2. Wybrane zagadnienia statyki pŁynÓw
2.1. Ciśnienie statyczne
Ciśnieniem statycznym (ciśnieniem) nazywamy wielkość fizyczną cha-rakteryzującą działanie siły normalnej na dowolnie zorientowaną powierzchnię znajdującą się wewnątrz płynu, będącego w stanie spoczynku względem pewnego układu odniesienia, i na ścianę naczynia, w którym płyn się znajduje (jest to moduł naprężenia normalnego ściskającego). Ciśnienie w dowolnym punkcie wyznaczamy jako granicę
(2.1)
gdzie jest siłą parcia otaczającego płynu działającą prostopadle na element po-wierzchni
Rys. 2.1
Wykażemy, że ciśnienie w zadanym punkcie płynu nie zależy od kierunku powierzchni (kierunku normalnej do powierzchni). W tym celu rozważmy pryzmatyczny element płynu przedstawiony na rys. 2.1. Na ścianki AB, BC i AC działają siły powierzchniowe. Płyn pozostaje w spoczynku, więc siły powierzchniowe są reprezentowane jedynie składowymi - pochodzącymi od ciśnienia. Ponieważ rozważany element jest mały, możemy pominąć siły grawitacyjne jako znacznie mniejsze od sił ciśnieniowych i znikające w granicy, gdy średnica elementu dąży do zera (siły grawitacyjne są proporcjonalne do objętości elementu, natomiast siły pochodzące od ciśnienia są proporcjonalne do jego powierzchni).
Z warunku równowagi elementu przedstawionego na rys. 2.1 uzyskujemy zależności:
z których wynika, że
(2.2)
Ponieważ kąt q może przyjmować dowolne wartości - wnioskujemy, że ciśnienie w danym punkcie płynu rzeczywistego, pozostającego w spoczynku, nie zależy od kierunku działania.
2.2. Podstawowe równania równowagi płynu
Będziemy badali równowagę płynu, który pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym względem przyjętego układu odniesienia. W tych warunkach nie występuje ruch względny cząstek płynu, a więc siły styczne równają się zeru.
Rys. 2.2
Rozważymy równowagę elementu płynu w kształcie prostopadłościanu o krawędziach równoległych do odpowiednich osi współrzędnych układu pro-stokątnego x, y, z (rys. 2.2). Na ten element działają siły powierzchniowe normalne (siły ciśnieniowe) oraz siły masowe, określone przez pole jednostkowych sił masowych
(2.3)
Mnożąc rzuty jednostkowej siły masowej X, Y, Z przez masę elementu otrzymamy odpowiednie składowe siły masowej, działającej na elementarny prostopadłościan
(2.4)
Z warunku równowagi płynu wynika, że suma rzutów sił, działających na element, na dowolnie wybrany kierunek jest równa zeru. Rzutując wymienione siły na kierunek osi x
oraz pisząc analogiczne równanie dla kierunków y i z otrzymamy układ równań różniczkowych
(2.5)
czyli
(2.6)
W najprostszym przypadku, gdy na płyn nie działają siły masowe, tzn. gdy
równanie (2.6) upraszcza się do postaci
(2.7)
Wynik ten jest matematycznym wyrazem prawa Pascala, zgodnie z którym ciśnienie jest stałe w całej masie płynu, jeśli na płyn nie działają siły masowe.
Mnożąc równania (2.5) odpowiednio przez i dodając je stronami, otrzymamy
(2.8)
Prawa strona tego równania przedstawia różniczkę zupełną ciśnienia ma-my więc
(2.9)
Sformułujemy obecnie warunki, jakim musi czynić zadość pole sił masowych jednostkowych na to, by znajdujący się w tym polu płyn mógł być w równowadze. Dalsze rozważania ograniczymy do płynów barotropowych , których gęstość jest funkcją wyłącznie ciśnienia
(2.10)
co oznacza, że powierzchnie stałego ciśnienia i powierzchnie stałej gęstości pokrywają się. Płyny, których gęstość zależy nie tylko od ciśnienia nazywane są płynami baroklinowymi .
Dla płynów barotropowych można wprowadzić tzw. funkcję ciśnienia
(2.11)
w związku z czym
(2.12)
Równania równowagi (2.6) przybierają wtedy postać
(2.13)
pole sił masowych jednostkowych musi być zatem potencjalne; warunek równowagi dla płynów barotropowych jest więc następujący
(2.14)
Płyn barotropowy, a więc również ciecz, może znajdować się w równowadze tylko w potencjalnym polu sił masowych jednostkowych.
Funkcja jest to potencjał sił masowych jednostkowych. Powierzchnie równego potencjału
(2.15)
będziemy nazywać powierzchniami ekwipotencjalnymi .
Składowe siły (2.4) są pochodnymi potencjału:
zatem równanie (2.9) możemy zapisać w postaci
(2.16)
z której wynika, że między ciśnieniem a potencjałem jednostkowych sił masowych zachodzi zależność liniowa
(2.17)
gdzie C jest stałą całkowania.
Z równania (2.16) wynika także, że powierzchnia ekwipotencjalna jest zarazem powierzchnią jednakowego ciśnienia oraz, że wektor jednostkowych sił masowych jest ortogonalny do powierzchni ekwipotencjalnej w każdym punkcie leżącym na tej powierzchni.
2.3. Równowaga cieczy w jednorodnym polu grawitacyjnym
Przypadek równowagi cieczy znajdującej się pod działaniem siły ciężkości, jako jedynej siły masowej w jednorodnym polu grawitacyjnym, jest przypadkiem bardzo ważnym dla praktyki.
Ciecz znajduje się w nieruchomym naczyniu związanym z prostokątnym układem współrzędnych, w sposób pokazany na rys. 2.3. Skladowe jednostkowej siły masowej w dowolnym punkcie wynoszą:
X = 0, Y = 0, Z = g. (2.18)
Podstawiając te wartości do równania (2.9) otrzymujemy różniczkowe równanie rozkładu ciśnienia w obszarze cieczy
(2.19)
i następnie równanie algebraiczne
(2.20)
w którym iloczyn nazywany jest ciśnieniem hydrostatycznym .
Rys. 2.3
Na powierzchni swobodnej ciśnienie wynosi co zezwala na wyznaczenie stałej C
ciśnienie w dowolnym punkcie M wyraża się zatem wzorem
(2.21)
lub też wzorem
(2.22)
gdzie jest głębokością punktu M.
Jeżeli na swobodnej powierzchni panuje ciśnienie atmosferyczne, wówczas równanie (2.22) przyjmuje postać tzw. wzoru manometrycznego
(2.23)
Powierzchnie jednakowego ciśnienia wyznaczamy ze wzoru (2.19) dla Są one więc płaszczyznami poziomymi z = const, prostopadłymi do kierunku działania siły ciężkości.
Występujące w równaniu (2.23) ciśnienie p nazywamy ciśnieniem bezwzględnym . Różnicę ciśnienia bezwzględnego i ciśnienia atmosferycznego nazywamy nadciśnieniem , gdy różnica ta jest dodatnia; podciśnieniem - gdy jest ujemna.
2.4. Parcie cieczy na powierzchnie płaskie
Parciem hydrostatycznym nazywamy siłę powierzchniową, jaką wywiera ciecz będąca w stanie spoczynku na powierzchnię dowolnie zorientowaną w przestrzeni. Jest ona skierowana normalnie do rozpatrywanej płaszczyzny.
Rozważmy parcie cieczy na dowolną powierzchni...
lukasz938