1. Promień wodzący.
Promieniem wodzącym punktu nazywa się wektor
Równanie linii prostej przechodzącej przez punkt wyznaczony przez położenie i równoległą do wektora , można zapisać przy pomocy promienia wodzącego
Rozważmy dowolne funkcje ciągłe
Wtedy wektor wodzący
opisuje w przestrzeni linię krzywą
2. Pochodna funkcji wektorowej.
Niech będzie funkcją wektorową parametru .
Mówimy, że funkcja jest klasy jeżeli każda z funkcji rzeczywistych należy do klasy
Pochodną funkcji wektorowej definiuje się analogicznie jak dla funkcji rzeczywistych
Granica jest rozumiana jako granica dla każdej składowej
Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja wektorowa jest promieniem wodzącym
i , to pochodna
=
jest wektorem stycznym do krzywej wyznaczonej przez tę funkcję w punkcie .
Jeżeli promień wodzący opisuje łuk C, gdy parametr jest z przedziału, to długość tego łuku jest dana wzorem
3. Własności pochodnej wektora
Reguły różniczkowania funkcji wektorowej analogiczne jak dla funkcji rzeczywistych
4. Pola skalarne i wektorowe.
Jeśli w danym obszarze V zawartym w przestrzeni trójwymiarowej określona jest funkcja trzech zmiennych o wartościach liczbowych
to mówimy, że para jest polem skalarnym.
Mówimy, że pole jest klasy tzn. jeśli oraz
Jeżeli pole jest klasy to zbiór punktów takich, że
jest powierzchnią rozciągniętą w obszarze V .
Przykład. Jeśli jest polem temperatury, to
wyznacza powierzchnię izotermiczną.
Przykład. Jeśli jest polem ciśnienia, to
wyznacza powierzchnię izobaryczną.
Jeśli w danym obszarze V zawartym w przestrzeni trójwymiarowej określona jest funkcja trzech zmiennych o wartościach wektorowych
to mówimy, że para jest polem wektorowym.
Pola wektorowe można dodawać i mnożyć przez liczbę
5. Pochodna kierunkowa.
Niech będzie dane pole skalarne klasy , i ustalony wektor jednostkowy
Wektor ten definiuje półprostą
dla
Jego składowe są cosinusami kierunkowymi, czyli cosinusami kątów między tym wektorem a wersorami osi układu współrzędnych
Równanie tej półprostej ma równoważną postać
Używając pola i równania półprostej można zdefiniować funkcję złożoną parametru t ,
Pochodną kierunkową pola skalarnego w kierunku wektora w punkcie definiujemy następująco
Określa ona szybkość zmian pola wzdłuż tej półprostej (czyli w kierunku wektora ) w punkcie . Można ją obliczyć następująco
Zauważmy, że w szczególności pochodne w kierunku wersorów osi układu współrzędnych sprowadzają się do pochodnych cząstkowych
6. Gradient
Niech będzie dane pole skalarne klasy , . Wtedy wektor
lub krócej
nazywamy gradientem pola skalarnego.
Zauważmy, że pochodna kierunkowa da się wyrazić przy użyciu gradientu
Twierdzenie 2. Gradient jest wektorem prostopadłym do powierzchni ekwipotencjalnej pola o równaniu
Dowód. Niech promień wodzący określa dowolną krzywą leżącą na powierzchni ekwipotencjalnej, czyli spełniony warunek
(*)
Wektor styczny do tej krzywej jest
pochodna równania (*) daje
skąd wynika, że iloczyn skalarny gradientu i wektora stycznego do powierzchni ekwipotencjalnej jest równy zeru, czyli gradient jest prostopadły do tej powierzchni.
Zauważmy, że pole rośnie w kierunku gradientu.
Niech będzie wektorem jednostkowym w kierunku gradientu. Wtedy pochodna kierunkowa w tym kierunku jest dodatnia
Twierdzenie 3. Funkcja rośnie najszybciej w kierunku swojego gradientu.
Dowód. Niech
będzie wektorem jednostkowym, tworzącym kąt z wektorem gradientu . Pochodna funkcji w kierunku wektora jest iloczynem skalarnym
i jest największa gdy kąt między wektorami jest zero. Oznacza to, wtedy gdy wektor pokrywa się z kierunkiem gradientu.
7. Pole potencjalne.
Jeżeli pole skalarne jest klasy tzn. , oraz
wtedy z tym polem związane jest pole wektorowe gradientu
.
Jeżeli, odwrotnie, pole wektorowe
jest klasy i istnieje funkcja klasy taka, że
tzn.
to pole nazywamy potencjalnym, funkcja jest jego potencjałem.
Przykład. Pole wektorowe sił grawitacji
,
posiada potencjał. Jest nim , gdzie p jest ciśnieniem a gęstością płynu (np. powietrza lub wody). Rzeczywiście z prawa hydrostatyki
lub
Stąd:
Co oznacza, że
8. Całka krzywoliniowa w polu wektorowym.
Niech w polu wektorowym
czyli
lub krótko
viktus