energia_kinetyczna_7.4.pdf

(396 KB) Pobierz
79491394 UNPDF
7.4.1. Energia kinetyczna układu punktów materialnych
Energią kinetyczną punktu materialnego o masie m, poruszającego się z
prędkością v , nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:
E
2
= .
mv
2
Dla układu n punktów materialnych o masach m k poruszających się
z prędkością v k energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych
poszczególnych punktów materialnych:
∑
n
m
v
2
k
1
∑
n
E
=
k
=
m
v
2
k
. (7.75)
2
2
k
k
=
1
k
=
1
Podobnie jak w przypadku krętu układu punktów materialnych (7.3.2),
prędkość bezwzględną v k każdego punktu materialnego rozłożymy na prędkość
unoszenia v C , wywołaną ruchem postępowym ruchomego układu współrzędnych
o początku w środku masy C względem układu nieruchomego x, y, z,
i prędkość względną v
Ck względem układu ruchomego (rys. 7.17):
v +
k
=
v
C
v
Ck
.
Po podstawieniu tej zależności do wzoru (7.75) oraz przedstawieniu kwadratu
prędkości w postaci iloczynu skalarnego
v
2
k
=
v ⋅
k
v
k
otrzymamy:
1
∑
n
1
∑
n
( ) ( )
E
=
m
v
⋅
v
=
m
v
+
v
⋅
v
+
v
=
2
k
k
k
2
k
C
Ck
C
Ck
k
=
1
k
=
1
1
∑
n
(
) =
=
m
v
2
C
+
2
v
⋅
v
+
v
2
Ck
2
k
C
Ck
k
=
1
1
∑
n
∑
n
1
∑
n
=
v
2
C
m
+
v
⋅
m
v
+
m
v
2
Ck
. (a)
2
k
C
k
Ck
2
k
k
=
1
k
=
1
k
=
1
x , y , z . Wiadomo jednakże, że
pęd jest równy iloczynowi masy całkowitej i prędkości środka masy (7.44), która w
stosunku do ruchomego układu odniesienia ′ ′ ′
x , y , z jest równa zeru. Zatem
x, y, z
′ ′ ′
Drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ
występująca w nim suma jest pędem układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu współrzędnych ′ ′ ′
79491394.011.png
 
∑ =
m
k
v
Ck
=
0
.
k
1
Ostatni wyraz jest energią kinetyczną układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu odniesienia ′ ′ ′
x, y, z :
1
∑ =
n
E
=
m
v
2
Ck
. .)
c
2
k
k
1
Po oznaczeniu masy całkowitej rozpatrywanego układu materialnego przez
∑ =
n
m
=
m
k
k
1
równanie (a) przyjmuje postać:
E +
=
E
1
mv
2
C
. .)
C
2
Zależność (7.77) nosi nazwę twierdzenia Koeniga .
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż
układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.
n
79491394.012.png
 
7.4.2. Energia kinetyczna bryły
W celu wyznaczenia energii kinetycznej bryły o masie m poruszającej się
ruchem ogólnym postąpimy podobnie jak przy wyznaczaniu krętu bryły (p. 7.3.3).
W bryle myślowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszający się z
prędkością zgodną ze wzorem (5.32):
v
=
v
C
+
ω
×
r
′
. )
Energia kinetyczna tego elementu
dE
=
1
v ⋅
v
dm
,
2
a energia bryły jest równa całce względem całej masy z tego wyrażenia:
E
=
1
∫ ⋅
v
v
dm
. )
2
m
Po podstawieniu do wzoru (c) prędkości w postaci (b) otrzymamy:
E
=
1
∫
( ) ( )
v
+
ω
×
r
′
⋅
v
+
ω
×
r
′
dm
=
2
C
C
m
=
1
∫
v
2
C
dm
+
∫
v
⋅
( ) ( ) ( ) dm
2
ω
×
r
′
dm
+
1
∫
ω
×
r
′
⋅
ω
×
r
′
. (d)
2
C
m
m
m
Po przekształceniu wyrażeń podcałkowych w drugiej i trzeciej całce do postaci:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
v
C
⋅
ω
×
r
′
=
v
C
×
ω
⋅
r
′
,
[ ]
ω
×
r
′
⋅
ω
×
r
′
=
ω
⋅
r
′
ω
×
r
′
oraz wyłączeniu przed całki v C i ω, jako wielkości niezależnych od zmiennych
całkowania
x , y , z
′ ′ ′
, wzór (d) możemy zapisać:
E
=
1
v
2
C
∫
dm
+
( )
v
×
ω
⋅
∫
r
′
dm
+
1
ω
⋅
∫
r
′
( )
ω
×
r
′
dm
. (e)
2
C
2
m
m
m
Pierwsza całka jest masą bryły, druga momentem statycznym względem środka
masy, a trzecia krętem bryły w ruchu względem środka masy (7.62), czyli
m
=
∫
dm
,
∫
r
′
dm
=
0
oraz
k
C
=
∫
r
′
( )
×
r
′
dm
.
m
m
m
Po uwzględnieniu powyższych zależności we wzorze (e) otrzymujemy:
ω
79491394.001.png 79491394.002.png 79491394.003.png 79491394.004.png
E
= k
1
ω . .)
⋅
+
1
mv
2
C
2
C
2
Pierwszy wyraz w powyższym wzorze jest energią kinetyczną bryły w jej
chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy:
E
=
1
ω ⋅
k
.
.)
C
2
C
Zatem energię kinetyczną bryły możemy przedstawić w postaci identycznej ze
wzorem (7.77):
EE=+ 1
2 mv 2
. .)
Jest to twierdzenie Koeniga dla bryły.
Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym jest sumą energii kinetycznej bryły w
jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy i energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.
Aby obliczyć energię E C we wzorze (7.79), przedstawimy iloczyn skalarny za
pomocą współrzędnych wektorów ω i k C danych w układzie ruchomym
x, y, z
:
E
=
1
ω ⋅
k
= (
1
ω
k
+
ω
k
+
ω
k
)
.
C
2
C
2
x
′
C
′
y
′
C
′
z
′
C
′
Po podstawieniu w tym wzorze współrzędnych krętu danych wzorami (7.65)
i uporządkowaniu wyrazów energię kinetyczną bryły w jej ruchu względem środka
masy możemy przedstawić w postaci:
E
=
1
(
I
ω
2
x
+
I
ω
2
y
+
I
ω
2
z
) −
C
2
x
′
′
y
′
′
z
′
′
−
D
x
y
ω
x
′
ω
y
′
+
D
y
z
′
ω
y
′
ω
z
′
+
D
z
′
x
′
ω
z
′
ω
x
′
)
(7.81)
Zatem, podobnie jak w przypadku krętu k C , do obliczenia energii kinetycznej
bryły w jej ruchu względem środka masy musimy znać wszystkie osiowe i
dewiacyjne momenty bezwładności.
Gdy osie ′ ′ ′
E
=
1
(
I
ω
2
x
+
I
ω
2
y
+
I
ω
2
z
)
. (7.82)
C
2
x
′
′
y
′
′
z
′
′
′ ′ ′
(
′
′
′
x, y, z są głównymi centralnymi osiami bezwładności, momenty
dewiacyjne znikają, a wzór (7.81) upraszcza się do postaci:
79491394.005.png 79491394.006.png
 
Jeżeli ruch bryły jest ruchem obrotowym wokół stałej osi obrotu, np. l, z
prędkością kątową ω, to energia ruchu obrotowego
ω
A
v A
= , (7.83)
I
2
2
l
R
r
v C
gdzie I l jest momentem bezwładności
względem osi obrotu l.
C
Przykład 7.11. Kołowrót o masie
m 1 = 5m i promieniach r oraz R = 1,5r
toczy się bez poślizgu małym obwodem
po poziomej listwie (rys. 7.17). Środek
masy C tego kołowrotu znajduje się na
osi symetrii obrotowej i ma stałą
prędkość v C . Na duży obwód nawinięto
linkę, na której końcu zawieszono
ciężarek o masie m 2 = m. Promień
bezwładności kołowrotu względem osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny
rysunku jest równy . Obliczyć energię kinetyczną tego układu.
S
m 2
v C
v A
v 2
Rys. 7.21. Wyznaczenie energii kinetycznej
kołowrotu
i C
Rozwiązanie . Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznej
kołowrotu E 1 poruszającego się ruchem płaskim i energii kinetycznej ciężarka E 2
poruszającego się ruchem postępowym:
E +
=
E
1 E
2
.
Wzór na energię kinetyczną kołowrotu, zgodnie z równaniem (7.80) wynikającym
z twierdzenia Koeniga, po uwzględnieniu zależności (7.83) ma postać:
E
=
1
I
ω
2
+
1
m
v
, (a)
1
2
C
2
1
C
gdzie moment bezwładności kołowrotu względem osi symetrii obrotowej
I
C
=
m
1
i
2
C
=
5
mi
2
C
. )
Energia kinetyczna ciężarka
E
=
1
m
v
2
2
=
1
mv
2
2
. )
2
2
2
2
1
E ω
79491394.007.png 79491394.008.png 79491394.009.png 79491394.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin