równania kwadratowe matematyka.pdf
(
287 KB
)
Pobierz
101821668 UNPDF
materiałpochodzizestrony
matematyka.pisz.pl
Kwadrat»adnejliczby
rzeczywistej
niejestujemny,dlategotorównanieniemarozwi¡zania.
Równaniekwadratowe
ax
2
+
bx
+
c
=0
a
6
=0
2
x
2
−
16=0
2
x
2
=16
:2
x
2
=8
Najpierwlicz¦
(delta).
=
b
2
−
4
ac
x
=
p
8
lub
x
=
−
p
8
p
x
=
−
p
Pierwiastki
równaniakwadratowegolicz¦wzale»no±ciodznakudelty.
x
=
4
·
2
4
·
2
p
p
x
=2
2
x
=
−
2
2
>
0
dwapierwiastki
x
1
=
−
b
−
p
p
2
a
x
2
=
−
b
+
2
a
=0
jedenpierwiastek
x
1
=
−
b
2
a
x
2
=0
x
=0
(
podwójny
)
<
0
niemapierwiastków
rozwi¡zywanierówna«kwadratowych
Pierwiastkirównania
ax
2
+
bx
+
c
=0
s¡
miejscamizerowymi
funkcjikwadratowej
y
=
ax
2
+
bx
+
c
.
Rozwi¡»pro±ciejni»zewzorów.
x
2
−
3
x
=0
−
2
x
2
+8
x
=0 3
x
2
−
5
x
=0 2
x
2
+
x
=0
Rozwi¡zanie
:
Rozwi¡»pro±ciejni»zewzorów.
x
2
−
3
x
=0
x
(
x
−
3)=0
x
=0
lub
x
=3
x
2
−
4=0
x
2
+9=0 2
x
2
−
16=0
x
2
=0
Rozwi¡zanie
:
x
2
−
4=0
x
2
=4
−
2
x
2
+8
x
=0
−
2
x
(
x
−
4)=0
x
=2
lub
x
=
−
2
x
=0
lub
x
=4
x
2
+9=0
x
2
=
−
9
3
x
2
−
5
x
=0
3
x
(
x
−
5
3
)=0
—
matematyka.pisz.pl
— 1 —
matematyka.pisz.pl
—
x
=0
lub
x
=
5
3
równaniakwadratowe
2
x
2
+
x
=0
2
x
(
x
+
1
2
)=0
x
=0
lub
x
=
−
1
2
Rozwi¡»równanie:
2
x
2
+3
x
−
1=0
Rozwi¡zanie
:
2
x
2
+
3
x
−
1
=0
rozwi¡zywanierówna«kwadratowych
Korzystamzewzorówna
pierwiastkirównaniakwadratowego
.
a
=
2
b
=
3
c
=
−
1
=
3
2
−
4
·
2
·
(
−
1
)=9+8=17
p
Rozwi¡»równanie:
x
2
−
4
x
−
5=0
=
p
17
Rozwi¡zanie
:
x
1
=
−
3
−
p
2
·
2
=
−
3
−
p
p
p
x
2
−
4
x
−
5
=0
17
17
x
2
=
−
3
+
2
·
2
=
−
3+
17
17
4
4
Korzystamzewzorówna
pierwiastkirównaniakwadratowego
.
a
=
1
b
=
−
4
c
=
−
5
=(
−
4
)
2
−
4
·
1
·
(
−
5
)=16+20=36
p
=
p
36=6
równaniakwadratowe
x
1
=
−
(
−
4
)
−
6
2
·
1
=
4
−
6
2
=
−
2
2
=
−
1
x
2
=
−
(
−
4
)+6
2
·
1
=
4+6
2
=
10
2
=5
Rozwi¡»równanie:
2
x
−
x
(
x
+3)=(
x
−
1)
2
−
2
Rozwi¡zanie
:
równaniakwadratowe
Rozwi¡»równanie:
x
2
+6
x
+9=0
2
x
−
x
(
x
+3)=(
x
−
1)
2
−
2
2
x
−
x
2
−
3
x
=
x
2
−
2
x
+1
−
2
−
x
2
−
x
=
x
2
−
2
x
−
1
−
x
2
−
x
−
x
2
+2
x
+1=0
−
2
x
2
+
x
+1=0
Rozwi¡zanie
:
x
2
+
6
x
+
9
=0
Korzystamzewzorówna
pierwiastkirównaniakwadratowego
.
a
=
1
b
=
6
c
=
9
=
6
2
−
4
·
1
·
9
=36
−
36=0
Korzystamzewzorów
napierwiastkirównaniakwadratowego
.
=
1
2
−
4
·
(
−
2)
·
1=1+8=9
p
p
9=3
x
1
=
−
6
2
·
1
=
−
6
2
=
−
3
x
1
=
−
1
−
3
2
·
(
−
2)
=
−
4
−
4
=1
x
2
=
−
1+3
2
·
(
−
2)
=
2
−
4
=
−
1
2
—
matematyka.pisz.pl
— 2 —
matematyka.pisz.pl
—
=
równaniakwadratowe
Korzystamzewzorów
napierwiastkirównaniakwadratowego
.
=(
−
5)
2
−
4
·
(
−
2)
·
(
−
2)=25
−
16=9
p
=
p
9=3
Rozwi¡»równanie:
x
1
=
−
(
−
5)
−
3
2
·
(
−
2)
x
2
=
−
(
−
5)+3
2
·
(
−
2)
(
x
−
3)(
x
+2)=2
x
(
x
−
2)
−
2
x
Rozwi¡zanie
:
−
4
=
2
x
2
=
5+3
−
4
=
8
−
4
−
4
(
x
−
3)(
x
+2)=2
x
(
x
−
2)
−
2
x
x
2
+2
x
−
3
x
−
6=2
x
2
−
4
x
−
2
x
x
2
−
x
−
6=2
x
2
−
6
x
x
2
−
x
−
6
−
2
x
2
+6
x
=0
−
x
2
+5
x
−
6=0
x
1
=
−
1
2
x
2
=
−
2
równaniakwadratowe
Korzystamzewzorów
napierwiastkirównaniakwadratowego
.
=5
2
−
4
·
(
−
1)
·
(
−
6)=25
−
24=1
p
Rozwi¡»równanie:
p
(
x
−
1)
3
−
(
x
+2)
3
=
−
(
x
−
3)
2
=
1=1
Rozwi¡zanie
:
x
1
=
−
5
−
1
2
·
(
−
1)
=
−
6
−
2
=3
x
2
=
−
5+1
2
·
(
−
1)
=
−
4
−
2
=2
(
x
−
1)
3
−
(
x
+2)
3
=
−
(
x
−
3)
2
x
3
−
3
x
2
+3
x
−
1
−
(
x
3
+6
x
2
+12
x
+8)=
−
(
x
2
−
6
x
+9)
x
3
−
3
x
2
+3
x
−
1
−
x
3
−
6
x
2
−
12
x
−
8=
−
x
2
+6
x
−
9
−
9
x
2
−
9
x
−
9=
−
x
2
+6
x
−
9
−
9
x
2
−
9
x
−
9+
x
2
−
6
x
+9=0
−
8
x
2
−
15
x
=0
−
8
x
(
x
+
15
8
)=0
x
1
=0
x
2
=
−
15
8
=
−
1
7
8
równaniakwadratowe
Rozwi¡»równanie:
5
−
(
x
−
3)(
x
+3)=(
x
+4)
2
−
3
x
Rozwi¡zanie
:
równaniakwadratowe
5
−
(
x
−
3)(
x
+3)=(
x
+4)
2
−
3
x
5
−
(
x
2
−
9)=
x
2
+8
x
+16
−
3
x
5
−
x
2
+9=
x
2
+5
x
+16
−
x
2
+14=
x
2
+5
x
+16
−
x
2
+14
−
x
2
−
5
x
−
16=0
−
2
x
2
−
5
x
−
2=0
Rozwi¡»równanie:
x
4
−
5
x
2
+4=0
Rozwi¡zanie
:
x
4
−
5
x
2
+4=0
(
x
2
)
2
−
5
x
2
+4=0
—
matematyka.pisz.pl
— 3 —
matematyka.pisz.pl
—
x
1
=
5
−
3
Wprowadzamzmienn¡pomocnicz¡
t
=
x
2
t
2
−
5
t
+4=0
niemarozwi¡zania lub
x
=
−
3
lub
x
=3
Odp.Rozwi¡zaniemrównanias¡liczby
−
3
,
3
.
Korzystamzewzorówna
pierwiastkirównaniakwadratowego
.
=(
−
5)
2
−
4
·
1
·
4=25
−
16=9
p
=
p
9=3
równaniakwadratowe
t
1
=
−
(
−
5)
−
3
2
·
1
=
5
−
3
2
=
1
t
2
=
−
(
−
5)+3
2
·
1
=
5+3
2
=
4
Rozwi¡»równanie:
x
4
−
3
x
2
=0
Mam
t
=
x
2
,wi¦c
Rozwi¡zanie
:
x
2
=
1
lub
x
2
=
4
x
4
−
3
x
2
=0
x
=
−
1
lub
x
=1
lub
x
=
−
2
lub
x
=2
x
2
(
x
2
−
3)=0
p
p
x
2
(
x
−
3)(
x
+
3)=0
Odp.Rozwi¡zaniemrównanias¡liczby
−
1
,
1
,
−
2
,
2
.
równaniakwadratowe
x
1
=0
x
2
=
p
3
x
3
=
−
p
3
p
3
,
−
p
3
.
Odp.Rozwi¡zaniemrównanias¡liczby
0
,
Rozwi¡»równanie:
x
4
−
7
x
2
−
18=0
równaniakwadratowe
Rozwi¡zanie
:
x
4
−
7
x
2
−
18=0
(
x
2
)
2
−
7
x
2
−
18=0
Zadania+Rozwi¡zania
Rozwi¡»układyrówna«:
(
y
=
x
2
−
5
x
+3
y
=
−
2
x
+1
(
x
2
+
y
2
=5
x
+
y
=1
(
xy
=
−
10
x
−
y
=3
Wprowadzamzmienn¡pomocnicz¡
t
=
x
2
t
2
−
7
t
−
18=0
Korzystamzewzorówna
pierwiastkirównaniakwadratowego
.
=(
−
7)
2
−
4
·
1
·
18=49+72=121
p
p
Rozwi¡»układrówna«.
Rozwi¡zanie
:
(
y
=
x
2
−
5
x
+3
y
=
−
2
x
+1
=
121=11
t
1
=
−
(
−
7)
−
11
2
·
1
=
7
−
11
2
=
−
2
t
2
=
−
(
−
7)+11
2
·
1
=
7+11
2
=
9
metodapodstawiania
−
2
x
+1=
x
2
−
5
x
+3
0=
x
2
−
5
x
+3+2
x
−
1
0=
x
2
−
3
x
+2
Mam
t
=
x
2
,wi¦c
x
2
=
−
2
lub
x
2
=
9
—
matematyka.pisz.pl
— 4 —
matematyka.pisz.pl
—
x
2
−
3
x
+2=0
(
x
1
=
−
1
y
1
=2
(
x
2
=2
y
2
=
−
1
równaniekwadratowe
=(
−
3)
2
−
4
·
1
·
2=9
−
8=1
p
Odp.
p
=
1=1
Rozwi¡»układrówna«.
Rozwi¡zanie
:
8
>
<
x
1
=
−
(
−
3)
−
1
2
·
1
=
2
2
=1
8
>
<
x
2
=
−
(
−
3)+1
2
·
1
=
4
2
=2
(
xy
=
−
10
x
−
y
=3
(
xy
=
−
10
−
y
=3
−
x
·
(
−
1)
(
xy
=
−
10
>
:
>
:
y
1
=
−
2
·
1+1=
−
2+1=
−
1
y
2
=
−
2
·
2+1=
−
4+1=
−
3
Odp.
(
x
1
=1
y
1
=
−
1
(
x
2
=2
y
2
=
−
3
Rozwi¡»układrówna«.
Rozwi¡zanie
:
y
=
−
3+
x
(
x
(
−
3+
x
)=
−
10
(
x
2
+
y
2
=5
y
=
−
3+
x
x
+
y
=1
(
x
2
+
y
2
=5
metodapodstawiania
y
=1
−
x
x
(
−
3+
x
)=
−
10
−
3
x
+
x
2
=
−
10
x
2
−
3
x
+10=0
metodapodstawiania
x
2
+(1
−
x
)
2
=5
x
2
+1
−
2
x
+
x
2
=5
2
x
2
−
2
x
+1
−
5=0
2
x
2
−
2
x
−
4=0
/
:2
x
2
−
x
−
2=0
równaniekwadratowe
=(
−
3)
2
−
4
·
1
·
10=9
−
40=
−
31
<
0
–równaniekwadratoweniemarozwi¡zania
Odp.Układrówna«niemarozwi¡zania.
równaniekwadratowe
=(
−
1)
2
−
4
·
1
·
(
−
2)=1+8=9
p
wzoryViete’a
Je»elifunkcjakwadratowamapierwiastki,toprawdziwes¡dlanichnast¦puj¡ce
wzoryViete’a
:
x
1
=
−
(
−
1)
−
3
2
·
1
=
−
2
2
=
−
1
8
>
<
x
2
=
−
(
−
1)+3
2
·
1
=
4
2
=2
x
1
+
x
2
=
−
b
a
>
:
>
:
x
1
·
x
2
=
c
a
y
1
=1
−
(
−
1)=1+1=2
y
2
=1
−
2=
−
1
—
matematyka.pisz.pl
— 5 —
matematyka.pisz.pl
—
=
p
9=3
8
>
<
Plik z chomika:
viktus
Inne pliki z tego folderu:
Matematyka Korepetycje 3_Indukcja Matematyczna Ciagi i ich Granice.pdf
(26669 KB)
Krystyna Dobrowolska, Waclaw Dyczka, Helena Jakuszenikow - Matematyka 0 Repetytorium.pdf
(19376 KB)
Zieleń Stanisław - Matematyka dla kl. 1 szkoły średniej.pdf
(78340 KB)
Matematyka - wyrażenia wymierne zbiór zadań dla liceum i technikum.pdf
(3886 KB)
Matematyka - podstawowe wzory.pdf
(106 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin