Prawie_caly_rachunek-wstep.pdf

(469 KB) Pobierz
227528434 UNPDF
Rachunek prawdopodobieństwa – MAEW 104
Materiały do wykładu przygotowane przez
L. Janicką, M. Rutkowską, W. Wawrzyniak-Kosz
Literatura
[1] J.Jakubowski, R.Sztencel, Wstep do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT,
Warszawa 2001
[2] J.Jakubowski, R.Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie)
kaŜdego, SCRIPT,Warszawa 2002
[3] T.Inglot, T.Ledwina, T.Ławniczak, Materiały do ćwiczen z rachunku
prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wydawnictwo Politechniki
Wrocławskiej, Wrocław 1979
[4] H.Jasiulewicz, W.Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
matematyczna. Przykłady i zadania, GiS.Wrocław 2002
[5] W.Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Definicje, twierdzenia, wzory , GiS, Wrocław 2002
[6] W.Krysicki, J.Bartos,W.Dyczka, K.Królikowska,M.Wasilewski, Rachunek
prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część I, PWN
Warszawa, 1997
1.1 . Wst ę p – cz ę sto ś ciowa interpretacja prawdopodobie ń stwa
W otaczającej nas rzeczywistości mamy do czynienia nie tylko z doświadczeniami
deterministycznymi ale teŜ z tak zwanymi doświadczeniami losowymi, których wyniku nie
potrafimy przewidzieć, jednak potrafimy określić zbiór moŜliwych wyników. Rachunek
prawdopodobieństwa zajmuje się opisem doświadczeń losowych, które moŜna powtarzać w
tych samych warunkach oraz badaniem prawidłowości którym podlegają. Zaczniemy od
opisu pewnego doświadczenia wykonanego przez Rutherforda i Geigera. Obserwowali oni
emisję cząstek radioaktywnej substancji w przedziałach czasu o długości 7,5 sek. Dokonano
n = 2608 doświadczeń. Zaobserwowane wyniki przedstawia tabela, gdzie k oznacza liczbę
cząstek wyemitowanych w przedziale czasu o długości 7,5 s, n(k) oznacza liczbę obserwacji
w których wystąpił wynik k, ∑ =
10
n
(
k
)
=
n
, w(k) jest częstością pojawienia się wyniku k,
k
0
w
(
k
)
=
n
(
k
)
.
n
k
n(k)
w(k)
0
53
0,022
1
203
0,078
2
383
0,147
3
525
0,201
4
532
0,204
5
408
0,156
6
273
0,105
7
139
0,053
8
45
0,017
9
27
0,010
³
10 16
0,006
Wartości funkcji w(k) dla innej serii pomiarów mogą być inne.
227528434.044.png 227528434.045.png 227528434.046.png 227528434.047.png
ZauwaŜono, Ŝe dla długich serii pomiarów wartości funkcji w(k) stabilizują się wokół
e
-
l
l
k
wartości funkcji
p
(
k
)
=
, gdzie l jest pewną stałą (w podanym przykładzie
k
!
l
=
3
877871
). Wartości funkcji p(k) nie zaleŜą od n.
k n(k)
w(k)
p(k)
0
53
0,022
0,021
1
203
0,078
0,081
2
383
0,147
0,156
3
525
0,201
0,201
4
532
0,204
0,195
5
408
0,156
0,151
6
273
0,105
0,097
7
139
0,053
0,054
8
45
0,017
0,026
9
27
0,010
0,011
³
10 16
0,006
0,007
0,25
0,2
0,15
w(k)
p(k)
0,1
0,05
0
0 1 2
3 4 5 6 7
8 9 10
liczba emitowanych cz ą stek
Inne przykłady doświadczeń losowych to rzut kostką, rzut monetą, obserwacja czasu
niezawodnej pracy pewnego urządzenia,..
227528434.001.png 227528434.002.png 227528434.003.png 227528434.004.png 227528434.005.png 227528434.006.png 227528434.007.png 227528434.008.png 227528434.009.png 227528434.010.png 227528434.011.png 227528434.012.png 227528434.013.png 227528434.014.png 227528434.015.png 227528434.016.png 227528434.017.png 227528434.018.png 227528434.019.png 227528434.020.png 227528434.021.png 227528434.022.png 227528434.023.png 227528434.024.png 227528434.025.png 227528434.026.png 227528434.027.png 227528434.028.png 227528434.029.png 227528434.030.png 227528434.031.png 227528434.032.png 227528434.033.png 227528434.034.png 227528434.035.png 227528434.036.png 227528434.037.png 227528434.038.png 227528434.039.png
1.2. Definicja i własno ś ci prawdopodobie ń stwa.
Zbiór wszystkich moŜliwych wyników doświadczenia losowego nazywamy przestrzenią
zdarzeń elementarnych i oznaczamy przez
W .
Elementy zbioru
W
nazywamy zdarzeniami
w.
Przykłady przestrzeni zdarzeń elementarnych.
1. W doświadczeniu Rutherforda i Geigera obserwowano liczbę cząstek wyemitowanych
przez ciało radioaktywne -
.
2. Wykonujemy rzut kostką - obserwujemy liczbę oczek na kostce -
W
=
{
2
,....}
W
=
{
2
4
3. Obserwujemy czas t niezawodnej pracy urządzenia -
W
=
{
:
t
Î
[
0
¥
)}
.
4. Wyznaczamy czas ściągania pliku i liczbę przerw w jego ściąganiu -
,....}}
W
=
{(
,
k
)
:
t
Î
[
0
¥
),
k
Î
{
2
W
=
{
O
,
RO
,
RRO
,....}
.
Zdarzeniem losowym nazywamy podzbiór W . Zbiór wszystkich zdarzeń oznaczać będziemy
literą F. Dla zdarzeń, podobnie jak dla zbiorów, określamy alternatywę (sumę) zdarzeń,
koniunkcję (iloczyn) zdarzeń, róŜnicę zdarzeń. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A
nazywamy zdarzenie A` = W \A. W nazywamy zdarzeniem pewnym,f - zdarzeniem
niemoŜliwym. JeŜeli
B
=
f
Ze względu na wymagania dotyczące działań na zdarzeniach, zakładamy, Ŝe zbiór zdarzeń F
spełnia następujące warunki:
1
F
¹
f
,
2
A
Î
F
⇒
A
'
Î
F
,
3
A
1 ,...
,
A
Î
F
⇒
¥
=
A
n F
Î
n
1
-ciałem zbiorów.
Z podanych warunków wynika, Ŝe
s
W
=
A
È
A
¢
Î
F
, jeśli
A Î
F
oraz ,
f
=
W¢
Î
F
.
zdarzeniem
losowym moŜe być dowolny jej podzbiór. W przypadku nieprzeliczalnej przestrzeni
W
rodzinę F naleŜy precyzyjnie określić. W zagadnieniach dobrym modelem probabilistycznym
okazują się pewne podzbiory prostej, płaszczyzny lub przestrzeni. Za rodzinę F przyjmuje się
wówczas
W
-ciało zbiorów borelowskich na prostej, płaszczyźnie lub w przestrzeni, przez co
rozumie się najmniejsze
s
-ciało zbiorów zawierające przedziały otwarte ( a, b ) w R (koła
otwarte w R 2 , kule otwarte w R 3 ) Mówiąc obrazowo, zbiór borelowski w R (w R k ,k=2,3) to
kaŜdy zbiór, który moŜna otrzymać jako wynik przeliczalnych działań mnogościowych
wykonanych na rodzinie wszystkich przedziałów na prostej czy kul otwartych w przestrzeni
k -wymiarowej (k=2,3). Na przykład zbiorem borelowskim w R jest kaŜdy przedział
jednostronnie czy dwustronnie domknięty i kaŜda półprosta.
s
Opisując doświadczenia losowe podajemy zbiór wszystkich moŜliwych wyników, określamy
rodzinę F ale najbardziej interesujące są pytania o szansę zajścia poszczególnych zdarzeń. Tę
szansę określającą zajście zdarzenia mierzy funkcja zwana prawdopodobieństwem.
elementarnymi i oznaczamy przez
t
t .
5. Rzucamy symetryczną monetą aŜ do pojawienia się orła -
A 1 , to mówimy, Ŝe zdarzenia A, B wykluczają się.
Nie wszystkie podzbiory W będziemy uwaŜać za zdarzenie i zaliczyć do zbioru F.
Rodzinę F nazywamy
W przypadku dyskretnej (tzn. skończonej lub przeliczalnej) przestrzeni
Definicja 1.2.
Prawdopodobie ń stwem nazywamy funkcję określoną na rodzinie zdarzeń F spełniającą
następujące warunki:
1
£
P
(
A
)
£
1
dla
ka Ŝ
deg
o
A
Î
F
2
P
(
W
)
=
1
3. JeŜeli
A
1 A
, 2
,...
są parami rozłączne (tzn.
A
i A
Ç
j
=
f
,
dla dowolnych
i ¹
j
), to
¥
=
∑
¥
P
( n
A
)
=
P
(
A
)
.
n
n
1
n
=
1
W szczególności
P
(
A
È
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
dla zdarzeń rozłącznych A, B.
Z powyŜszych warunków (aksjomatów) wynika wiele własności prawdopodobieństwa,
z których najwaŜniejsze są przedstawione poniŜej:
Fakt 1.3.
1. JeŜeli
A
Ì
B
,
to
P
(
A
)
£
P
(
B
),
2. P(A’) = 1 – P(A), a stąd P(
f
) = 0.
3. JeŜeli
A
Ì
B
,
to
P
(
B
\
A
)
=
P
(
B
)
-
P
(
A
)
=
P
(
B
)
-
P
(
A
Ç
B
)
,
4.
P
(
A
È
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
-
P
(
A
Ç
B
).
8
n
n
∑
5.
P
(
A
)
£
P
(
A
)
.
i
i
i
=
1
i
=
1
6. JeŜeli
A
1
Ì
A
2
Ì
...,
to
P
(
¥
=
A
n
)
=
lim
P
(
A
n
),
n
®
¥
n
1
7. JeŜeli
A
1
É
A
2
É
...,
to
P
(
¥
=
A
n
)
=
lim
P
(
A
n
).
n
®
¥
n
1
W przypadku trzech zbiorów A, B, C wzór z punktu 4. przyjmie postać:
P
(
A
È
B
È
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
-
P
(
A
Ç
B
)
-
P
(
B
Ç
C
)
-
P
(
C
Ç
A
)
+
P
(
A
Ç
B
Ç
C
)
a
przypadku dowolnej, skończonej liczby zbiorów wzór ten moŜna uogólnić w następujący
sposób:
8
n
∑ ∑
P
(
A
)
=
P
(
A
)
-
P
(
A
Ç
A
)
+
...
+
(
-
1
n
+
1
P
(
A
Ç
...
Ç
A
)
i
i
i
1
i
2
1
n
=
1
1
£
i
£
n
1
£
i
<
i
£
n
1
2
Fakt.1.4.
JeŜeli
W w
=
{
i
:
i
Î
I
}
, gdzie I jest zbiorem skończonym lub I = N oraz
P
(
w
i
)
=
p
i
, przy
czym
p
i
³
0
oraz ¥
=
p
i
=
1
, to dla
A
Ì
W
wzór
P
(
A
)
= A
∑ Î
p
i
określa
i
1
w
i
prawdopodobieństwo na rodzinie wszystkich podzbiorów zbioru
W.
Trójkę (
W,
F, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
i
1
• Przykład 1.1.
Niech A,B,C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące
zdarzenia:
a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A,B,C ;
b) zachodzą dokładnie dwa spośród zdarzeń A,B,C ;
c) zachodzą przynajmniej dwa spośród zdarzeń A,B,C.
d) zachodzą co najwyżej dwa spośród zdarzeń A,B,C.
R o z w i ą z a n i e.
a)Zachodzidokładniejednozezdarzeń A,B,C ,tooznaczadokładnie,żezachodzi A inie
zachodzą B ani C lub zachodzi B i nie zachodzą A ani C lub zachodzi C i nie zachodzą
A ani B czyli, że zachodzi zdarzenie
A ∩ B
′ ∩ C
′ ∪ A
′ ∩ B ∩ C
′ ∪ A
′ ∩ B
′ ∩ C .
b) Podobnie — zachodzą dokładnie dwa spośród zdarzeń A,B,C oznacza, że zachodzi
zdarzenie
A ∩ B ∩ C
′ ∪ A ∩ B
′ ∩ C ∪ A
′ ∩ B ∩ C .
c) Zachodzą przynajmniej dwa spośród zdarzeń A,B,C oznacza, że zachodzą dokład
nie dwa spośród zdarzeń A,B,C lub zachodzą wszystkie trzy zdarzenia, czyli zachodzi
zdarzenie
A ∩ B ∩ C
′ ∪ A ∩ B
′ ∩ C ∪ A
′ ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C .
d)Zachodząconajwyżejdwaspośródzdarzeń A,B,C oznacza,żeniezachodząwszystkie
trzy zdarzenia, czyli zachodzi zdarzenie
( A ∩ B ∩ C ) ′ = A
′ ∪ B
′ ∪ C
′
.
• Przykład 1.2.
Studenci Wydziału Elektroniki muszą zaliczyć dwa lektoraty: zjęzyka angielskiego i z ję
zyka niemieckiego. Z danych Dziekanatu wynika, że 3 studentów zalicza lektorat z języka
angielskiego, oba lektoraty zalicza co czwarty student, zaś przynajmniej jeden z lekto
ratów zalicza również 3 studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany
student:
a) nie zaliczył żadnego lektoratu?
b) zaliczył język angielski i nie zaliczył języka niemieckiego?
R o z w i ą z a n i e.
Niech A oznacza zdarzenie ”losowo wybrany student zaliczył lektorat z języka angielskie
go”,przyjmujemy, że P ( A )= 3 , B zdarzenie ”losowo wybrany student zaliczył lektorat
z języka niemieckiego”.
a) Oczywiście chodzi o zdarzenie A
′ ∩ B
′
, więc
P ( A
′ ∩ B
′
)= P (( A ∪ B ) ′ )=1 − P ( A ∪ B )=1 − 3 = 3
1
227528434.040.png 227528434.041.png 227528434.042.png 227528434.043.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin