wyklad07.pdf

WykÃlad7

Algebramacierzy

Oznaczmyprzez M m×n ( K )zbi´orwszystkich m×n macierzynadciaÃlem K .Je˙zeli A2

M m×n ( K ),toprzez[ A ] ij b , edziemyoznaczaliwyrazstoj , acyw i -tymwierszui j -tejkolumnie

macierzy A .Przypomnijmyte˙z,˙zeelementyciaÃla K nazywamy skalarami .

1.Mno˙zeniemacierzyprzezskalar. IloczynemmacierzyA2M m×n ( K )przezskalar

a2K nazywamymacierz a·A2M m×n ( K )tak , a,˙ze

[ a·A ] ij = a· [ A ] ij dlawszystkich i =1 ,...,m ; j =1 ,...,n. (1)

Zatemabypomno˙zy´cmacierz A przezskalar a nale˙zywszystkiejej

wsp´oÃlrz , ednepomno˙zy´cprzeztenskalar.Zauwa˙zmy,˙zeztegookre´sleniawynikaj , aod

razuwzory:

( a·b ) ·A = a· ( a·A )dladowolnych a,b2K,A2M m×n ( K ) . (2)

1 ·A = A dlaka˙zdego A2M m×n ( K ) . (3)

2.Dodawaniemacierzy. Sum , amacierzyA,B2M m×n ( K )nazywamymacierz A + B2

M m×n ( K )tak , a,˙ze

[ A + B ] ij =[ A ] ij +[ B ] ij dlawszystkich i =1 ,...,m ; j =1 ,...,n. (4)

Ztegookre´sleniawynikaj , aodrazuwzory:

A + B = B + A dladowolnychmacierzy A,B2M m×n ( K ) . (5)

A +( B + C )=( A + B )+ C dladowolnychmacierzy A,B,C2M m×n ( K ) . (6)

( a + b ) ·A = a·A + b·A dladowolnych a,b2K ; A2M m×n ( K ) . (7)

a· ( A + B )= a·A + a·B dladowolnych a2K ; A,B2M m×n ( K ) . (8)

Oznaczmyprzez0 m×n tak , a m×n -macierz,kt´orejwszystkiewsp´oÃlrz , ednes , ar´owne0,czyli

[0 m×n ] ij =0dlawszystkich i =1 ,...,m ; j =1 ,...,n .Macierzt , enazywamy macierz , azerow , a .

Zokre´sleniadodawaniamacierzywynika,˙ze

A +0 m×n =0 m×n + A = A dladowolejmacierzy A2M m×n ( K ) . (9)

Macierz , aprzeciwn , adomacierzyA2M m×n ( K )nazywamymacierz −A2M m×n ( K )tak , a,˙ze

[ −A ] ij = − [ A ] ij dlawszystkich i =1 ,...,m ; j =1 ,...,n. (10)

Ztegookre´sleniaorazzdeﬁnicjidodawaniamacierzywynikaodrazu,˙ze

A +( −A )=( −A )+ A =0 m×n dladowolnejmacierzy A2M m×n ( K ) . (11)

( − 1) ·A = −A dladowolnejmacierzy A2M m×n ( K ) . (12)

3.Odejmowaniemacierzy. R´o˙znic , amacierzyA,B2M m×n ( K )nazywamymacierz A−B2

M m×n ( K )tak , a,˙ze

[ A−B ] ij =[ A ] ij − [ B ] ij dlawszystkich i =1 ,...,m ; j =1 ,...,n. (13)

Zatem

A−B = A +( −B )dladowolnychmacierzy A,B2M m×n ( K ) . (14)

4.Mno˙zeniemacierzy.Iloczyn A·B macierzy A i B owsp´oÃlczynnikachzciaÃla K okre´slamy

jedyniew´owczas,gdyliczbakolumnmacierzy A jestr´ownaliczbiewierszymacierzy B .Niech

A2M m×n ( K )i B2M n×k ( K ). IloczynemmacierzyAiB nazywamymacierz A·B2

M m×k ( K )tak , a,˙ze

[ A·B ] ij =

n X

[ A ] it · [ B ] tj dlawszystkich i =1 ,...,m ; j =1 ,...,k. (15)

t =1

Zatemabypomno˙zy´cmacierz A2M m×n ( K )przezmacierz B2M n×k ( K )nale˙zypierwszy

wierszmacierzy A pomno˙zy´c(skalarnie)przezpierwsz , akolumn , emacierzyB,nast , epnienale˙zy

pomno˙zy´cpierwszywierwszmacierzy A przezdrug , akolumn , emacierzy B ,itd.Wtenspos´ob

uzyskamykolejnewyrazypierwszegowierszamacierzy A·B .Abyotrzyma´cdrugiwiersz

macierzy A·B nale˙zypomno˙zy´cpierwszywierszmacierzy A przezkolejnekolumnymacierzy B .

Wko´ncunale˙zypomno˙zy´costatniwierszmacierzy A kolejnoprzezwszystkiekolumnymacierzy

B .

6 4

7 5 .W´owczas B·A niemasensu(gdy˙z

211

310

014

102

310

PrzykÃlad1.Niech A =

i B =

239

943

ilo´s´ckolumnmacierzy B niejestr´ownailo´sciwierszymacierzy A )oraz A·B =

,bo

1 · 2+0 · 3+2 · 0=23 · 2+1 · 3+0 · 0=9

1 · 1+0 · 1+2 · 1=33 · 1+1 · 1+0 · 1=4

1 · 1+0 · 0+2 · 4=93 · 1+1 · 0+0 · 4=3

.Wynikast , ad,˙zemno˙zeniemacierzyniejest

naog´oÃlprzemienne.

Twierdzenie1.Dladowolnychmacierzy A2M m×n ( K ), B2M n×k ( K )zachodziwz´or:

( A·B ) T = B T ·A T .

Dow´od.Zokre´sleniamacierzytransponowanejwynika,˙ze A T 2M n×m ( K ), B T 2M k×n ( K )

oraz[ A T ] ij =[ A ] ji dla i =1 ,...,n , j =1 ,...,m i[ B T ] ij =[ B ] ji dla i =1 ,...,k , j =1 ,...,n .

Zatem B T ·A T 2M k×n ( K ),( A·B ) T 2M k×m ( K ).Ponadtodlawszystkichmo˙zliwych i , j mamy,

m X

˙ze[( A·B ) T ] ij =[ A·B ] ji =

[ A ] jt · [ B ] ti =

[ A T ] tj · [ B T ] it =

[ B T ] it · [ A T ] tj =[ B T ·A T ] ij .

t =1

Twierdzenie2.Mno˙zeniemacierzyjestÃl , acznetzn.dladowolnychmacierzy A2M m×n ( K ) ,B2

M n×r ( K ) ,C2M r×s ( K ):

( A·B ) ·C = A· ( B·C ).

Dow´od.Mamy,˙ze A·B2M m×r ( K ), B·C2M n×s ( K ),( A·B ) ·C2M m×s ( K ), A· ( B·C ) 2

M m×s ( K ).Zatemmacierze A· ( B·C )i( A·B ) ·C maj , atesamewymiary.Ponadtodlawszystkich

mo˙zliwych i , j mamy,˙ze

r X

Ã n X

r X

n X

[( A·B ) ·C ] ij =

[ A·B ] it · [ C ] tj =

[ A ] il · [ B ] lt

· [ C ] tj =

([ A ] il · [ B ] lt ) · [ C ] tj =

t =1

l =1

t =1

l =1

r X

n X

r X

n X

r X

[ A ] il · ([ B ] lt · [ C ] tj )=

[ A ] il ·

[ B ] lt · [ C ] tj

t =1

l =1

t =1

l =1

t =1

n X

[ A ] il · [ B·C ] lj =[ A· ( B·C )] ij . 2

Twierdzenie3.Dlaka˙zdego a2K idladowolnychmacierzy A2M m×n ( K ) ,

B2M n×k ( K ):

a· ( A·B )=( a·A ) ·B = A· ( a·B ).

Dow´od.Dla i =1 ,...,m , j =1 ,...,k mamy,˙ze[( a·A ) ·B ] ij =

n X

[ a·A ] it · [ B ] tj =

n X

t =1

( a· [ A ] it ) · [ B ] tj = a·

[ A ] it · [ B ] tj = a· [ A·B ] ij =[ a· ( A·B )] ij oraz[ A· ( a·B )] ij =

t =1

n X

[ A ] it · [ a·B ] tj =

[ A ] it · ( a· [ B ] tj )= a·

[ A ] it · [ B ] tj = a· [ A·B ] ij =[ a· ( A·B )] ij . 2

t =1

Twierdzenie4.Mno˙zeniemacierzyjestrozdzielnewzgl , edemdodawaniamacierzytzn.

(i) A· ( B + C )= A·B + A·C dladowolnych A2M m×n ( K ) ,B,C2M n×k ( K )oraz

(ii)( B + C ) ·A = B·A + C·A dladowolnych B,C2M m×n ( K ) ,A2M n×k ( K ).

Dow´od.( i ).Wystarczywykaza´c,˙zedlawszystkichmo˙zliwych i , j mamy,˙ze[ A· ( B +

n X

C )] ij =[ A·B + A·C ] ij .Ale[ A· ( B + C )] ij =

[ A ] it [ B + C ] tj =

[ A ] it · ([ B ] tj +[ C ] tj )=

n X

t =1

([ A ] it · [ B ] tj +[ A ] it · [ C ] tj )=

[ A ] it · [ B ] tj +

n X

t =1

[ A ] it · [ C ] tj =[ A·B ] ij +[ A·C ] ij =[ A·B + A·C ] ij .( ii )mo˙znaudowodni´cpodobniejak

( i ). 2

l =1

t =1

Algebramacierzykwadratowych

B , edziemydalejpisali M n ( K )zamiast M n×n ( K )oraz0 n zamiast0 n×n .Dladowolnych A,B2

M n ( K )mamy,˙ze A + B,A·B2M n ( K ).Ponadtomno˙zeniemacierzykwadratowychjestÃl , aczne

irozdzielnewzgl , edemdodawaniamacierzy.

PrzykÃlad2.Niech n¸ 2orazniech A,B2M n ( K )b , ed , atakimimacierzami,˙ze[ A ] 11 =1i

[ A ] ij =0dlapozostaÃlych i,j oraz[ B ] 12 =1i[ B ] ij =0dlapozostaÃlych i,j .Wtedy B·A =0 n

oraz A·B = B .Zatem A·B6 = B·A ,czylimno˙zeniemacierzykwadratowychstopniawi , ekszego

od1niejestprzemienne!.

Macierz , ajednostkow , astopnian nazywamymacierz I n 2M n ( K ),kt´oramanagÃl´ownej

przek , atnejsamejedynki,za´snapozostaÃlychmiejscachsamezeratzn. [ I n ] ii =1dla i =

1 , 2 ,...,n oraz[ I n ] ij =0dlawszystkich i6 = j .

Twierdzenie5.Macierzjednostkowastopnia n jestelementemneutralnymmno˙zeniamacierzy

wzbiorze M n ( K )tzn.

I n ·A = A·I n = A

dladowolnejmacierzy A2M n ( K ).

n X

Dow´od.Dlawszystkich i,j =1 , 2 ,...,n mamy,˙ze[ I n ·A ] ij =

[ I n ] it · [ A ] tj =[ I n ] ii · [ A ] ij =

t =1

n X

1 · [ A ] ij =[ A ] ij oraz[ A·I n ] ij =

[ A ] it · [ I n ] tj =[ A ] ij · [ I n ] jj =[ A ] ij · 1=[ A ] ij .Zatem

I n ·A = A·I n = A dlaka˙zdego A2M n ( K ). 2

Macierz , askalarn , astopnian nazywamymacierzpostaci:

t =1

a·I n dladowolnego a2K .

ZatemmacierzskalarnamanagÃl´ownejprzek , atnejwsp´olnyskalar a ,za´snapozostaÃlychmiejs-

cachsamezera.ZpoznanychwÃlasno´scimno˙zeniamacierzymamy,˙zedladowolnejmacierzy

A2M n ( K )idladowolnego a2K jest( a·I n ) ·A = a· ( I n ·A )= a·A oraz A· ( a·I n )=

a· ( A·I n )= a·A .

Twierdzenie6.(Cauchy’ego)Dladowolnychmacierzykwadratowych A i B tegosamego

stopnianadciaÃlem K zachodziwz´or

det( A·B )=det( A ) · det( B ).

Dow´od.Niech A,B2M n ( K ).W´owczas[ A·B ]=

n X

[ A ] is · [ B ] sj dla i,j =1 , 2 ,...,n .

Zatemka˙zdywyraz i -tegowierszamacierzy A·B jestsum , a n skÃladnik´owpostaci[ A ] is · [ B ] sj .

Oznaczmyprzez H j j -t , akolumn , emacierzy A·B orazprzez A j j -t , akolumn , emacierzy A .Wtedy

b , edziemymieli,˙ze

s =1

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

n X

[ A ] 1 s [ B ] sj

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

n X

[ A ] 2 s [ B ] sj

n X

H j =

[ B ] sj ·A s .

s =1

. . .

s =1

n X

[ A ] ns [ B ] sj

s =1

" n X

n X

Zatem A·B =

[ B ] s 1 1 ·A s 1 ,

[ B ] s 2 2 ·A s 2 ,...,

[ B ] s n n ·A s n

,sk , adzwÃlasno´sciwyz-

s 1 =1

s 2 =1

s n =1

nacznika4.stosowanej n -krotnieb , edziemymieli,˙ze

det( A·B )=

n X

...

n X

[ B ] s 1 1 [ B ] s 2 2 ... [ B ] s n n det([ A s 1 ,A s 2 ,...,A s n ]).

s 1 =1

s 2 =1

s n =1

Aleje˙zelidwiekolumnymacierzys , aidentyczne,tojejwyznacznikjestr´owny0,wi , ectylkote

skÃladnikinaszejsumymog , aby´cniezerowe,dlakt´orych A s j i A s k s , ar´o˙znedla s j 6 = s k ,czyli

tylkote,dlakt´orych s 1 ,s 2 ,...,s n jestpermutacj , aliczb1 , 2 ,...,n .Aledla f2S n namocy

wÃlasno´sci3.mamy,˙ze

det([ A f (1) ,A f (2) ,...,A f ( n ) ])= sgn ( f ) · det([ A 1 ,A 2 ,...,A n ])= sgn ( f ) · det( A ),wi , ecdet( A·B )=

det( A ) ·

sgn ( f )[ B ] f (1)1 [ B ] f (2)2 ... [ B ] f ( n ) n =det( A ) · det( B T )=det( A ) · det( B ). 2

f2S n

Deﬁnicja. Macierz , adopeÃlnie´n macierzy A2M n ( K )nazywamymacierzpostaci

D ( A )= £ ( − 1) i + j det( A ij ) ¤

i,j =1 , 2 ,...,n . (16)

Twierdzenie7.Dladowolnejmacierzy A2M n ( K )zachodziwz´or:

A·D ( A )= D ( A ) ·A =det( A ) ·I n .

Dow´od.Dladowolnych i,j2{ 1 , 2 ,...,n} mamy,˙ze

n X

[ A·D ( A )] ij =

[ A ] it [ D ( A )] tj =

[ A ] it ( − 1) t + j det( A tj ).ZatemztwierdzeniaLaplace’aoraz

t =1

zwniosku1zwykÃladu6mamy,˙ze[ A·D ( A )] ii =det( A )dla i =1 , 2 ,...,n orazdla i6 = j mamy,

˙ze[ A·D ( A )] ij =0.Zatem A·D ( A )=det( A ) ·I n .

Podobniedla i,j2{ 1 , 2 ,...,n} mamy,˙ze

n X

( − 1) i + t det( A it )[ A ] tj =

[ A ] tj ( − 1) i + t det( A it ),wi , ecz

[ A·D ( A )] ij =

[ D ( A )] it [ A ] tj =

t =1

twierdzeniaLaplace’aizwniosku1zwykÃladu6mamy,˙ze[ D ( A ) ·A ] ii =det( A )dla i =1 , 2 ,...,n

orazdla i6 = j mamy,˙ze[ D ( A ) ·A ] ij =0.Zatem D ( A ) ·A =det( A ) ·I n . 2

s =1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: