x) k : x 2 X } . Odleglosc funk-

cji w tej metryce szacuje roznic ‘ mi ‘ dzy ich wartosciami.

Przyklad 1.11. Przestrzen C 1 .

Okreslamy C 1 = { f : [0, 1] !

: f jest cia ‘ gla } . Jest to

| f (x) | dx. Odleglosc dwoch

funkcji w metryce otrzymanej z tej normy jest polem obszaru pomi ‘ dzy

k f k 1 =

ich wykresami.

Przyklad 1.12. Przestrzen zmiennych losowych

W rachunku prawdobodobienstwa rozwaza si ‘ zbior X zmiennych

losowych okreslonych na przestrzeni zdarzen elementarnych E, w ktorej

dane jest prawdopodobienstwo P . W X mamy naturalna ‘ relacj ‘

row-

nowaznosci:

f g , P ( { x 2 X : f (x) 6 = g(x) } ) = 0.

Relacja ta utozsamia zmienne losowe rowne prawie wsz ‘ dzie, tzn. rowne

z prawdopodobienstwem 1. W zbiorze

X klas abstrakcji relacji

wprowadzamy metryk ‘ wzorem:

([f ], [g]) = sup >0 P ( { x 2 X : | f (x) − g(x) | } ).

Odleglosc ta szacuje prawdopodobienstwo zdarzen, ze zmienne losowe

f, g roznia ‘ si ‘

o pewna ‘ wielkosc dodatnia ‘ .

przestrzen unormowana z norma ‘

CWICZENIA

metryki.

(2) Sprawdzic, czy nastepujace funkcje sa metrykami w podanych zbio-

rach:

(a) 0 (p, q) = min(1, (p, q)), gdzie p, q 2 (X, ).

(b) ˆ (p, q) =

1+ (p,q) , gdzie p, q 2 (X, ).

− n

| , m, n 2 N.

Cwiczenia

(1) Sprawdzic, ze normy i metryki opisane przykladach w rozdziale 1,

rzeczywiscie spelniaja ‘ warunki deﬁnicji normy i M1–M3 deﬁnicji

(p,q)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: