biegunowy.pdf

(58 KB) Pobierz
3922061 UNPDF
Opis wektorów prędkości i przyspieszenia
w biegunowym układzie współrzędnych
W biegunowym układzie współrzędnych
położenie obiektu opisujemy przez podanie
odległości obiektu od początku układu
współrzędnych, czyli długości wektora
wodzącego, oraz kąta, jaki tworzy wektor
wodzący z poziomą osią kartezjańskiego
układu współrzędnych (osią OX).
v
f
Oznaczmy przez r wektor jednostkowy,
o kierunku i zwrocie zgodnym z wektorem
wodzącym obiektu. W takiej sytuacji wektor
wodzący można wyrazić jako:
r
r
f
r = rr
Spróbujmy policzyć wektor prędkości obliczając pochodną po czasie z wyrażenia na r :
dt = d r
dt r r dr
dt
Policzenie pochodnej odległości po czasie nie stanowi problemu, trzeba się zastanowić jak
policzyć pochodną wersora r . Najprościej można to zrobić używając składowych tego wersora
w układzie ortogonalnym:
r =[cos , sin] d r
dt =[−sin , cos] d
dt
Jeżeli oznaczymy wektor o składowych [−sin , cos] jako wersor (jest to wektor
o jednostkowej długości, skierowany prostopadle do wersora r ), to pochodną wersora r po
czasie można zapisać jako:
d r
dt = d
dt
Po wstawieniu tego do wzoru na wektor prędkości otrzymujemy:
dt = r dr
dt r d
dt = rv r v
W ten sposób wektor prędkości został wyrażony przez składową radialną v r i składową
transwersalną v . Pierwsza z nich v r , odpowiada za zbliżanie się lub oddalanie obiektu od
centrum układu współrzednych, zaś druga v , odpowiada za przemieszczanie się prostopadle do
wektora wodzącego (bez zmiany odległości od centrum).
Ù
Ù
d r
v = d r
3922061.003.png 3922061.004.png
W następnym kroku policzmy wektor przyspieszenia, jako pochodną po czasie wektora
prędkości:
a = d v
dt = r dv r
dt v r d r
dt
dt v d
dt
Biorąc pod uwagę, że:
dt = d
d
dt =− r d
dt
dt
oraz że:
dv
dt = dr
dt r d 2
dt = d 2 r
dt
dt 2
dt 2
otrzymujemy na wektor przyspieszenia nastepujące wyrażenie:
a = r d 2 r
dt 2 dr
dt dr
d
dt r d 2
d dt
2
dt − rr
dt
dt
a dalej:
[ d 2 r
d dt
2
] [ r d 2
dt 2 2 dr
d
dt
] = ra r a
a = r
dt 2 − r
dt
Tak więc wyraziliśmy wektor przyspieszenia a przez jego składowe równoległe odpowiednio
do wersora r (składowa radialna) i wersora (składowa transwersalna). Jak widać tylko jeden
z wyrazów tego równania nie zawiera pochodnej f po czasie. Jest to przypieszenie związane z
przybliżaniem się lub oddalaniem obiektu bez zmiany kierunku jego wektora wodzącego, które
wyraża sie przez drugą pochodna odległości po czasie. Ciekawsze jest przyjrzenie się co
otrzymujemy, kiedy wymusimy ruch ze stałą odległością od centrum (np. po kole), czyli z zerową
wartościa pochodnej odległości po czasie. Wtedy:
d dt
2
r d 2
dt 2
a =− rr
Pierwsza część tego wyrażenia to po prostu przyspieszenie dośrodkowe, konieczne dla
wymuszenia ruchu po okręgu ( r=const ) , zaś druga część to przyspieszenie związane ze
zwiększaniem wartości prędkości w ruchu po okręgu, które znika gdy v=const , tzn. gdy pochodna
kata f po czasie jest stała.
W pełnym wyrażeniu został jeszcze jeden niezinterpretowany wyraz, zawierający iloczyn
pochodnych odległości i kąta po czasie. Znaczenie tego wyrazu wyjaśnia się gdy rozważymy ruch
ciała w obracającym się układzie współrzędnych, takim jak obracająca się Ziemia. Jeżeli układ
współrzednych się nie przemieszcza, tylko obraca w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek
zegara, to nasz kąt w obracającym się układzie wynosi:
' =− t
dt = d
dt −
dv
d r
d
dv r
d
d '
3922061.005.png 3922061.006.png 3922061.001.png 3922061.002.png
Jeżeli rozważymy ruch obiektu który odbywa sie tylko w kierunku radialnym w obracającym się
układzie, to pochodna po czasie kąta f wynika tylko z obrotu układu i wynosi po prostu w , gdzie w
jest prędkością kątową obrotu naszego układu współrzędnych. Ponieważ w jest stała w czasie, to
druga pochodna kąta po czasie staje się równa zero. Jeżeli na dodatek założymy, że ciało porusza
się radialnie ruchem jednostajnym, to uwzględniając to wszystko otrzymujemy następujące
wyrażenie na przyspieszenie:
a =− rr 2 2 v r
Jak widać otrzymane wyrażenie pozostaje w sprzeczności z faktem braku przyspieszenia
obserwowanego przez obserwatora w obracającym się układzie. Jedyną mozliwością pogodzenia
tych dwóch stanowisk, jest wprowadzenie dodatkowych sił „pozornych” tak aby obserwowane
przyspieszenie było równe zeru. Aby tak było trzeba dodać siłę odśrodkową i tzw. siłę Coriolisa:
F od = mr 2 r F Cor =−2 v r

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin