08. Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej.pdf

(91 KB) Pobierz
Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej
TWIERDZENIE O ISTNIENIU RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ
Twierdzenie ( o istnieniu różniczki zupełnej )
Niech
U
Top
R
n
,
f
:
U
R
s
,
x
0
U
oraz
niech
 ,...,
j
1
n
f
w każdym punkcie zbioru U.
x
 j
pochodne
cząstkowe
Jeśli
j
1 x
...,
n


f
C
x
0

j
każda pochodna cząstkowa
jest ciągła w punkcie x 0
to
1
o
 f
d x 0
istnieje różniczka
w punkcie x 0
oraz
    .
n
f
2
o
d
x R
f
h
x
h
dla
h
h
,
...,
h
n
0
x
0
j
1
n
j j
1
Dowód
Wystarczy rozważyć przypadek s =1, a poźniej utworzyć kombinację liniową rozwiązań
utworzonych dla poszczególnych składowych.
Niech s =1.
1 0 Załóżmy, że n =2.
Wybieramy punkt
x
 Wtedy
(
x
1 U
,
x
2
)
.
r
0 U
:
K
(
x
,
r
)
.
Niech
h
h
(
h
1
,
h
2
)
K
((
0
0
),
r
)
i
h
0
(
tzn.
(
h
1
,
2
)
(
0
0
)).
Przedstawmy przyrost f
 funkcji f w punkcie x w postaci sumy dwóch różnic:
f
f
     
x
h
f
x
f
x
1
h
1
, x
x
2
h
2
f
x
1
h
1
,
x
2
f
x
1
h
1
,
x
2
f
x
,
2
f jest ciągła i różniczkowalna w [ x 2 , x 2 + h 2 ] zatem, na podstawie
twierdzenia Lagrange'a
x
1 h
 ,
1
1
1
Ponieważ funkcja  
10635278.003.png 10635278.004.png
c
   
x
, c
x
h
:
f
(
x
h
,
x
h
)
f
(
x
h
,
x
)
h
f
x
h
,
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
x
1
1
2
2
f jest ciągła i różniczkowalna w [ x 1 , x 1 + h 1 ] zatem, na
podstawie twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy
    .
, x
2
c
1 x
x
,
x
h
:
f
(
x
h
,
x
)
f
(
x
,
x
)
h
f
c
,
1
1
1
1
1
2
1
2
1
x
1
2
1
Stąd
f
(
x
h
)
f
(
x
)
h
1 c
f
   .
c
,
x
h
f
x
h
,
x
1
2
2
x
1
1
2
1
2
Obliczamy resztę
        
h
f
x
h
f
x
d
f
(
h
)
h
f
c
,
x
h
f
x
h
,
c
f
x
,
x
h
f
x
,
x
h
x
1
x
1
2
2
x
1
1
2
x
1
2
1
x
1
2
2
1
2
1
2
h
f
       
c
,
x
f
x
,
x
h
f
x
h
,
c
f
x
,
x
1
x
1
1
x
1
2
2
x
1
1
2
x
1
2
1
1
2
2
a następnie sprawdzamy, czy jest o ( h ),

r
h
h
f
f
h
f
f
   
   
x
1
c
,
x
x
,
x
2
x
h
,
c
x
,
x

0
1
1
1
2
1
1
2
1
2
h
h
x
x
h
x
x
gdy
(
h
,
h
)
0

1

1


2
1
2
ogr
.
ogr.
f
   
x
,
x
f
x
,
x
x
1
2
x
1
2
1
2
Przy obliczaniu granicy skorzystaliśmy z następujących implikacji:
h
1
0
x
1
h
1

x
1
c
1
x
1
h
0
h
0
1
1
h
2
0
x
2
h
2

x
2
c
2
x
2
h
0
h
0
2
2
2 0 Dla n > 2 stosujemy tzw. “zasadę łańcucha”. tzn. przyrost funkcji rozkładamy na sumę n
różnic:
  ],

n
j
j
1
f
x
h
f
x
[
f
x
h
k e
e
f
x
h
0
0
0
k
0
k
k
j
 
1
k
1
k
1
gdzie e 1, ... , e n - wektory bazy kanonicznej w n
R i postępujemy analogicznie jak w punkcie 1 0 .
c
opracował Jacek Zańko
2
Podobnie, ponieważ funkcja 
r x
2
10635278.005.png 10635278.006.png 10635278.001.png 10635278.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin