2. Wybrane metody numeryczne (aproksymacja funkcji, rozwiązywanie nieliniowych równań, układów równań algebraicznych, problemu własnego, równań różniczkowych) które mają  zastosowanie w komputerowych metodach mechaniki.

IV/14   Metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej

Aproksymację stosujemy gdy:

1.      złożoną funkcję chcemy przedstawić w prostej

2.      funkcja dana jest w postaci tablicy

3.      funkcja jest wiązana (poszukiwanie równań różniczkowych

OGÓLNIE - PRZEDSTAWIAMY FUNKCJĘ W POSTACI KOMBINACJI LINIOWEJ PEWNYCH DANYCH FUNKCJI BAZOWYCH.

j(x) = ao uo(x)+ a1 u1(x)+.......+am um(x) @ f(x)

   B(x) =[uo(x), u1(x),......., un(x)]  macierz funkcji bazowych (liniowo niezależne)

  aT   = [ao, a1,......., an]                 wektor nieznanych współczynników

  j(x) = B(x) a

1.      Aproksymacja punktowa

-          funkcja f(x) dana jest w postaci tablicy x =[x0, x1,......., xn]  i odpowiadających wartości  F=[f0, f1,......., fn] 

-          należy dobrać współczynniki ai   i =1,2,......n    tak aby:

j(x) = ao + a1x......., am x m =  Sk=om  ak x k       możliwie najlepiej przybliżał F(x)

(baza B(x) utworzona z jednomianów )

-          należy rozstrzygnąć stopień wielomianu i kryterium jakości aproksymacji,  

      najczęściej stosuje się kryterium najmniejszych kwadratów

e = Sni=0 ( j (xi) – f (xi) )2 =  Sni=0   ( Smk=0 ak xik– f (xi) )2  = e (ao, a1,......., am)

                          => ak

      Dla przypadku wielomianu uogólnionego

j(x) = ao uo(x)+ a1 u1(x)+.......+am um(x)     powstaje układ równań w postaci:

Smj=0  aj   Sni=0 uj (xi) uk (xi) =  Sni=0 fi uk (xi)                    i,j = 0,1....n

w zapisie macierzowym

UT U a = UT F

      Gdzie:

Równania znacznie się upraszczają gdy funkcje uk(x) są ortogonalne

Np.: funkcje Czebyszewa

2.  Aproksymacja całkowa

Funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale [a,b]

j(x) = Smk=0 ak xk

metoda najmniejszych kwadratów

3. Aproksymacja funkcjami ortogonalnymi

              Def.  Funkcja wagowa – taka funkcja w(x), że w(x) ³ 0  w [a,b] , tz. w ¹ 0  w pewnym przedziale [a,b]

Wielomiany Legendra  w(x)×1   w [-1,1]                     -ortogonalne

         Jeśli f(x) jest aproksymowane w [a,b] to dokonujemy przekształcenia na przedział  [-1,1]  według wzoru:

IV. 13. Metody numeryczne rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych.

1. Metody bezpośrednie:

-          oznaczenia :

E1       a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn = b1

E2       a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn = b2

*                                                                                                     A`x = `b

E1       a31x1 + a32x2 +...+ a3nxn = b3

rozwiązanie jest jednoznaczne gdy:

         `b ¹ 0      i      det(A) ¹ 0

1.1  Gaussa (eliminacji) – polega na sprowadzeniu równania  A`x = `b

do postaci górnotrójkątnej      U`x = (`b)<n>

       U – macierz otrzymana w wyniku wykonania n operacji elementarnych na macierzy A

       (`b)<n> - wektor otrzymany w wyniku wykonania n operacji elementarnych `ba

Def. Operacja elementarna nie zmienia wyniku równania np:

     lEi    ®   Ei       l ¹ 0

     Ei +lEj   ®   Ei

          Ei ,Ej –wiersze równania.

Postępowanie wprzód

krok 1  

krok 2        działanie

krok 3       działanie

koniec postępowania wprzód.

Postępowanie wstecz:

                      itd...

jeśli na przekątnej macierzy A znajduje się 0 to procedura zostaje przerwana.

Def. Macierz A nazywamy macierzą z silnie dominującą przekątną główną jeśli

Def. Macierz A nazywamy dodatnio określoną jeśli forma kwadratowa

        xTAx > 0  dla dowolnego  x=0

Tw. Gdy macierz A ma silnie dominującą przekątną główną jest nieosobliwa. Jest to warunek wystarczający.

Ponadto rozwiązanie równania   A`x =`b   można otrzymać metodą Gaussa bez zmiany kolejnści wierszy i kolumn i rozwiązanie jest silnie stabilne ze wzgl edu na wzrost błędu zaokrąglenia.

Tw. Gdy macierz A jest dodatnio określona to jest nieosobliwa. Jest to warunek wystarczający. Ponadto rozwiązanie równania   A`x =`b   można otrzymać metodą Gaussa bez zmiany kolejnści wierszy i kolumn i rozwiązanie jest silnie stabilne ze wzgl edu na wzrost błędu zaokrąglenia.

Tw. Silwestra. Macierz A jest dodatnio określona jeśli ma wszystkie wartości wlasne WKW

1.2. Metoda Gaussa z częściowym wyborem elementu wiodącego.

                         k

                                      m        szukamy p elementu wiodącego

          k                                              z warunku :

                                                                                           apk = max½aik½

                0_        ...      p                                         i = k....m

                                                        przestawiamy Ep na miejsce Ek ( należy notować liczbę                

                            ...