10.Formy dwuliniowe i kwadratowe.pdf

(79 KB) Pobierz
116014093 UNPDF
Rozdzial 10
Formy dwuliniowe i
kwadratowe
10.1 Formy dwuliniowe
10.1.1 Denicja i przyklady
NiechX jK
b edzie przestrzeni a liniow a nad cialem K, dim(X jK ) = n.
Denicja 10.1 Przeksztalcenie ' :XX!K nazywamy form a dwuli-
niow a na przestrzeniX jK
jesli
(i)8x;y 1 ;y 2 2X,8 1 ; 2 2K
'(x;y 1 1 + y 2 2 ) = '(x;y 1 ) 1 + '(x;y 2 ) 2
(liniowosc ze wzgl edu na drug a zmienn a),
(ii)8x;y2X'(x;y) = '(y;x) (forma zwykla)
albo
8x;y2X'(x;y) = '(y;x) (forma hermitowska).
Oczywiscie, o formach hermitowskich mozemy mowic tylko wtedy gdy
KC. Dalej, dla uproszczenia, b edziemy rozpatrywac jedynie formy her-
mitowskie.
91
116014093.004.png
92
ROZDZIAL 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE
Zauwazmy, ze8x 1 ;x 2 ;y2X,8 1 ; 2 2K,
'(x 1 1 + x 2 2 ;y) = '(y;x 1 1 + x 2 2 )
= '(y;x 1 ) 1 + '(y;x 2 ) 2
= '(x 1 ;y) 1 + '(x 2 ;y) 2 :
Dosc oczywistym jest fakt, ze zbior wszystkich form dwuliniowych naX jK
jest przestrzeni a liniow a nad R (ale nie nad C!) z naturalnymi dzialaniami:
(')(x;y) := '(x;y);
(' 1 + ' 2 )(x;y) := ' 1 (x;y) + '(x;y):
Przykladami form dwuliniowych naX jK = K n jK
(KC) s a:
X
n
'(x;y) =
x i y i i ; gdzie i 2R; 1in;
i=1
'(x;y) = x H Ay; gdzie A2K n;n ; A = A H ;
a naP n jR :
X
'(p;q) =
p (i) (t i )q (i) (t i ) i ; i 2R; 1in;
i=0
1
'(p;q) =
p(t)q(t)(t) dt; : R!R:
0
10.1.2 Macierz formy dwuliniowej
Dalej wygodnie nam b edzie rozszerzyc dzialanie danej formy dwuliniowej
' :XX!K na ' :X 1;s X 1;t !K s;t w nast epuj acy sposob. Niech
A = [x 1 ;:::;x s ] i B = [y 1 ;:::;y t ]. Wtedy
'(A; B) := ('(x i ;y j )) i;j
2K s;t :
W szczegolnosci, macierz '(A; A) = ('(x i ;x j )) i;j jest kwadratowa i hermi-
towska, '(A; A)2Herm n;n . Mamy tez
8'82R (')(A; B) = '(A; B);
8'; (' + )(A; B) = '(A; B) + (A; B):
n1
Z
116014093.005.png 116014093.006.png 116014093.007.png 116014093.001.png
10.1. FORMY DWULINIOWE
93
Pozyteczne b ed a tez nast epuj ace wzory rachunkowe:
8b2K t
'(A; B
b) = '(A; B)b;
8a2K s
'(A
a; B) = a H '(A; B):
Rzeczywiscie,
X
t
X
b) = '
'(A;y j ) j = '(A; B)b;
'(A; B
A;
y j j
=
j=1
j=1
gdzie b = [ 1 ;:::; t ] T , oraz
'(A
a; B) = ('(B; A
a)) H = a H ('(B; A)) H = a H '(A; B):
Uogolniaj ac te wzory mamy
8B2K t;r
'(A; B
B) = '(A; B)B;
8A2K s;r
'(A
A; B) = A H '(A; B):
Mamy bowiem
'(A; B
B) = '(A; [B
b 1 ;:::; B
b r ])
b r )]
= ['(A; B)b 1 ;:::;'(A; B)b r ]
= '(A; B)B;
b 1 );:::;'(A; B
B = [b 1 ;:::;b r ], oraz
'(A
A; B) = ('(B; A
A)) H = ('(B; A)A) H
= A H ('(B; A)) H = A H '(A; B):
Denicja 10.2 Niech A = [x 1 ;:::;x n ] b edzie baz aX, a ' :XX!K
form a dwuliniow a naX. Macierz hermitowsk a
A
:= '(A; A) = ('(x i ;x j )) i;j=1
nazywamy macierz a formy ' w bazie A.
t
= ['(A; B
94
ROZDZIAL 10. FORMY DWULINIOWE I KWADRATOWE
A
a i y = A
Znaczenie macierzy formy wynika z nast epuj acej rownosci. Niech x =
b. Wtedy
'(x;y) = '(A
a; A
b) = a H '(A; A)b
= a H A
b = (A 1 x) H A (A 1 y):
Przy ustalonej bazie A, kazdej formie hemitowskiej ' :XX!K
mozna przyporz adkowac jej macierz A = '(A; A), ktora jest hermitowska.
Ale tez odwrotnie, kazda macierz hermitowska deniuje form e hermitowsk a
zgodnie ze wzorem '(x;y) = (A 1 x) H (A 1 y). Mamy przy tym, ze
jesli = ' + to A = A + A oraz jesli = ', 2R, to A = A .
St ad przestrzen wszystkich form hermitowskich nad R jest izomorczna z
przestrzeni a macierzy hetrmitowskich nad R, a jej wymiar wynosi n 2 .
10.2 Twierdzenie Sylwester'a
Denicja 10.3 Powiemy, ze macierz A2K n;n przystaje do macierzy B2
K n;n gdy istnieje macierz nieosobliwa C2K n;n taka, ze
B = C H AC:
Niech A i B b ed a dwiema bazamiX jK . Niech C = A 1
B
2K n;n tak, ze
B = A
C:
Jesli A jest macierz a danej formy ' :XX!K w bazie A to macierz '
w bazie B mozna wyrazic wzorem
B
C)
= C H '(A; A)C = C H A
C; A
C:
St ad, w klasie macierzy hermitowskich Herm n;n macierz A przystaje do B
gdy obie s a macierzami tej samej formy (ale byc moze w roznych bazach).
Relacja przystawania macierzy jest zwrotna (bo A = I H AI), syme-
tryczna (bo jesli B = C H AC to A = (C 1 ) H BC 1 ) oraz przechodnia (bo
jesli A 2 = C 1 A 1 C 1 i A 3 = C 2 A 2 C 2 to A 3 = (C 1 C 2 ) H A 1 (C 1 C 2 )).
Jest to wi ec relacja rownowaznosci. A jesli tak, to zbior wszystkich macierzy
hermitowskich mozna przedstawic jako rozl aczn a sum e macierzy do siebie
= '(B; B) = '(A
10.3. FORMY KWADRATOWE
95
wzajemnie przystaj acych (klas abstrakcji relacji przystawania, albo jeszcze
inaczej, macierzy tej samej formy, ale w roznych bazach).
Ile jest klas abstrakcji relacji przystawania w klasie macierzy hermitow-
skich? Odpowiedz daje nat epuj ace twierdzenie, ktore podajemy bez dowodu.
Twierdzenie 10.1 (Sylwester'a)
Dla dowolnej macierzy hermitowskiej A = A H 2K n;n istnieje macierz nie-
osobliwa C2K n;n taka, ze
C H AC = diag(I ;I ; 0 );
gdzie wymiary ;; ( + + = n) s a wyznaczone jednoznacznie.
St ad klas abstrakcji relacji przystawania jest tyle ile macierzy diagonal-
nych z elementami na diagonali kolejno 1;1; 0, czyli
n
X
(n + 1)(n + 2)
2
(k + 1) =
:
k=0
Z twierdzenia Sylwester'a wynika rowniez nast epuj acy wazny wniosek.
Wniosek 10.1 Dla dowolnej formy dwuliniowej ' :XX!K istnieje
baza A wX, w ktorej forma ma postac
'(x;y) =
X
a k b k +
X
a k b k ;
k=1
k=+1
gdzie x = A
a, y = A
b.
10.3 Formy kwadratowe
10.3.1 Okreslonosc formy kwadratowej
Kazdej formie dwuliniowej ' :XX!K odpowiada forma kwadratowa
h :X!R zdeniowana wzorem
h(x) = '(x;x) x2X:
Jesli dla wszystkich x 6= 0 mamy h(x) = '(x;x) > 0 to form e kwadratow a h
(i odpowiednio form e dwuliniow a ') nazywamy dodatnio okreslon a i piszemy
h > 0 (odpowiednio ' > 0). Podobnie, forma h jest okreslona
116014093.002.png 116014093.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin