11. Macierzowy i operatorowy zapis różniczek.pdf

(82 KB) Pobierz
Macierzowy i operatorowy zapis różniczek
MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZEK
Niech
U R
Top n
,
f
: R
U
,
x
U
0
oraz załóżmy, że
Wtedy
d x
2
0 f
.
n
2
f
d
x h
f
(
h
1
,
h
2
)
(
x
)
h
1
2
0
x
x
0
i
j
i j
,
j
1
i
i na podstawie własności odwzorowań wieloliniowych drugiej różniczce odpowiada macierz
d x 2 0
f
2
f
 
2
f
x
x
x
2
1
0
x
x
0
n
1
2
f
2
f
 

x
x
d
2
0
f
:
x
x
0
x
x
0
.
x
1
2
n
2
2
f
 
2
f
x
x
x
x
0
x
x
0
1
n
n
n
Niech teraz
W celu uproszczenia zapisu wzorów określających związek między k -tą różniczką, a k -tymi
pochodnymi cząstkowymi dla , pomijamy indeksy wektorów , ponieważ
są to dowolne (zmienne) wektory z przestrzeni X i wprowadzamy oznaczenia:
f k
D
 .
U
oraz
niech
x
0 U
k
N
h ,...,
h
k
d
x
0 X
f
   .
h
: 0

d
k
x
f
h

,
h
,...,
h
,
gdzie
h
k
razy
Wtedy
n
f
d
f
(
h
)
(
x
)
h
x
0
x
0
j
j
1
j

n
2
f
d
2
f
h
(
x
)
h
h
x
0
x
x
0
i
j
i j
,
j
1
i
n
k
f
 k
d
k
x
f
(
h
)
x
h
...
h
0
x
...
x
0
i
1
i
i
,
i
,...,
i
1
1
2
k k
1
i
1
2
1
k
i
10635284.004.png 10635284.005.png
 
SYMBOLICZNY ZAPIS OPERATOROWY
Niech
dx
j x
przyrost
zmiennej
j
,
tzn.
j
h :
( 1
h
,...,
h
n h
)
dx
j
(
h
)
j-ta współrzędne wektora h
Wtedy operator różniczki jest postaci
n
d
.
dx
x
j
ta 1
kropka
j
j
oznacza
punkt
Następnie podnosimy d. do kolejnych potęg, aby uzyskać operatory wyższych różniczek
2
n
d
.
2
dx
x
j
j
1
j
n
k
d
.
k
dx
x
j
1
j
Przykład
Jeśli n =2, to w klasie funkcji mających k -tą pochodną operatory różniczkowe przyjmują postać
d
.
dx
dy
x
y
2
2
2
d
.
2
dx
dy
dx
2
2
dxdy
dy
2
x
y
x
2
x
y
y
2
k
k
k
k
0
d
.
k
dx
dy
dx
j
dy
k
j
x
y
j
x
j
y
k
j
j
opracował Marcin Uszko
2
oznacza
j
10635284.006.png 10635284.001.png 10635284.002.png 10635284.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin