wykl_teoria_sprezystosci_06_plaskie_zadania.pdf

(165 KB) Pobierz
Microsoft Word Viewer 97 - Wyk³ad_6_p³askie zadania teorii sprê¿ystoœci.doc
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
P ŁASKIE ZADANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
1
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J ERZY R AKOWSKI
Poznań 2002/2003
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 6
PŁASKIE ZADANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
6.1. Płaski stan naprężenia
3i są tak małe, że można przyjąć je jako zerowe, a pozostałe
składowe tensora naprężenia nie zależą od x 3 . Również składniki sił
masowych wewnętrznych p 3 przyjmujemy jako zerowe. Przykładem
takiego stanu jest stan naprężenia w cienkiej tarczy obciążonej siłami
leżącymi w płaszczyźnie tarczy i równomiernie rozłożonymi na jej
grubości (np. ściana budynku). Tensor naprężenia ma zatem postać:
11
12
0
T
=
21
22
0
(6.1)
0
0
0
Towarzyszący mu tensor odkształceń wygląda następująco:
11
12
0
T
=
21
22
0
(6.2)
0
0
33
Niezerowa wartość
33 wynika ze wzoru na odkształcenia towarzyszące
naprężeniom:
33
=
E
(
11
+
22
)
(6.3)
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
Płaski stan naprężenia zachodzi wówczas, gdy w każdym punkcie
ośrodka na wszystkich płaszczyznach o tym samym wektorze normalnym
składowe wektora naprężenia na jednej z płaszczyzn (i=3) są równe zeru.
Jeśli przyjmiemy, że płaszczyzny te są prostopadłe do osi x 3 , to
naprężenia
54622915.008.png
 
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
P ŁASKIE ZADANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2
Korzystając z wzorów na
ij (których w tym przypadku jest 3) i na
ij
(których jest 4) otrzymamy układ 9 równań, z których po redukcji
niewiadomych można wyprowadzić wzory opisujące płaski stan
naprężenia w przemieszczeniach i w naprężeniach.
PSN w przemieszczeniach:
Dane są równania Lamego (dla 3D):
µ
2
u
+
(
+
µ
)
+
p
=
0
(6.4)
i
,
i
i
oraz związki fizyczne:
ij
=
2
µε
ij
+
ij
kk
(6.5)
i geometryczne:
=
1
(
u
+
u
)
(6.6)
ij
2
i
,
j
j
,
i
Przyjmujemy i = j = 3 (
33 = 0)
2
µ
u
3
,
3
+
(
u
1
+
u
2
,
2
+
u
3
,
3
)
=
0
(6.7)
Z tego:
u
3
3
=
+
2
µ
(
u
1
+
u
2
,
2
)
(6.8)
Dla: i = 1, j = 1
13 = 0,
13 = 0
i = 2, j = 3
23 = 0,
23 = 0
co oznacza, że
dla
i = 1,2
u
i
3
+
u
3
,
=
0
(6.9)
u
=
u
i
3
3
,
i
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
,
,
i
,
54622915.009.png
 
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
P ŁASKIE ZADANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
3
(6.9) różniczkujemy po x 3
u
i
,
33
=
u
3
,
i
3
=
u
3
,
3
i
(6.10)
(6.8) różniczkujemy po x i
u
3
,
3
i
=
+
2
µ
(
u
1
i
+
u
2
,
2
i
)
(6.11)
Po podstawieniu (6.10) do (6.11) otrzymamy:
u
i
,
33
=
+
2
µ
,
i
(6.12)
Gdzie:
=
11
+
22
=
u
1
+
u
2
,
2
(6.13)
Wprowadzając operator Laplace’a w przestrzeni dwuwymiarowej
2
2
2
=
+
(6.14)
x
2
1
x
2
2
Równanie Lamego można zapisać następująco:
µ
(
2
u
+
u
)
+
(
+
µ
) (
+
u
)
+
p
=
0
(6.15)
i
i
,
33
,
3
,
3
i
i
Po podstawieniu (6.10) i (6.11) do (6.15) uzyskamy:
µ
2
u
+
µ
+
+
(
+
µ
) (
+
+
µ
)
+
p
=
0
i
+
2
µ
,
i
,
+
2
µ
i
(6.16)
Czyli:
2
u
+
1
+
2
+
1
p
=
0
(6.17)
i
+
2
µ
,
i
µ
i
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
i
i
54622915.001.png 54622915.002.png 54622915.003.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
P ŁASKIE ZADANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
4
Wiemy, że
µ
=
G
=
2
G
(6.18)
1
2
Więc równanie (6.17) uzyskuje postać:
2
u
+
1
+
+
1
p
=
0
i
=
1
2
(6.19)
i
1
,
i
G
i
PSN w naprężeniach:
Równania dla stanu trójosiowego:
2
+
1
S
=
p
(
p
+
p
)
(6.20)
ij
1
+
ij
1
ij
k
,
k
i
,
j
j
,
i
Gdzie:
S
=
ii
=
11
+
22
+
33
(6.21)
Dla i = j mamy:
2
S
+
1
S
=
3
p
2
p
(6.22)
1
+
,
kk
1
k
k
k
k
Czyli
2
S
=
1
+
p
(6.23)
1
k
,
k
Bo
S kk
=
2
S
(6.24)
,
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
,
,
,
54622915.004.png 54622915.005.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
P ŁASKIE ZADANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
5
Dla i = j = 3
1
2
S
p
2
+
=
p
2
3
(6.25)
33
1
+
x
2
3
1
k
,
k
x
3
Co wobec
33
=
0
p
3
=
0
(6.26)
p
3
=
0
x
3
Można zapisać:
2
S
( )
1
+
=
p
(6.27)
x
2
3
1
k
,
k
Wprowadźmy oznaczenie
S
=
11
+
12
(6.28)
Do równania (6.23) i połączmy je z (6.27)
2
S
1
+
2
S
+
=
p
(6.29)
x
2
3
1
k
,
k
Otrzymamy:
2
S
=
1
+
+
( )
1
+
p
(6.30)
1
1
k
,
k
Czyli ostatecznie:
2
S
=
( )
+
p
dla
i
,
j
=
1
2
(6.31)
k
,
k
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
1
54622915.006.png 54622915.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin