Kusztelak G - Liczby zespolone. Zadania z odpowiedziami.pdf

(117 KB) Pobierz
LICZBY ZESPOLONE - zadania
Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
LICZBY ZESPOLONE - zadania z ODPOWIEDZIAMI
Zadanie 1
Dane są liczby zespolone w poniższej postaci. Wykonaj niezbędne obliczenia a
następnie wskaż
Re( w oraz
)
Im( w
)
4
i
(
−
16
i
)
−
(
+
i
)
2
2
64
2
64
(a)
w
=
=
−
i
⇒
Re( =
w oraz
Im( −
w
)
=
(
i
+
2
)(
2
i
+
1
5
5
5
5
(b)
w
= 135
i
=
−
i
⇒
Re( =
w oraz
0
Im( −
w
)
=
1
(
−
i
)
2
i
1
1
(c)
w
=
=
=
i
⇒
Re( =
w oraz
0
Im( =
w
)
(
−
2
+
2
i
)
2
i
63
4
4
4
Zadanie 2
Znaleźć postać trygonometryczną:
(a)
z
=
−
2
⇒
| z
|
= ,
2
ϕ=
π
⇒ (
z
=
2
cos
π sin
+
i
π
)
(b)
z 5
=
i
⇒
|
z
|
=
5
ϕ
=
1
π
⇒
z
=
5
cos
1
π
+
i
sin
1
π
2
2
2
(c)
z −
=
2 i
12
⇒
|
z
|
=
4
ϕ
=
5
π
⇒
z
=
4
cos
5
π
+
i
sin
5
π
3
3
3
(d)
z
=
−
2 +
2
i
⇒
|
z
|
=
2
2
,
ϕ
=
3
π
⇒
z
=
2
2
cos
3
π
+
i
sin
3
π
4
4
4
Zadanie 3
Niech
z
1
=
−
2
3
+
2
j
,
z 8
2
= ,
−
j
z
3
= 3
−
−
j
Oblicz:
(a)
z
1
⋅
z
2
=
16
+
16
3
⋅
i
(b)
z
1
⋅ z
3
=
8
(c)
z
1
=
−
1
−
3
i
z
4
4
2
(d)
z
1
= 3
1
−
⋅
i
z
3
(e)
z
12
1
=
4
12
z
12
1
(f)
1
=
i
z
99
2
75
3
(g) 3
z : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
z
=
4
cos
5
π
+
i
sin
5
π
.
1
1
6
6
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z 1 są 3 i wyrażają się wzorami
ω
0
, ω
ω
1
,
2
ω
=
3
4
cos
5
π
+
i
sin
5
π
0
18
18
ω
=
3
4
cos
17
π
+
i
sin
17
π
1
18
18
)
)
)
59367627.005.png 59367627.006.png 59367627.007.png 59367627.008.png 59367627.001.png
Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
ω
=
3
4
cos
29
π
+
i
sin
29
π
2
18
18
(h) 3
z : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
z
=
8
cos
3
π
+
i
sin
3
π
.
2
2
2
2
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z 2 są 3 i wyrażają się wzorami
ω
0
, ω
ω
1
,
2
ω
=
2
cos
1
π
+
i
sin
1
π
=
2
i
0
2
2
ω
=
2
cos
7
π
+
i
sin
7
π
=
−
3
−
i
1
6
6
ω
=
2
cos
11
π
+
i
sin
11
π
=
3
−
i
2
6
6
(i)
3 1 i
− : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej:
z
=
2
cos
7
π
+
i
sin
7
π
.
4
4
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby
z −
=1 są 3 i wyrażają się wzorami
i
ω
0
, ω
ω
1
,
2
ω
=
3
2
cos
7
π
+
i
sin
7
π
=
6
2
cos
7
π
+
i
sin
7
π
0
12
12
12
12
ω
=
3
2
cos
15
π
+
i
sin
15
π
=
6
2
cos
15
π
+
i
sin
15
π
1
12
12
12
12
ω
=
3
2
cos
23
π
+
i
sin
23
π
=
6
2
cos
23
π
+
i
sin
23
π
2
12
12
12
12
(j)
4
− postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej (
1
z
=
cos i
π sin
+
π
)
. Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby −
z
=
są 4 i wyrażają się wzorami
ω
0
, ω
ω
1
,
ω
2
,
3
ω
=
cos
1
π
+
i
sin
1
π
=
2
+
2
⋅
i
0
4
4
ω
=
cos
3
π
+
i
sin
3
π
=
−
2
+
2
⋅
i
1
4
4
ω
=
cos
5
π
+
i
sin
5
π
=
−
2
−
2
⋅
i
2
4
4
ω
=
cos
7
π
+
i
sin
7
π
=
2
−
2
⋅
i
3
4
4
(k) 3 8 : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej (
z
=
8
cos
0
+
i
sin
0
)
. Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby 8
z są 3 i wyrażają się wzorami
=
ω
0
, ω
ω
1
,
2
(
) 2
ω
0
=
2
cos
0
+
i
sin
0
=
ω
=
2
cos
2
π
+
i
sin
2
π
=
−
1
+
3
⋅
i
1
3
3
59367627.002.png
Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
ω
=
2
cos
4
π
+
i
sin
4
π
=
−
1
−
3
⋅
i
2
3
3
(l)
7 − : Pierwiastki drugiego stopnia z liczby
24
i
7 − są 2 i wyrażają się wzorami
24
i
ω
0 , ω
1
ω
0
=
4
−
3
ω
1
=
−
4
+
3
Zadanie 4
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równania
(a)
x
2
+
9
=
0
⇒
x
=
−
3 =
∨
x
3
i
(b)
x
2
+
5
=
0
⇒
x
=
−
5
⋅
i
∨
x
=
5
⋅
i
(c)
x
2
−
25
=
0
⇒
x
=
−
5 =
∨
x
5
(d)
x
2
− x
2
+
5
=
0
⇒
x
=
1
−
2
i
∨
x
=
1
+
2
i
(e)
x
2
− x
6
+
13
=
0
⇒
x
=
3
−
2
i
∨
x
=
3
+
2
i
(f)
x
2
+ x
−
2
=
0
⇒
x
=
−
2 =
∨
x
1
(g)
x
2
−
(
2
−
j
)
x
−
1
+
5
j
=
0
⇒
x
=
3
−
2
i
∨
x
=
−
1
+
i
Zadanie 5
Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów:
{
=
z
∈
C
:|
z
−
3
+
2
i
|
=
4
- okrąg o środku w punkcie
z
0
−= oraz promieniu 4
3
2
i
r
=
{
2
B
=
z
∈
C
:|
z
+
1
−
3
i
|
=
- okrąg o środku w punkcie
z
0
=
−
1
+
3
i
oraz promieniu 2
r
=
{
2
D
=
z
∈
C
:
1
<
|
z
+
3
i
|
<
- pierścień o środku w punkcie
z 3
0
−= i odpowiednio zewnętrznym
i
promieniu 2
= R oraz wewnętrznym promieniu 1
r
=
{
|
E
=
z
∈
C
:|
z
+
2
−
3
i
|
=
|
z
−
2
+
i
- linia prosta o równaniu
y
= x
+
1
{
4
F
=
z
∈
C
:
Im(
z
−
3
+
2
j
)
>
- półpłaszczyzna 2
y
>
{
2
G
=
z
∈
C
:
Re(
z
+
3
j
)
<
- półpłaszczyzna 2
x
<
H
=
{
z
∈
C
:
Re(
z
2
+
2
j
)
≥
6
- podzbiór płaszczyzny opisany wzorem
x
2
− y
2
≥
6
| 0
Zadanie 5b
Napisz równanie prostej, której punkty będą równoodległe od punktów z i 2 z ( z i
2 z - dowolne ustalone punkty płaszczyzny zespolonej)
Odp.:
zz =
− |
R
|
z
−
z
1
|
=
|
z
−
z
2
|
i
A
Zadanie 5a
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie z i promieniu R.
Odp.:
59367627.003.png 59367627.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin