Logika - przykładowe zadania z rozwiązaniami.pdf

(69 KB) Pobierz
460520566 UNPDF
PRZYKŁADOWEZADANIAZROZWIZANIAMI
Zadanie1.
Niech A = {− 1 , 1 , 3 } .Niech B b¦dziezbioremwarto±cifunkcji f : A ! B zdefiniowanej
nast¦puj¡co f ( x )= x 2 − 2 x +2.Wyznacznast¦puj¡cezbiory: A [ B , A \ B , A \ B , B \ A ,
A × B , B × A ,2 A ,2 B .
Rozwi¡zanie: A = {− 1 , 1 , 3 } , f ( x )= x 2 − 2 x +2.Obliczamywarto±cifunkcji
f ( − 1)=( − 1) 2 − 2 · ( − 1)+2=1+2+2=5 .
f (1)=1 − 2+2=1 .
f (3)=3 2 − 2 · 3+2=9 − 6+2=5 .
Zatem B = { 1 , 5 } .Wykresemfunkcjijesttrzypunktowyzbiór { ( − 1 , 5) , (1 , 1) , (3 , 5) } .
Wyznaczamyzbiory:
A [ B = {− 1 , 1 , 3 , 5 } .
A \ B = { 1 } .
A \ B = {− 1 , 3 } .
B \ A = { 5 } .
A × B = { ( − 1 , 1) , (1 , 1) , (3 , 1) , ( − 1 , 5) , (1 , 5) , (3 , 5) } .
B × A = { (1 , − 1) , (1 , 1) , (1 , 3) , (5 , − 1) , (5 , 1) , (5 , 3) } .
2 A = {; , {− 1 } , { 1 } , { 3 } , {− 1 , 1 } , {− 1 , 3 } , { 1 , 3 } , {− 1 , 1 , 3 }} .
2 B = {; , { 1 } , { 5 } , { 1 , 5 }} .
1
Zadanie2.
Ci¡g a n jestzdefiniowanyrekurencyjnienast¦puj¡co:
a 1 =8 ,
n
i
!
n − X
a n =
a i .
i =1
Oblicz a 5 .
Przypomnijmy,»esymbol
n
k
oznaczaliczb¦ k -elementowychpodzbiorówzbioru n -
elementowegoi
n
k
!
= n !
k ! · ( n − k )! = 1 · 2 · ... · ( n − 1) · n
(1 · 2 · ... · ( k − 1) · k )(1 · 2 · ... · ( n − k − 1) · ( n − k )) .
Rozwi¡zanie:
a 1 =8 .
2
1
!
a 2 =
· a 1 =2 · 8=16 .
3
i
!
3
1
!
3
2
!
2 X
a 3 =
a i =
a 1 +
a 2 =3 · 8+3 · 16=24+48=72 .
i =1
4
i
!
4
1
!
4
2
!
4
3
!
3 X
a 4 =
a i =
a 1 +
a 2 +
a 3 =4 · 8+6 · 16+4 · 72
i =1
=32+96+288=416 .
5
i
!
5
1
!
5
2
!
5
3
!
5
4
!
4 X
a 5 =
a i =
a 1 +
a 2 +
a 3 +
a 4 =5 · 8+10 · 16+10 · 72+5 · 416
i =1
=40+160+720+2080=3000 .
2
460520566.001.png
Zadanie3.
Napisa¢zaprzeczeniazda«.
_
x 2 B.
x< 10
^
y ¬ 8= ) y 2 2 B.
_
!
0
@ ^
y 2 B
1
x 2 B
^
y> 8= ) y 2 2 B
A .
x< 10
0
@ ^
y 2 B
1
_
!
x 2 B
_
y> 8= ) y 2 2 B
A .
x< 10
Rozwi¡zanie:
Zaprzeczeniemzdania W
x< 10 x 2 B. ( Pewnaliczbamniejszaod10nale»ydozbioruB )
b¦dziezdanie
^
x/ 2 B.
x< 10
( adnaliczbamniejszaod10nienale»ydozbioruB ).
Zaprzeczeniemzdania V
y 2 B
y> 8= ) y 2 2 B. ( Dlaka»degoelementuzbioruB,wi¦kszego
od8,jegokwadratnale»ydozbioruB )b¦dziezdanie
_
y> 8 ^ y 2 / 2 B.
y 2 B
( IstniejeelementzbioruBwi¦kszyod8,któregokwadratnienale»ydozbioruB ).
Zprawde’Morganazaprzeczeniemzdania
_
!
0
@ ^
y 2 B
1
x 2 B
^
y> 8= ) y 2 2 B
A .
x< 10
b¦dziezatemzdanie ^
!
0
@ _
y 2 B
1
x/ 2 B
_
y> 8 ^ y 2 / 2 B
A ,
x< 10
azaprzeczeniemzdania
_
!
0
@ ^
y 2 B
1
x 2 B
_
y> 8= ) y 2 2 B
A .
x< 10
b¦dziezdanie ^
!
0
@ _
y 2 B
1
x/ 2 B
^
y> 8 ^ y 2 / 2 B
A .
x< 10
3
y 2 B
Zadanie4.
Niech A = { 1 , 2 , 3 } .Zbada¢własno±ci(zwrotno±¢,symetryczno±¢,przechodno±¢)nast¦-
puj¡cychrelacjiwzbiorzeA:
r 1 = { (1 , 3) , (3 , 1) } .
r 2 = { (1 , 1) , (1 , 3) , (3 , 1) } .
r 3 = { (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 1) } .
r 4 = { (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) } .
Rozwi¡zanie:Relacja r 1 jestsymetryczna,niejestzwrotnainiejestprzechodna.Nie
jestzwrotna,gdy»(1 , 1) / 2 r 1 .Niejestprzechodna,gdy»
(1 , 3) 2 r 1 i(3 , 1) 2 r 1 ,ale(1 , 1) / 2 r 1 .
Relacja r 2 jestsymetryczna,niejestzwrotnainiejestprzechodna.Niejestzwrotna,
gdy»(2 , 2) / 2 r 1 .Niejestprzechodna,gdy»
(3 , 1) 2 r 1 i(1 , 3) 2 r 1 ,ale(3 , 3) / 2 r 1 .
Relacja r 3 niejestsymetryczna,niejestzwrotnainiejestprzechodna.Niejestsyme-
tryczna,gdy»
(1 , 2) 2 r 3 ,ale(2 , 1) / 2 r 3 .
Niejestzwrotna,gdy»(1 , 1) / 2 r 3 .Niejestprzechodna,gdy»
(2 , 3) 2 r 3 i(3 , 1) 2 r 3 ,ale(2 , 1) / 2 r 3 .
Relacja r 4 jestsymetryczna,jestzwrotnaijestprzechodna.
Zadanie5.
Udowodni¢przezindukcj¦twierdzenie:
Dlaka»degon> 4 ,n 2 < 2 n .
Rowi¡zanie:1 0 . Sprawdzamydlan=5.Lewastrona=5 2 =25 < 32=2 5 =Prawa
strona.
2 0 . Trzebapokaza¢,»eje±li n 2 < 2 n ,to( n +1) 2 < 2 n +1 .
Zakładamy,»e n 2 < 2 n .Gdyby±mypokazali,»e( n +1) 2 < 2 · n 2 ,tokorzystaj¡czzało»enia
indukcyjnego n 2 < 2 n ,dostaniemy
( n +1) 2 < 2 · n 2 < 2 · 2 n =2 n +1 .
( n +1) 2 < 2 · n 2 .
Obliczamylew¡stron¦( n +1) 2 = n 2 +2 n +1.Poniewa» n> 4,totymbardziej n> 1i
n> 3.Skoro n> 1,to
n 2 +2 n +1 <n 2 +2 n + n = n 2 +3 n.
A3 n<n 2 ,bo3 <n .Zatem
n 2 +2 n +1 <n 2 +2 n + n = n 2 +3 n<n 2 + n 2 =2 n 2 .
4
Azatemwystarczypokaza¢,»e

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin