12. dodatek
12.1. Podstawowe działania na wektorach
Wektor . Jest to wielkość, dla określenia której należy zadać wartość i kierunek w przestrzeni. Można go przedstawić w postaci
(12.1)
w której A oznacza długość wektora - wektor jednostkowy zgodny z kierunkiem wektora (rys. 12.1a). Można go też zapisać za pomocą składowych
(12.2)
gdzie są miarami składowych wektora natomiast - wektorami jednostkowymi (wersorami), odpowiednio, wzdłuż osi współrzędnych kartezjańskich (rys. 12.1b).
Rys. 12.1
Suma i różnica wektorów . Sumą dwóch wektorów i jest wektor stanowiący przekątną równoległoboku wychodzącą z punktu O (rys. 12.2). Różnica wektorów i jest sumą wektorów i Składowe sumy i różnicy wektorów oblicza się według następującego wzoru
(12.3)
Rys. 12.2
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów i nazywamy skalar C równy iloczynowi modułów obu wektorów przez cosinus kąta zawartego między nimi
(12.4)
Zapisując obydwa wektory za pomocą składowych
po obliczeniu iloczynów skalarnych wersorów:
otrzymujemy również
(12.5)
Iloczyn wektorowy wektora i wektora jest wektorem którego moduł jest równy iloczynowi modułów obu wektorów przez sinus kąta zawartego między nimi
(12.6)
Kierunek tego wektora jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory i a zwrot jest pokazany na rys. 12.3.
Rys. 12.3
Iloczyny wektorowe wersorów są odpowiednio równe:
iloczyn wektorowy wektorów i możemy więc zapisać następująco
(12.7)
Iloczynem mieszanym nazywamy wyrażenie którego wartość jest równa wyznacznikowi z miar składowych wektorów i
(12.8)
Ze względu na własności wyznacznika możemy napisać
stwierdzamy również, że jeżeli dwa dowolne wektory iloczynu mieszanego są równoległe, to iloczyn ten jest równy zeru.
W mechanice płynów występuje też często podwójny iloczyn wektorowy którego składowe można obliczyć z następującej tożsamości
(12.9)
12.2. Wybrane pojęcia i twierdzenia teorii pola
Gradient pola skalarnego . Jeżeli w jakimś obszarze istnieje ciągłe pole skalarne (np. rozkład gęstości r lub temperatury T ), to zawsze istnieją powierzchnie, na których (rys. 12.4) - są to powierzchnie ekwiskalarne.
Rys. 12.4
Na powierzchni ekwiskalarnej znika różniczka zupełna funkcji j
gdzie jest wektorem leżącym w płaszczyźnie ściśle stycznej do powierzchni Z własności iloczynu skalarnego wynika zatem, że wektor
ma kierunek zgodny z kierunkiem normalnej do powierzchni możemy więc napisać
(12.10)
Wektor nazywa się gradientem pola skalarnego j . Jest to wektor wskazujący kierunek, w którym poruszając się dotrzemy po najkrótszej drodze do sąsiedniej powierzchni izoskalarnej o większej wartości skalara (wskazuje kierunek najszybszych zmian pola).
Przy wykorzystaniu operatora (nabla)
(12.11)
gradient pola skalarnego wyraża się wzorem
(12.12)
Strumień skalara (strumień pola skalarnego) . Strumień ska-lara j przez powierzchnię s obliczamy jako całkę
(12.13)
w której wektor określa elementarny płat powierzchni s.
Za pomocą strumienia skalara definiuje się pochodną przestrzenną pola skalarnego, którą można również przyjąć jako określenie gradientu (12.12)
(12.14)
Gradient pola skalarnego jest więc granicą, do której dąży stosunek całkowitego strumienia pola skalarnego j przez powierzchnię zamkniętą do objętości obszaru ograniczonego tą powierzchnią, gdy średnica tego obszaru dąży do zera. Można to łatwo sprawdzić, obliczając zmianę strumienia pola skalarnego w kierunku osi y przez powierzchnię elementarnego prostopadłościanu - przedstawionego na rys. 12.5
po wyznaczeniu zmian strumienia w pozostałych kierunkach i wykorzystaniu definicji (12.14) uzyskamy wzór (12.12).
Rys. 12.5
Strumień wektora (strumień skalarny pola wektorowego). Strumieniem wektora przez element powierzchni nazywamy iloczyn skalarny (rys. 12.6)
Rys. 12.6
Całka tak zdefiniowanej wielkości po całej powierzchni s określa strumień wektora przez powierzchnię s
(12.15)
Rys. 12.7
Diwergencję pola wektorowego definiujemy jako granicę, do któ-rej dąży stosunek całkowitego strumienia wektora pola przez powierzchnię zamkniętą do objętości obszaru ograniczonego tą powierzchnią, gdy średnica tego obszaru dąży do zera
(12.16)
jest to więc wypływ wektora przypadający na jednostkę objętości w danym punkcie w przestrzeni. Przy wykorzystaniu rys. 12.7 łatwo obliczamy zmianę strumienia w kierunku osi y
po uwzględnieniu zmian strumienia w pozostałych kierunkach ostatecznie otrzymujemy
(12.17)
...
lukasz938