Żabka M - Liczby zespolone.pdf - 005) Matematyka. Analiza - sosel

Liczbyzespolone,wykładdlastudentówRobotyki,autor:Marekabka str.1

1. Liczby zespolone

Zbiorem liczb zespolonych C nazywamy zbiór par ( a,b ) liczb rzeczywistych a,b , przy czym

par¦ t¦ zapisujemy w postaci a + bi . Uto»samiamy przy tym par¦ postaci ( a, 0) = a + 0 i z liczb¡

rzeczywist¡ a ( a + 0 i = a ). B¦dziemy wi¦c mówili, »e zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem Uto»samienieto

jestanalogiczne

douto»samienia

ułamkan/ 1

zliczb¡

całkowit¡n.

W zbiorze liczb zespolonych wprowadzamy działania:

− ( a + bi ) = ( − a − b ) i

Zauwa»my, »e zgodnie z deﬁnicjami

działa« mamy:

a + bi = ( a + 0 i ) + (0 + bi ) =

= ( a + 0 i ) + ( b + 0 i )(0 + 1 i )

lub zapisuj¡c przy pomocy par:

( a,b ) = ( a, 0) + (0 ,b ) = ( a, 0) + ( b, 1)(0 , 1)

Przyjmuj¡c (0 , 1) = i , korzystaj¡c

z uto»samienia pary ( a, 0) z liczb¡

rzeczywist¡ a mamy

( a + bi ) − 1 =

( a + bi )

a 2 + b 2 +

− b

a 2 + b 2 i

( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i

( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i

( a + bi ) · ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i

Dla ( c + di ) 6 = 0 (czyli ( c + di ) 6 = 0 + 0 i lub jeszcze inaczej c 2 + d 2 6 = 0:

( a + bi )

( c + di )

( a,b ) = a + bi

c 2 + d 2 + bc − ad

c 2 + d 2 i Uwaga: Tego wzoru nie

St¡d wła±nie postulowana forma zapisu

liczby zespolonej.

trzeba pami¦ta¢, na

stronie 3 jest ramka,

która pokazuje jak dzieli¢.

Mamy równie» dla a + bi 6 = 0

a + bi = p a 2 + b 2

p a 2 + b 2 +

p a 2 + b 2 i

Wspomnianaliczba'zdokładno±ci¡do

wielokrotno±ciliczby 2 mo»eby¢wyra»ona

wzorem:

Bior¡c liczb¦ ' takie, »e

a 2 + b 2 = cos ' ,

a 2 + b 2 = sin ' oraz

a + p a 2 + b 2

2 p a 2 + b 2

a 2 + b 2 , mamy:

a + bi = r (cos ' + i sin ' )

Dla a + bi = 0 mamy oczywi±cie:

a + bi = 0 = 0 (cos ' + i sin ' ) dla dowolnego ' .

r =

' =2arccos

@ sgn( b )

A +2 k

lubte»wzorem:

arctg a +2 k gdy a > 0

arctg a +(2 k +1) gdy a < 0

2 +2 k gdy a =0 ,b > 0

−

2 +2 k gdy a =0 ,b < 0

Posta¢ a + bi zapisu liczby zespolonej nazywamy postaci¡algebra-

iczn¡ , a posta¢ r (cos ' + i sin ' ) postaci¡trygonometryczn¡ .

Trzeci¡ postaci¡ liczby zespolonej jest posta¢wykładnicza , która

b¦dzie omówiona na stronie 5.

' =

Lemat1 Działanianaliczbachzespolonychmaj¡nast¦puj¡cewłasno±ci

(u,v,ws¡dowolnymiliczbamizespolonymi):

w1) ( z + w ) + u = z + ( w + u ) (ł¡czno±¢dodawania)

w2)z + w = w + z(przemienno±¢dodawania)

w3)z + 0 = z

w4)z + ( − z ) = z − z = 0

w5) ( z · w ) · u = z · ( w · u ) (ł¡czno±¢mno»enia)

w6)z · w = w · z(przemienno±¢mno»enia)

w7)z · 1 = z

w8)z · z − 1 = 1

zbioru liczb zespolonych.

Podobnie jak liczby rzeczywiste uto»samiamy z punktami osi liczbowej, tak liczby zespolone

uto»samiamy z punktami płaszczyzny XOY . Liczba x + yi to punkt ( x,y ).

= ac + bd

Liczbyzespolone,wykładdlastudentówRobotyki,autor:Marekabka str.2

w9) ( z + w ) · u = z · u + w · u(rozdzielno±¢mno»eniawzgl¦demdodawania)

w10)z − w = z + ( − w )

w11)z/w = z · w − 1 dlaw 6 = 0

Własno±ci lematu 1 (jak i dalsze własno±ci) mo»na zapisywa¢ w ró»ny sposób.

Przykładowo własno±¢ w1) mo»na by zapisa¢ precyzyjnie tak:

w1) 8 z,w,u 2 C ( z + w ) + u = z + ( w + u )

lub tak:

w1) ( z + w ) + u = z + ( w + u ), dla wszystkich liczb zespolonych z , w , u .

Lecz gdy chcemy zapisa¢, »e pewien wzór jest prawdziwy dla wszystkich zmi ennych wyst¦puj¡cych we

wzorze nale»¡cych do ustalonego zbioru liczb, to mo»na pomin¡¢ 8 z,w,u 2 C oraz

dla wszystkich liczb zespolonych z , w , u i powstaje zapis jak w lemacie.

Deﬁnicje

Liczb¦ rzeczywist¡ a nazywamy cz¦±ci¡rzeczywist¡ liczby zespolonej z = a + bi i oznaczamy

symbolem re ( z ) (lub re z ). Symbol re ( z ) czytamy „realis z”.

Liczb¦ rzeczywist¡ b nazywamy cz¦±ci¡urojon¡ liczby zespolonej z = a + bi i oznaczamy

symbolem im ( z ) (lub im z ). Symbol im ( z ) czytamy „imaginaris z”.

Zgodnie z powy»szymi deﬁnicjami re ( z ) oraz im ( z ) prawdziwy jest wzór:

z = re ( z ) + i · im ( z )

Liczb¡sprz¦»on¡ do liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczb¦ a − bi i oznaczamy symbolem z .

Modułem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ p a 2 + b 2 i oznaczamy

symbolem | z | .

Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi nazywamy ka»d¡ liczb¦ rzeczywist¡ '

spełniaj¡c¡ warunki:

( cos ' = a

p a 2 + b 2

sin ' = b

p a 2 + b 2

Zbiór argumentów niezerowej liczby zespolonej z = a + bi oznaczamy symbolem arg z (lub arg( z )).

Łatwo zauwa»y¢, »e je»eli ' jest argumentem liczby zespolonej z , a k jest liczb¡ całkowit¡, to

liczba ' +2 k te» jest argumentem, oraz gdy ' oraz s¡ argumentami tej samej liczby zespolonej z

to istnieje liczba całkowita k taka, »e = ' + 2 k . St¡d czasem zamiast pisa¢ ' 2 arg( z ) b¦dziemy

pisa¢ arg( z ) = ' + 2 k, k 2 Z .

Argumentemgłównym niezerowej liczby zespolonej z nazywamy ten argument ' liczby z , który

spełnia nierówno±¢: 0 ¬ ' < 2 . Argumentgłówny niezerowej liczby zespolonej z oznaczamy

symbolem Arg z (lub Arg ( z )).

Zauwa»my, »e dla liczby zespolonej 0 nie okre±lamy argumentu. Mo»na z drugiej strony powie-

dzie¢, »e ka»da liczba jest argumentem zera.

Liczbyzespolone,wykładdlastudentówRobotyki,autor:Marekabka str.3

Posta¢ trygonometryczn¡ niezerowej liczby zespolonej mo»na zapisa¢ teraz

z = | z | (cos ' + i sin ' ) , ' 2 arg( z )

lub w skrócie:

z = | z | (cos arg z + i sin arg z )

a bior¡c w szczególno±ci argument główny:

z = | z | (cos Arg z + i sin Arg z )

Własno±ci z dowodami

W dowodach zawsze z = a + bi , w = c + di oraz u = e + fi .

w12) ( a + bi = c + di ) () ( a = c ) ^ ( b = d )

lub inaczej: z = w () re ( z ) = re ( w ) ^ im ( z ) = im ( w )

w13) r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 ) = r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 ) () ( r 1 = r 2 ) ^ ( ' 1 − ' 2 )

2 Z )

lub inaczej:

r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 ) = r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 ) () ( r 1 = r 2 ) ^9 k 2 Z ( ' 1 − ' 2 ) = 2 k

lub jeszcze inaczej:

z = w () | z | = | w |^ ka»de argumenty liczb z oraz w ró»ni¡ si¦ o jak¡± wielokrotno±¢ liczby 2

w14) i 2 = − 1

D.: zgodnie z deﬁnicj¡ mno»emia: (0 + 1 · i ) · (0 + 1 · i ) = (0 · 0 − 1 · 1) + (0 · 1 + 1 · 0) i = − 1.

w15) z + w = z + w

D.: z + w = a + bi + c + di = ( a + c ) + ( b + d ) i = ( a + c ) − ( b + d ) i = ( a − bi ) + ( c − di ) =

a + bi + c + di = z + w

w16) z − w = z − w D.: (analogiczny)

w17) − z = − z D.: (analogiczny)

Wzór w19) daje sposób na

obliczanie ilorazu:

w18) z · w = z · w D.: (analogiczny)

w = z · w

w · w = z · w

| w | 2

w19) z/w = z/w D.: (analogiczny)

w20) z − 1 = z − 1

D.: (analogiczny)

w21) z · z = | z | 2

D.: z · z = ( a + bi ) · a + bi = ( a + bi ) · ( a − bi ) = a 2 − b 2 · i 2 = a 2 + b 2 = p

a 2 + b 2 2 = | z | 2

w22) | z | = 0 () z = 0 D.: | z | = 0 ()

a 2 + b 2 = 0 () a = 0 ^ b = 0 () z = 0

w23) | w · z | = | w |·| z |

D.: | w · z | = | ( a + bi ) · ( c + di ) | = | ( ac − bd ) + ( a d + bc ) i | = p ( ac − bd ) 2 + ( ad + bc ) 2 =

p ( ac ) 2 + ( bd ) 2 − 2 ac bd + ( ad ) 2 + ( b c ) 2 + 2 adbc = p a 2 c 2 + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 =

p ( a 2 + b 2 ) · ( c 2 + d 2 ) = p ( a 2 + b 2 ) · p c 2 + d 2 ) = | a + bi |·| c + di | = | w |·| z |

Liczbyzespolone,wykładdlastudentówRobotyki,autor:Marekabka str.4

w24) |− z | = | z | D.: |− z | = | ( − 1) · z | = | z |

w25) | 1 /z | = | z − 1 | = | z | − 1 = 1 / | z |

D.: | z − 1 | = | ( a + bi ) − 1 | =

( a + bi )

a 2 + b 2 +

− b

a 2 + b 2 i

a 2

( a 2 + b 2 ) 2 +

( − b ) 2

( a 2 + b 2 ) 2 =

a 2 + b 2

( a 2 + b 2 ) 2 =

a 2 + b 2 = 1 / | z |

w26) | z/w | = | z | / | w | D.: | z/w | = | z · w − 1 | = | z |·| w − 1 | = | z |·| w | − 1 = | z | / | w |

w27) | z | = | z | D.: | z | = | a + bi | = p a 2 + b 2 = p a 2 + ( − b ) 2 = | a − bi | = | z |

w28) re ( z ) = z + z

2 D.: z + z

= a + bi + a + bi

= a + bi + a − bi

= a = re ( z )

w29) im ( z ) = z − z

2 i

D.: (analogiczny)

w30) | re ( z ) |¬| z | D.: | z | = | a + bi | = p a 2 + b 2

a 2 = | a |

w31) | im ( z ) |¬| z | D.: (analogiczny)

w32) | z + w |¬| z | + | w |

D.: | z + w | 2 = ( z + w )( z + w ) = ( z + w )( z + w ) = zz + ww + zw + zw = | z | 2 + | w | 2 + zw + zw =

| z | 2 + | w | 2 + 2re ( zw ) ¬| z | 2 + | w | 2 + 2 | zw | = | z | 2 + | w | 2 + 2 | z |·| w | = | z | 2 + | w | 2 + 2 | z |·| w | =

( | z | + | w | ) 2 st¡d | z + w |¬| z | + | w |

w33) | z − w |¬| z | + | w | D.: | z − w | = | z + ( − w ) | = ¬| z | + |− w | = | z | + | w |

w34) | z − w | | z |−| w |

D.: | z | = | z − w + w | ¬ | z − w | + | w | St¡d: | z − w | | z |−| w | . Dalej wynika st¡d, »e:

| z − w | = | w − z || w |−| z | = − ( | z |−| w | )

Wzory: | z − w || z |−| w | oraz | z − w | = − ( | z |−| w | ) implikuj¡ wzór | z − w | | z |−| w |

w35) Je»eli z,w 6 = 0, ' jest argumentem liczby z , jest argumentem liczby w , wtedy liczba

' + jest argumentem liczby z · w .

Je»eli z · w 6 = 0, wtedy ka»dy argument liczby z · w jest sum¡ argumentów liczb z i w .

Razem zapisujemy w skrócie: arg( z · w ) = arg( z ) + arg( w ) dla z,w 6 = 0.

D.: Szkic. Bierzemy dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej i obliczamy ich ilo-

czyn.

| z | (cos ' + i sin ' ) ·| w | (cos + i sin ) = | z |·| w | ((cos ' sin − sin ' cos ) + i (cos ' sin +

sin ' cos )) = | zw | (cos( ' + ) + i sin( ' + ))

w36) W szczególno±ci argumenty główne liczb z oraz − z ró»ni¡ si¦ o liczb¦ .

D.: Własno±¢ jest oczywistym wnioskiem z własno±ci poprzedniej, gdy zauwa»ymy, »e − z =

( − 1) · z oraz Arg ( − 1) = .

Liczbyzespolone,wykładdlastudentówRobotyki,autor:Marekabka str.5

w37) Je»eli z,w 6 = 0, ' jest argumentem liczby z , jest argumentem liczby w , wtedy liczba

' − jest argumentem liczby z/w .

Je»eli z,w 6 = 0, wtedy ka»dy argument liczby z/w jest ró»nic¡ argumentów liczb z i w .

Razem zapisujemy w skrócie: arg( z/w ) = arg( z ) − arg( w ) (Zauwa»my, »e z,w 6 = 0)

St¡d w szczególno±ci: arg(1 /z ) = − arg( z )

D.: Szkic. arg( z ) = arg(( z/w ) · w ) = arg( z/w ) + arg( w ) St¡d: arg( z/w ) = arg( z ) − arg( w )

w38) Wzór Moivre’a:

(cos ' + i sin ' ) n = (cos n' + i sin n' )

dla ka»dej liczby rzeczywistej ' oraz liczby całkowitej n .

Inaczej mo»na zapisa¢:

r (cos ' + i sin ' ) n = r n (cos n' + i sin n' )

lub

z n = | z | n (cos n' + i sin n' ) , gdzie z = | z | (cos ' + i sin ' )

D.: Dla n > 0 dowód indukcyjny.

Dla n = 1 własno±¢ jest oczywista.

Zakładamy prawdziwo±¢ wzoru Moivre’a dla n = k . Dowodzimy dla n = k + 1.

(cos ' + i sin ' ) k +1 = (cos ' + i sin ' ) k (cos ' + i sin ' ) = (cos k' + i sin k' )(cos ' + i sin ' ) =

(cos( k + 1) ' + i sin( k + 1) ' ).

Dla n = 0 własno±¢ jest oczywista.

Dla n < 0 (cos ' + i sin ' ) n = ((cos ' + i sin ' ) − 1 ) − n = ((cos( − ' ) + i sin( − ' ))) − n =

((cos( − n )( − ' ) + i sin( − n )( − ' ))) = ((cos( n' ) + i sin( n' )))

Pierwiaskowanie liczb zespolonych

Rozwi¡»my równanie: z n = w dla danego w . Zapiszmy poszukiwane z w postaci trygonome-

trycznej z = r (cos ' + i sin ' ). Podobnie w = | w | (cos + i sin ) niech b¦dzie postaci¡ trygono-

metryczn¡ liczby w . Zgodnie ze wzorem Moivre’a, równanie z n = w mo»emy zapisa¢ w postaci:

r n (cos( n' )+ i si n( n' )) = | w | (cos + i sin ). Zgodnie z własno±ci¡ 11), r n = | w | oraz n' = +2 k .

St¡d r =

n p | w | oraz ' = +2 k

potrzeba i wystarcza bra¢ k = 0 , 1 , 2 ,...,n − 1.

Mo»emy wi¦c zapisa¢:

n p

z = n p | z |

cos + 2 k

+ i sin + 2 k

, k = 0 , 1 ,...,n − 1

n p z oznacza zbiór rozwi¡za« równania z n = w czyli tzw. pierwiastek zespolony, a

n p | z |

gdzie

oznacza pojedy«czy pierwiastek arytmetyczny z liczby rzeczywistej dodatniej.

Posta¢ wykładnicza liczby zespolonej

Prawdziwy jest wzór:

1 + a + ib

lim

n !1

= e a (cos b + i sin b )

(1)

Dowód wymaga oczywi±cie znajomo±ci granic w przestrzeniach metrycznych — jest zamiesz-

czony w dodatku.

n . Bior¡c pod uwag¦, »e liczba ' jest znana z dokładno±ci¡ do 2

wnioskujemy, »e we wzorze ' = +2 k

Żabka M - Liczby zespolone.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: