granice_i_pochodne_funkcji.pdf

(105 KB) Pobierz
Granice i pochodne funkcji
GRANICE I POCHODNE FUNKCJI
1. Znaleźćzbiórwartościfunkcji
f
( )
x
=
4
x
3
-
12
x
dla
x
Î
-
2
0
.
2. Znaleźćwszystkieprzedziałydlaktórychfunkcja
f
( )
x
=
x
-
cos
x
, gdzie
x Î
R
, jest
ro snąca.
3. Podaćdefinicjęgranicy funkcji w punkcie 0
x .
4. Obliczyćpochodnąfunkcji
y
=
sin
2
x
.
cos
x
5. Wyznaczyć tangens kąta, pod którym przecinają się krzywe
y
=
x
2
i
y
=
x
w punkcie
P
( )
-
1
1
.
6. Obliczyćgranicę
lim 0
sin
3
x
izbadaćciągłośćfunkcji.
2
x
x
®
7. Wykazać,Ŝefunkcja
f
( )
x
= x
|
x
|
sin
x
jest nieparzysta.
2
+
1
1
8. Obliczyćzdefinicji
f ¢
( )
x
dla
f
( )
x
=
.
2
x
æ
4
-
x
2
ö
9. Obliczyć
lim
ç
4
+
÷
.
x
-
2
è
ø
x
®
2
10. Wyznaczyćkąty,podktórymiprzecinająsiękrzywe
y
=
x
2
i
y
2
=
x
.
11. Znaleźćasymptotykrzywej
y
= x
x
-
2
.
2
-
4
( )
12. Zbadać monotoniczność funkcji
f
x
=
x
x
-
4
. Podać najmniejszą wartość jaka
.
14. Podaćdefinicjępochodnejfunkcjiwpunkcie,anastępniekorzystającztejdefinicji
obliczyć
f
( )
2
x
=
f
¢
(
x
)
, gdy
f
( )
x
=
sin
2
x
f ¢
( )
0
, gdy
f
( )
x
=
4
+
x
+
x
2
.
( )
1
-
2
x
2
-
x
4
15. Zbadaćmonotonicznośćfunkcji
f
x
=
.
x
16. Podać definicję funkcji ciągłej w punkcie. Zbadać ciągłość funkcji
( )
ì
x
2
+
2
x
dla
x
<
0
f
x
=
í
.
1
-
x
dla
x
>
0
17. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
y
=
x
32 x
+
3
)
w przedziale
-
3
1
.
18. Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcji
y
=
3
cos
2
è
1
x
ø
wpunkcieoodciętej
2
x = p
0
.
19. Znaleźćtakądodatniąliczbę a, aby proste styczne do paraboli o równaniu
y
=
a
-
x
2
poprowadzonewpunktachprzecięciaparabolizosiąOX,byłyprostopadłe.
1
przyjmuje ta funkcja.
13. Rozwiązaćrównanie
(
æ
ö
20. Wyznacz yćwartość a tak, by funkcja
y
=
(
ax
-
3
)
x
osiągałaekstremumdla .
x
=
1
Zbadaćczyjesttomaksimumczyminimum.
21. Wyznaczyćdziedzinęiznaleźćekstremumfunkcji
f
( )
t
=
t
+
5
.
t
1
22. Dla jakiej wartości parametru a styczna do krzywej o równaniu
y
=
x
+
a
1
poprowadzona w punkcie
x jestrównoległadoprostej
=
4
x
+
9
y
=
0
?
0
2
í
sin
5
x
dla
x
¹
0
( )
23. Dlajakiejwartości a funkcja
f
x
=
x
jestciągładla 0
x
=
?
î
a
dla
x
=
0
24. Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji w dowolnym punkcie:
) ( )
.
25. Obliczyć pole trójkąta ograniczonego styczną do krzywej
f
x
=
x
3
b
) ( )
f
x
=
x
4
y cos
=
x
w punkcie
M
è
p
;
0
ø
orazosiamiukładu OXY .
26. Na okręgu o promieniu długości r naleŜy opisać trapez, którego jeden z kątów ma
miarę łukową
. Jakie powinny być miary pozostałych trzech kątów, aby pole
trapezubyłonajmniejsze?Obliczyćtonajmniejszepole.
27. Znaleźćekstremafunkcji
a
y
=
x
2
x
+
2
.
28. Zbadaćmonotonicznośćfunkcji
f
( )
x
=
x
4
-
1
+
5
w przedziale
( )
0
¥
.
x
2
x
2
+
3
x
29. Wykazać,Ŝeprosta 2
y jestasymptotąpionowąwykresufunkcji
=
y
= x
.
2
-
1
30. Obliczyć
f ¢
( )
jeŜeli
f
( )
x
=
( ) (
2
+
1
1
-
3
x
)
.
31. Podjakimkątemwykresfunkcji
y
=
sin
3
x
przecinaośOXwpunkcie
x
0 p
=
3
?
32. Wyznaczyćpunkt,wktórymfunkcjaokreślonawzorem
f
( )
=
2
x
3
-
3
x
2
-
12
x
+
13
ma maksimum lokalne.
33. Wykazać,Ŝefunkcja
f
( )
x
=
3 x
x
-
2
jestrosnącawprzedziale
( )
-
1
1
.
34. Podaćwzórfunkcji
f takiej,Ŝe
( )
x
f
¢
( )
x
=
x
i
f
( )
0
=
1
.
35. Obliczyćpochodnąfunkcji
y
=
x
cos
3
x
w punkcie
x
=
p
.
0
36. Dla jakich wartości parametru k funkcja
f
( )
=
x
3
-
x
2
+
kx
nie ma ekstremum
lokalnego?
37. Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcji
f
( )
x
=
1
w przedziale
x
2
-
2
x
+
2
-
2
2
.
38. Znaleźć ekstrema funkcji
f
( ) ( ) ( )
x
=
x
+
3
2
x
+
8
3
dla
x
Î
R
. Ile pierwiastków ma
równanie
f
( )
=
108
?
39. Obliczyćgranicę:
a)
lim
-
® x
2
x
-
3
x
7
2
-
49
2
ì
a
æ
ö
0
x
x
x
x
x
-
1
2
b)
lim
1
3
x
-
2
x
+
2
x
-
1
x
®
2
1
-
cos
2
3
x
c)
lim
x
®
0
x
2
x
2
d)
lim
x
®
0
1
-
cos
2
x
2
x
e)
li 1
x
®
+
x
-
1
2
x
f)
li 1
x
®
-
x
-
1
g)
lim 0
tgx
-
sin
x
x
®
x
x
2
+
4
x
-
12
h)
lim
x
®
2
x
3
-
8
x
-
4
i)
lim 4
x
® x
-
2
j)
lim 0
tg
2
x
x
®
3
x
x
2
k)
lim
log
x
®
0
2
1
-
cos
4
x
(
)
l)
lim
x
-
x
2
-
x
+
1
x
®
¥
(
)
ł)
lim
x
-
x
2
-
x
+
1
x
®
-¥
x
2
-
1
m)
lim
x
®
-¥
3
8
x
3
+
3
(
)
n)
lim
x
2
+
2
x
+
1
-
x
2
+
1
x
®
¥
1
o)
lim
3
x
x
®
0
+
1
4
+
+
5
x
p)
lim
[
log
(
10
x
2
+
1
)
-
2
log
x
]
x
®
¥
r)
lim
è
1
-
4
ø
x
®
1
1
-
x
1
-
x
3
s)
lim
sin
( )
2
x
-
2
x
®
2
2
x
-
x
t)
lim 0
sin
3
x
+
sin
x
x
®
x
x
2
u)
lim
x
®
0
1
-
cos
2
x
3
æ
ö
x
2
w)
lim
® p
1
-
cos
2
x
x
2
sin
2
x
x)
lim
x
®p
1
+
cos
3
x
40. Woparciuodefinicjępochodnejobliczyć:
a)
f
¢
è
p
ø
dla
f
( )
x
=
cos
2
x
4
( )
( )
b)
f
¢
3
dla
f
x
=
2
x
+
3
c)
f
¢
( )
1
dla
f
( )
x
=
5
-
x
d)
f
¢
( )
2
dla
f
( )
x
=
1
2
x
e)
f
¢
( )
x
0
dla
f
( )
x
=
cos
3
x
f)
f ¢
( )
4
jeŜeli
f
( )
x
=
1
+
2
x
41. Obliczyć:
( )
( )
x
2
a)
f ¢
3
jeŜeli
f
x
= x
2
+
1
( )
( )
( )
x
5
+
1
b)
f
¢
0
i
f
¢
2
jeŜeli
f
x
= x
+
1
c)
f
¢ p
8
è
3
ø
jeŜeli
f
( )
x
=
cos
2
x
d)
¢ f jeŜeli
è
ø
f
( )
x
=
2
cos
x
+
9
e)
f
¢ p
è
ø
gdzie
f
( )
x
=
cos
2
x
.
f)
f ¢
( )
4
jeŜeli
f
( )
x
=
1
x
g)
¢ f jeŜeli
è
ø
f
( )
x
=
3
cos
2
x
+
x
h)
¢ f jeŜeli
è
ø
f
( )
x
=
1 +
cos
2
x
i)
¢ f jeŜeli
è
ø
f
( )
x
=
x
sin 2
3
x
j)
f ¢
( 1
jeŜeli
f
( )
x
=
x
x
2
+
3
+
sin
2
3
x
í
x
sin
x
dla
x
¹
0
( )
42. Dlajakiejwartościparametru a funkcja
f
x
=
jestciągła
x
2
+
4
-
2
î
a
dla
x
=
0
x ?
43. Który z punktów paraboli
=
0
y
=
x
2
jestpołoŜonynajbliŜejprostej
y
=
2
x
-
2
?
4
ö
ö
ö
ö
ö
ö
ö
ì
w punkcie
44. Podać definicję asymptot pionowych. Wyznaczyć asymptoty pionowe funkcji
y
=
x
(
2
14
-
x
4
)
.
45. DłuŜsza podstawatrapezurównoramiennegojestrówna13cm,ajegoobwód28cm.
Wyrazićpoletrapezujakofunkcjędługościjegoramienia.Znaleźćdziedzinęizbiór
wartościfunkcji.
46. Dana jest funkcja
f
( )
x
=
cos 2
3
x
+
3
x
-
log
5
+
3
.Rozwiązaćrównanie
f
¢
è
1
x
ø
=
0
.
2
3
47. Funkcje f i g sąokreślonewzorami
f
( )
x
=
2
x
2
+
1
i
g
( )
x
=
1
.Obliczyć
h ¢
( )
1
, gdzie
x
x
h
( )
x
=
f
( ( )
g
x
.
48. Obliczyćgranicejednostronnefunkcji f w punkcie
x jeśli
=
2
f
( )
x
= x
2
-
x
.
0
-
2
49. Obliczyć
¢ f ,jeŜeli
è
ø
f
( )
x
=
sin
3
x
.
x
2004
x
2003
x
2
50. Wyznaczyćprzedziałymonotonicznościfunkcji
y
=
-
+
-
x
-
2003
.
2004
2003
2
51. W jakich punktach krzywej
y
=
x
3
-
3
x
styczne do tej krzywej są prostopadłe do
x .Napisaćrównaniatychstycznych.
52. Znaleźć x , dla których
+
6
y
+
1
=
0
f
¢
( )
x
+
4
f
( )
x
=
0
,jeśli
f
( )
x
=
cos 2
2
x
.
53. Znaleźćfunkcję f ,jeŜeli
f
¢
( )
x
=
3
x
2
-
2
x
+
1
oraz
f
( )
0
=
5
.
54. Napisaćrównaniestycznejdoparaboli
y
=
1 x
2
,tworzącejzosią OX kąt
45 .
°
4
( )
55. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji
f
x
=
4
3
8
+
sin
3
x
w punkcie
x .
56. Wykazać, Ŝe funkcja
0
=
0
f
( )
x
=
x
3
-
3
x
2
+
4
x
+
cos
x
jest rosnąca w całej swojej
dziedzinie.
57. Wyznaczyćnajwiększąinajmniejsząwartośćfunkcji
f
( )
x
=
sin
x
1
+
cos
x
przedziale
0
p
.
2
58. Dla jakiej wartości parametru a funkcja
f
( )
x
=
ax
+
cos
2
x
jest malejąca w zbiorze
liczb rzeczywistych?
59. Pokazać, Ŝe Ŝadna styczna do wykresu funkcji
f
( )
x
=
sin
x
-
3
cos
x
nie jest
x .
60. Znaleźć współrzędne punktów, w których styczna do wykresu funkcji
( )
4
-
y
+
5
=
0
f
x
=
x
3
-
3 x
2
,
x
Î
R
jest równole gładoosi OX .
61. Sprawdzić,czy
x jestrozwiązaniemrównania
=
p
( )
tg
2
2
x
¢
=
16
3
62. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji
f
( )
x
=
x
4
-
x
+
1
równoległej do
prostej
y 3
=
x
.
5
ö
ö
prostej
równoległadoprostejorównaniu

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin