Aksjomaty oddzielania.doc

(263 KB) Pobierz
Aksjomaty oddzielania

Aksjomaty oddzielania

W rozdziale tym omówimy pewne warunki, zwane aksjomatami oddzielania, jakie można nakładać na badane przestrzenie topologiczne. Dotyczą one możliwości "oddzielania od siebie" w pewien sposób niektórych podzbiorów przestrzeni. Przedstawimy aksjomaty T0,T1,T2,T3,T3,5,T4,T5,T6 wraz z przykładami i podstawowymi własnościami przestrzeni je spełniających.

Przestrzenie T0

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna X spełnia aksjomat T0 (lub: X jest przestrzenią Kołmogorowa), o ile dla każdych x,y\in Xtakich, że x\not=y, istnieje zbiór otwarty U\subseteq Xtaki, że x\in U, y\not\in Ulub y\in U, x\not\in U.

Zamiast pisać "X spełnia aksjomat Ti" będziemy również pisali: "X jest przestrzenią Ti" lub krócej "X jest Ti".

Własności

  1. Spełnianie aksjomatu T0 jest własnością topologiczną.
  2. Przestrzeń X jest T0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów x,y\in Xtakich, że x\not=y, zachodzi \operatorname{Cl}\{x\}\not=\operatorname{Cl}\{y\}.

Dowód:

[\rightarrow] Weźmy x,y\in Xtakie, że x\not=y. Z założenia istnieje zbiór otwarty U\subseteq Xtaki, że x\in U, y\not\in Ulub y\in U, x\not\in U. Przypomnijmy, że dla dowolnych a\in X, A\subseteq Xwarunek a\in\operatorname{Cl}{A}jest równoważny warunkowi \forall_{U\in\mathcal{O}_X}(a\in U\Rightarrow U\cap A\not=\emptyset). W pierwszym przypadku mamy zatem y\not\in\operatorname{Cl}\{x\}, zaś w drugim x\not\in\operatorname{Cl}\{y\}. Ponieważ x\in\operatorname{Cl}\{x\}, y\in\operatorname{Cl}\{y\}, otrzymujemy tezę.

[\leftarrow] Jeśli \operatorname{Cl}\{x\}\not=\operatorname{Cl}\{y\}, to istnieje punkt z\in Xtaki, że z\in \operatorname{Cl}\{x\}, z\not\in \operatorname{Cl}\{y\}lub z\in \operatorname{Cl}\{y\}, z\not\in \operatorname{Cl}\{x\}. Z przypomnianej w dowodzie implikacji w drugą stronę charakteryzacji domknięcia wynika, że istnieje otwarte otoczenie U\subseteq Xpunktu z takie, że U\cap\{x\}\not=\emptyset=U\cap\{y\}lub U\cap\{y\}\not=\emptyset =U\cap\{x\}, co kończy dowód twierdzenia. \square

  1. Podprzestrzeń przestrzeni T0 jest przestrzenią T0.

Dowód:

Niech X będzie T0 i A\subseteq X. Przypuśćmy, że x,y\in Asą takie, że x\not= y. Wówczas, ponieważ X jest T0 istnieje U\subseteq Xotwarty i taki, że należy do niego dokładnie jeden spośród punktów x,y. Wówczas A\cap Ujest otwarty w A i również należy do niego dokładnie jeden spośród punktów x,y. \square

  1. Produkt rodziny \{X_i\}_{i\in I}niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią T0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i\in Iprzestrzeń Xi jest T0.

Dowód:

[\leftarrow] Przypuśćmy, że (x_i)_{i\in I}, (y_i)_{i\in I}\in \prod_{i\in I}X_ioraz (x_i)_{i\in I}\not=(y_i)_{i\in I}. Istnieje zatem i_0\in X_itakie, że x_{i_0}\not=y_{i_0}. Ponieważ X_{i_0}jest przestrzenią T0 istnieje otwarte U\subseteq X_{i_0}takie, że do U należy dokładnie jeden z punktów x_{i_0}, y_{i_0}. Stąd \prod_{i\in I} Y_i, gdzie Y_i=\begin{cases}X_i & \text{dla } i\not=i_0 \\ U & \text{dla } i=i_0\end{cases}, jest otwartym otoczeniem dokładnie jednego z punktów (x_i)_{i\in I}, (y_i)_{i\in I}.

[\rightarrow] Ustalmy i_0\in Ioraz dla każdego i\in I, i\not=i_0wybierzmy element x_i\in X_i. Wówczas przestrzeń \prod_{i\in I} Y_i, gdzie Y_i=\begin{cases}\{x_i\} & \text{dla } i\not=i_0 \\ X_{i_0} & \text{dla } i=i_0\end{cases}jest, co nietrudno sprawdzić, homeomorficzna z X_{i_0}. Ponadto przestrzeń ta jest T0 jako podprzestrzeń \prod_{i\in I}X_i. Fakt, że własność T0 jest topologiczna kończy dowód. \square

Przykłady

Przykłady przestrzeni, które są T0 pojawią się w dalszej części tekstu. Tu podamy przykłady przestrzeni, które aksjomatu T0 nie spełniają. Podobna zasada obowiązywać będzie również w dalszych sekcjach z przykładami w tym rozdziale.

Przestrzeniami T0 nie są:

  1. co najmniej dwuelementowa przestrzeń antydyskretna;
  2. zbiór \mathbb{Z}liczb całkowitych z topologią \{\emptyset, \mathbb{Z}\}\cup \{\{z\in\mathbb{Z}:-n\leq z \leq n\}\}_{n\in\mathbb{N}};
  3. zbiór liczb rzeczywistych z topologią generowaną przez bazę \{[n,n+1]\}_{n\in\mathbb{Z}}.

·         Ćwiczenie: Sprawdzić, że wymienione wyżej przestrzenie faktycznie nie są T0.

Przestrzenie T1

Definicja

Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią T1 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej pary punktów x,y\in Xtakich, że x\not= y, istnieje zbiór otwarty U\subseteq Xtaki, że x\in U, y\not\in U.

Przestrzenie T1 bywają nazywane przestrzeniami Frécheta. Nazwa ta jest jednak zdecydowanie częściej używana w zupełnie innym znaczeniu, wobec czego bezpieczniej pozostać przy określeniu "przestrzeń T1".

Własności

  1. Spełnianie aksjomatu T1 jest własnością topologiczną.
  2. Podprzestrzeń przestrzeni T1 jest przestrzenią T1.
  3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią T1 wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest T1.
  4. Każda przestrzeń T1 jest przestrzenią T0.
  5. Przestrzeń X jest T1 wtedy i tylko wtedy, gdy \{x\}=\operatorname{Cl}\{x\}dla każdego punktu \{x\}\in X.

Dowód:

[\rightarrow] Przypuśćmy, że X jest przestrzenią T1 i x\in X. Dla każdego punktu y\not=xistnieje zbiór otwarty U_y\subseteq Xtaki, że y\in U_y, x\not\in U_y. Określmy F_y=X\setminus U_y. Zbiór Fy jest domknięty oraz \{x\}\subseteq F_y. Mamy \{x\}\subseteq\operatorname{Cl}\{x\}\subseteq\bigcap_{y\not=x}F_y=\{x\}.

[\leftarrow] Przypuśćmy, że w przestrzeni X wszystkie zbiory jednoelementowe są domknięte oraz x,y\in X, x\not= y. Ponieważ zbiór {y} jest domknięty, zbiór X\setminus \{y\}jest otwartym otoczeniem x nie zawierającym y. \square

·         Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

·         Ćwiczenie: Wykazać, że przestrzeń topologiczna jest T1 wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej skończony podzbiór jest domknięty. Jako wniosek wykazać, że każda skończona przestrzeń T1 jest dyskretna.

Przykłady

Podamy teraz przykłady przestrzeni T0 nie będących przestrzeniami T1:

  1. przestrzeń Sierpińskiego (patrz: rozdział 3., podrozdział "topologia Tichonowa", przykład 4.);
  2. odcinek [ − 1,1] z topologią generowaną przez podbazę \{[-1,b):0<b<1\}\cup\{(a,1]:-1<a<0\}.

·         Ćwiczenie: Wykazać, że wyżej podane przestrzenie faktycznie są T0 i nie są T1.

 

 

 

Przestrzenie T2

Definicja

Przestrzeń topologiczną X nazywamy przestrzenią T2 (lub przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów x,y\in Xtakiej, że x\not=y, istnieją rozłączne zbiory otwarte U,V\subseteq Xtakie, że x\in U, y\in V.

Własności

  1. Spełnianie aksjomatu T2 jest własnością topologiczną.
  2. Spełnianie aksjomatu T2 jest własnością dziedziczną.
  3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią T2 wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest T2.
  4. Każda przestrzeń T2 jest przestrzenią T1.
  5. Przestrzeń X jest T2 wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna \Delta(X)=\{(x,x)\in X\times X:x\in X\}jest domkniętym podzbiorem przestrzeni X\times X.

Dowód:

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Zauważmy, że Delta(X) jest domknięty w X\times Xwtedy i tylko wtedy, gdy X\times X\setminus \Delta(X)jest otwarty w X\times X.

[\rightarrow] Załóżmy, że X jest T...

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin