zad_1015.pdf

(360 KB) Pobierz
D:/ZIETAK/kursy/zad_1015/zadania_map1015pazdzienik05/zad_1015.dvi
Algebra z geometrią analityczną MAP1015, MAP1016, MAP1017
Spis list zadań
1. Lista zerowa : Przykładowe zadania szkolne.
2. Lista pierwsza : Podstawowe własności macierzy i wyznaczników.
3. Lista druga : Macierze odwrotne, układy równań liniowych i eliminacja Gaussa.
4. Lista trzecia : Dowolne układy równań liniowych, twierdzenie KroneckeraCapellego i
wzory Cramera.
5. Lista czwarta : Podstawowe własności liczb zespolonych.
6. Lista piąta : Obliczanie pierwiastków n tego stopnia liczby zespolonej i rozkład funkcji
wymiernej na sumę rzeczywistych ułamków prostych.
7. Lista szósta : Przestrzeń wektorowa R 3 i płaszczyzny.
Uwaga . Niektóre z zadań są zaczerpnięte lub wzorowane na zadaniach z niżej podanych
książek. Przy niektórych z tych zadań cytuję książkę źródłową.
Literatura
[1] H. Anton, Ch. Rorres, Elementary Linear Algebra. Applications Version , 6th Edition,
Wiley, New York 1991.
[2] M.Bryński, Elementyteoriigrup,Zajęciafakultatywnewgrupiematematycznofizycznej ,
Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1975.
[3] O. Cuberbiller, Zadania i ćwiczenia z geometrii analitycznej , PWN, Warszawa 1966.
[4] N.Dróbka, K.Szymański, Zbiór zadań z matematyki dla klasy I i II liceum ogólnokształ
cącego , Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1977.
[5] N. Dróbka, K. Szymański, Zbiór zadań z matematyki dla klasy III i IV liceum ogólno
kształcącego , Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1973.
[6] D.K.Faddiejev,I.S.Sominskij,Zbornikzadacpowyzszejalgebrie,Nauka,Moskwa1968.
[7] M. Gewert, Zb. Skoczylas (red.), Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy , wyd. 5, GiS,
Wrocław 2001.
[8] H.D. Ikramov, Zadacznik po liniejnoj algebrie , Nauka, Moskwa 1975.
[9] W.Jankowski,J.Kaczmarski, Liczby zespolone i zmienne zespolone, Zajęcia Fakultatyw
ne , Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1974.
[10] T. Jurlewicz, Powtórka od A do Z z algebry liniowej 1 , YUMA, Wrocław 1996.
[11] T.Jurlewicz,Z.Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje,twierdzenia, wzory , wyd.9,GIS,
Wrocław 2002.
1
8. Lista siódma : Proste w przestrzeni i krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie.
9. Lista ósma : Struktury algebraiczne grupy.
10. Lista dziewiąta : Zastosowania algebry i geometrii analitycznej w technice.
11. Lista dziesiąta : Powtórka.
445461535.012.png 445461535.013.png 445461535.014.png
[12] T.Jurlewicz,Z.Skoczylas, AlgebraLiniowa1.Przykładyizadania ,wyd.7,GiS,Wrocław
2001.
[13] E. Kącki, D. Sadowska, L. Siewierski, Geometria analityczna w zadaniach , PWN, War
szawa 1993.
[14] J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 1999.
[15] A.I. Kostrikin (red.), Zadania z algebry , PWN, Warszawa 1995.
[16] I.W. Proskuriakov, Zbornik zadacz po liniejnoj algebrie, Nauka, Moskawa 1970.
[17] S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zada
niach , WNT, Warszawa 1998.
[18] J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach , PWN, Warszawa 2000.
[19] W.Stankiewicz, Zadaniazmatematykidlawyższychuczelnitechnicznych ,wyd.11,PWN,
Warszawa 2001.
2
Lista zerowa przykładowe zadania szkolne
Temat : Przypomnienie wybranych podstawowych pojęć z programu matematyki w szkole .
Pomocnicza literatura do listy zerowej
1. D. i M. Zakrzewscy, Repetytorium z matematyki dla uczniów szkół średnich i kandydatów na
studia , Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000.
2.R.Leitner,W.Żakowski, Matematykadlakandydatównawyższeuczelnietechniczne ,WNT,
Warszawa 1978.
Zadanie 0.1
Zapisaćnastępującetrójmianykwadratowewpostacikanonicznej: x 2 +2 x, 4 x 2 − 4 x − 1 .
Zadanie 0.2
Zbadać,czymożnarozłożyćnaczynnikiliniowerzeczywistenastępującetrójmianykwa
dratowe: x 2 − 2 x − 24 , x 2 − mx − 2 m 2 , x 2 − 7 , 2 x 2 − x − 1 , x 2 +2 . Jeśli tak, to
wyznaczyć ten rozkład.
Zadanie 0.3
Podaćwzórskróconegomnożeniadla( a + b ) 3 .Obliczyć( a − b )( a 2 + ab + b 2 )iprzedstawić
a 3 + b 3 w postaci iloczynu odpowiednich wyrażeń. Wykorzystać otrzymane wzory do
przedstawienia w postaci iloczynu następujących wyrażeń: x 3 − 1 , x 3 +8.
Zadanie 0.4
Uprościć wyrażenia wymierne (1 − x 3 ) / (3+3 x +3 x 2 ) i (2 x 2 − x ) / (2 x ).
Zadanie 0.5
Wyprowadzić wzory na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego (wzory
Viete’a). Wyróżniki (”delty”)podanych wielomianów są dodatnie. Obliczyć sumę i ilo
czyn pierwiastków następujących trójmianów (bez obliczania pierwiastków):
x 2 − 8 x +12 ,
Zadanie 0.6
Niech d = a/ ( b − √
c 2 +1). Przekształcić prawą stronę tak, by w mianowniku nie było
pierwiastka.
Zadanie 0.7
Niech dla α ∈ [0 , 2 π ]. Podać wartości kąta α , dla
(a) wartości sinusa
(i) s =1 / 2,
(ii) s = − 1 / 2,
(b) wartości cosinusa
(i) c =1 / 2,
(ii) c = − 1 / 2 ,
3
− 3 x 2 +5 x +2.
445461535.015.png 445461535.001.png 445461535.002.png
(c) jednocześnie danych następujących par wartości sinusa i cosinusa:
√
3 / 2; s =1 / 2 , c = − √
s =1 / 2 , c =
3 / 2 ,
√
3 / 2; s = − 1 / 2 , c = − √
s = − 1 / 2 , c =
3 / 2 .
Zadanie 0.8
Skorzystać z następujących tożsamości trygonometrycznych
cos( α + β )=cos α cos β − sin α sin β,
sin( α + β )=sin α cos β +cos α sin β
doobliczeniawartościsin( 4 + 3 )orazdowyrażeniasin( α + 2 )icos( α + 2 )zapomocą
sinusa i cosinusa kąta α .
Zadanie 0.9
Dlajakichwartościparametru t pierwiastkirównania x 2 + 1 t x + t 2 =0sąrównesinusowi
i cosinusowi tego samego kąta ostrego?
Zadanie 0.10
Zapisać w prostszej postaci wyrażenie
a
− 6 d
− 4
− 2
a 4 b
− 2
− 3
.
− 3 c 4
− 2 d
− 3
Zadanie 0.11
Wykonać potęgowanie ( a 1 / 2 + a 3 / 2 ) 2 .
Zadanie 0.12
Wykonać działania
− 3
2 x +6
− x
2 x 2 − 12 x +18 .
Zadanie 0.13
Znaleźć liczby a i b takie, by funkcje wymierne f ( x ) i g ( x ) były równe
f ( x )=
a
x − 1 +
x +1 , g ( x )= 5 x − 1
b
x 2 − 1 .
Zadanie 0.14
([1], str. 124) Niech a =[2 ,k ] , b =[3 , 5]. Wyznaczyć wartości parametru k tak, by
(a) wektory a i b były równoległe,
(b) wektory a i b były prostopadłe,
(c) kąt między a i b był równy π/ 3.
Zadanie 0.15
Wyprowadzić wzór na współrzędne środka ciężkości trójkąta o wierzchołkach
A ( x A ,y A ) , B ( x B ,y B ) , C ( x C ,y C ) ,
wykonując działania na odpowiednich wektorach.
4
b
c
1
x − 3
445461535.003.png 445461535.004.png 445461535.005.png 445461535.006.png 445461535.007.png 445461535.008.png 445461535.009.png
Zadanie 0.16
Danesąpunkty: A (1 , 3) , B (4 , 7) , C (2 , 8) , D ( − 1 , 4) . Sprawdzić,żesąonewierzchołkami
równoległoboku. Obliczyć pole tego równoległoboku.
Zadanie 0.17
Wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A ( − 3 , − 4) i
B (1 , 0).
Zadanie 0.18
Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P (1 , 1) i tworzącej kąt π/ 3 z do
datnim kierunkiem osi Ox .
Zadanie 0.19
Wyznaczyć kąt między prostymi y = x i y = − x .
Zadanie 0.20
Sprawdzić, czy podane trójki punktów należą do tej samej prostej
(a) A (0 , 5) , B (2 , 1) , C ( − 1 , 7),
(b) A (2 , 0) , B ( − 4 , − 3) , C (3 , 3 ).
Zadanie 0.21
Mając dane równania prostych zawierających dwa boki równoległoboku: x − 3 y = 0 i
2 x +5 y +6=0, oraz współrzędnejednego z wierzchołków: C (4 , − 1), napisać równania
prostych zawierających pozostałe boki równoległoboku.
Zadanie 0.22
Obliczyć odległość punktu A (4 , 5) od prostej x − y +4 = 0, bez stosowania wzoru na
odległość punktu od prostej.
Zadanie 0.23
Rozwiązać układ równań mx +(2 m − 1) y = 3 m, x + my = m. Dla jakich wartości
parametru m rozwiązanie tego układu jest parą liczb o różnych znakach?
Zadanie 0.24
Dla jakich wartości parametru m punktprzecięcia prostych 3 x +4 y =5 m − 7 , x − 4 y =
m +3 należy do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych?
Zadanie 0.25
Dla jakich wartości parametru m proste (3 m +2) x +(1 − 4 m ) y +8=0 , (5 m − 2) x +
( m +4) y − 7=0 są prostopadłe (równoległe)?
Zadanie 0.26
Dane sąproste o równaniach y = x + m +1 , y =2 x − 2 m. Dla jakich wartości m punkt
przecięcia prostych należydownętrzakołaopromieniu
√
5iśrodkuwpoczątkuukładu
współrzędnych?
5
445461535.010.png 445461535.011.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin