08. Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej.pdf
(
91 KB
)
Pobierz
Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej
TWIERDZENIE O ISTNIENIU RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ
Twierdzenie
(
o istnieniu różniczki zupełnej
)
Niech
U
Top
R
n
,
f
:
U
R
s
,
x
0
U
oraz
niech
,...,
j
1
n
f
w każdym punkcie
zbioru
U.
x
j
pochodne
cząstkowe
Jeśli
j
1
x
...,
n
f
C
x
0
j
każda pochodna cząstkowa
jest ciągła w punkcie
x
0
to
1
o
f
d
x
0
istnieje różniczka
w punkcie
x
0
oraz
.
n
f
2
o
d
x
R
f
h
x
h
dla
h
h
,
...,
h
n
0
x
0
j
1
n
j
j
1
Dowód
Wystarczy rozważyć przypadek
s
=1, a poźniej utworzyć kombinację liniową rozwiązań
utworzonych dla poszczególnych składowych.
Niech
s
=1.
1
0
Załóżmy, że
n
=2.
Wybieramy punkt
x
Wtedy
(
x
1
U
,
x
2
)
.
r
0
U
:
K
(
x
,
r
)
.
Niech
h
h
(
h
1
,
h
2
)
K
((
0
0
),
r
)
i
h
0
(
tzn.
(
h
1
,
2
)
(
0
0
)).
Przedstawmy przyrost
f
funkcji
f
w punkcie
x
w postaci sumy dwóch różnic:
f
f
x
h
f
x
f
x
1
h
1
,
x
x
2
h
2
f
x
1
h
1
,
x
2
f
x
1
h
1
,
x
2
f
x
,
2
f
jest ciągła i różniczkowalna w [
x
2
,
x
2
+
h
2
] zatem, na podstawie
twierdzenia Lagrange'a
x
1
h
,
1
1
1
Ponieważ funkcja
c
x
,
c
x
h
:
f
(
x
h
,
x
h
)
f
(
x
h
,
x
)
h
f
x
h
,
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
x
1
1
2
2
f
jest ciągła i różniczkowalna w [
x
1
,
x
1
+
h
1
] zatem, na
podstawie twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy
.
,
x
2
c
1
x
x
,
x
h
:
f
(
x
h
,
x
)
f
(
x
,
x
)
h
f
c
,
1
1
1
1
1
2
1
2
1
x
1
2
1
Stąd
f
(
x
h
)
f
(
x
)
h
1
c
f
.
c
,
x
h
f
x
h
,
x
1
2
2
x
1
1
2
1
2
Obliczamy resztę
h
f
x
h
f
x
d
f
(
h
)
h
f
c
,
x
h
f
x
h
,
c
f
x
,
x
h
f
x
,
x
h
x
1
x
1
2
2
x
1
1
2
x
1
2
1
x
1
2
2
1
2
1
2
h
f
c
,
x
f
x
,
x
h
f
x
h
,
c
f
x
,
x
1
x
1
1
x
1
2
2
x
1
1
2
x
1
2
1
1
2
2
a następnie sprawdzamy, czy jest
o
(
h
),
r
h
h
f
f
h
f
f
x
1
c
,
x
x
,
x
2
x
h
,
c
x
,
x
0
1
1
1
2
1
1
2
1
2
h
h
x
x
h
x
x
gdy
(
h
,
h
)
0
1
1
2
1
2
ogr
.
ogr.
f
x
,
x
f
x
,
x
x
1
2
x
1
2
1
2
Przy obliczaniu granicy skorzystaliśmy z następujących implikacji:
h
1
0
x
1
h
1
x
1
c
1
x
1
h
0
h
0
1
1
h
2
0
x
2
h
2
x
2
c
2
x
2
h
0
h
0
2
2
2
0
Dla
n
> 2 stosujemy tzw. “zasadę łańcucha”. tzn. przyrost funkcji rozkładamy na sumę
n
różnic:
],
n
j
j
1
f
x
h
f
x
[
f
x
h
k
e
e
f
x
h
0
0
0
k
0
k
k
j
1
k
1
k
1
gdzie
e
1, ... ,
e
n
- wektory bazy kanonicznej w
n
R
i
postępujemy analogicznie jak w punkcie 1
0
.
c
opracował Jacek Zańko
2
Podobnie, ponieważ funkcja
r
x
2
Plik z chomika:
chomikSGHowy
Inne pliki z tego folderu:
04. Pochodne cząstkowe.pdf
(91 KB)
02. Pochodna funkcji o dziedzinie jednowymiarowej.pdf
(96 KB)
01. Granice funkcji wielu zmiennych.pdf
(145 KB)
03. Pochodna kierunkowa.pdf
(82 KB)
06. Macierzowy zapis różniczki. Wzór na pochodne cząstkowe złożenia odwzorowań.pdf
(106 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin