01_RACH_Bl.pdf

RACHUNEK BŁĘDÓW

Cele ćwiczenia:

1.Utrwalenie wiadomości ze statystycznych i obliczeniowych metod analizy danych.

2.Nabycie praktycznej umiejętności zastosowania w/w metod do opracowania wyników

doświadczalnych.

3. Przeprowadzenie dyskusji otrzymanych rezultatów ćwiczenia: wartości liczbowych i wielkości

błędów; ocena jakości przeprowadzonych pomiarów i źródeł błędów.

Przygotowanie do ćwiczenia:

1 .Przed ćwiczeniami należy przypomnieć sobie następujące zagadnienia:

rodzaje błędów doświadczalnych

teoria rozkładu błędów przypadkowych

definicje parametrów charakteryzujących pomiar: średnia, odchylenie standardowe,

odchylenie standardowe wartości średniej

obliczanie błędów pomiaru wielkości złożonej (obliczanie pochodnej funkcji złożonej)

analiza pomiaru zależności funkcyjnej (regresja liniowa)

weryfikacja hipotezy statystycznej – test Studenta

2 .Należy przynieść ze sobą na ćwiczenia:

kalkulator

papier milimetrowy, linijkę, ołówek.

Podstawowe informacje

Doświadczenie z dziedzin nauk ścisłych można podzielić na dwie fazy: pomiar

przeprowadzany zwykle za pomocą specjalnych przyrządów umożliwiających porównanie

wielkości mierzonej z wzorcem oraz analizę wyników. Zadaniem analizy wyników jest nie tylko

uzyskanie pewnych wielkości charakteryzujących pomiar ale także krytyczna ocena otrzymanych

wyników, ocena prawidłowości wykonania doświadczenia oraz oszacowanie dokładności

wyników.

Wyznaczone w pomiarach wartości nigdy nie są wartościami prawdziwymi a jedynie ich

przybliżeniem. Na powstawanie błędów w pomiarach wielkości fizycznych wpływa wiele

czynników. Błędy doświadczalne dzielimy na trzy grupy: systematyczne, grube oraz

przypadkowe.

1.Błędy systematyczne

-wynikają z niedokładności przyrządów (np. posługiwanie się skalą, której działki są za duże

lub za małe w stosunku do wzorca, np. “spieszący” się stoper); z błędnej metody pomiaru (zła

metoda obserwacji-błąd paralaksy) lub działania czynników zewnętrznych (np. waga analityczna

umieszczona obok grzejnika, złe ustawienie zera skali). Nie istnieją ogólne metody eliminacji

błędów systematycznych (inaczej nazywanych niepewnością systematyczną), w każdym przypadku

trzeba stosować indywidualne sposoby.

2.Błędy grube

-powstają na skutek pomyłki obserwatora przy odczycie lub zapisie wyników; zwykle

przewyższają kilkakrotnie błędy reszty pomiarów. Wynik obarczony błędem grubym należy

odrzucić i w miarę możliwości powtórzyć pomiar.

3.Błędy przypadkowe

W 1783 roku Laplace podał następującą teorię powstawania błędów pomiarowych: pomiar

prawdziwej wartości wielkości mierzonej (np. długości a ) jest zakłócany przez dużą liczbę

niezależnych czynników, powodujących zaburzenia rzędu ε (ε- różnica między nieznaną

wielkością prawdziwą a, a wielkością x uzyskaną z pomiaru pojedynczego). Dla każdego

zakłócenia prawdopodobieństwo wywołania zmiany + ε jak i – ε jest takie samo. Błąd pomiarowy

jest zatem suma poszczególnych zakłóceń. Występowanie błędów przypadkowych podlega

pewnym prawidłowościom: zmiany ε mogą być dodatnie jak i ujemne, dla dostatecznej liczby

pomiarów liczba zaburzeń o dodatnich wartościach jest równa liczbie zaburzeń o wartosciach

ujemnych (rozkład jest symetryczny ); liczba zaburzeń o dużych wartościach jest mniejsza od

liczby zaburzeń o małych wartościach. Najważniejszy rozkład teorii błędów – rozkład Gaussa (lub

inaczej nazywany jako normalny ) opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia błędu o wartości ε =a-

 −

−

( )



()

exp









Parametr σ - odchylenie standardowe – określa szerokość rozkładu błędów przypadkowych

(prawdopodobieństwo otrzymania w pomiarze wielkości x odległej od wartosci prawdziwej a

więcej niż o +/- 3 σ jest znikomo małe . Odchylenie standardowe może być wstępnie wyznaczone

przez wielokrotne powtarzanie pomiaru i charakteryzuje błąd pomiarowy. Identyfikacja rozkładu

błędów pomiarowych z rozkładem Gaussa jest bardzo istotnym założeniem, szczególnie dla

metody najmniejszych kwadratów, jednakże nie jest “absolutnym” prawem natury. Symetria

i niezależność zakłóceń nie zawsze mogą być zapewnione, dlatego przed przeprowadzeniem

szczegółowych żmudnych obliczeń należy sprawdzać (np. testem χ 2 ) czy rozkład doświadczalny

jest rozkładem Gaussa.

Parametry charakteryzujące pomiar

1.Wartość średnia: przy pomiarach o jednakowej dokładności najbardziej prawdopodobną,

najlepszą wartością poszukiwanej wielkości prawdziwej jest średnia arytmetyczna wszystkich

otrzymanych wyników pomiarów:

2.Odchylenie standardowe : błąd pojedynczego pomiaru:

( )

x i

−

3.Błąd wartości średniej: błąd średniej arytmetycznej N pomiarów, czyli odchylenie standardowe

wartości średniej:

σ =

Określanie błędu wielkości złożonej.

Często w doświadczeniu wyznaczamy wielkość Λ, która jest obliczana na podstawie pomiaru

innych wielkości bezpośrednio mierzonych ϕ i . Poszukiwana wielkość jest wyrażona jakimś

wzorem funkcyjnym Λ=Λ(ϕ 1 ,ϕ 2 ....). Aby określić błąd maksymalny wyznaczonej wartości Λ

należy wziąć pod uwagę tę zależność funkcyjną oraz błędy z jakimi wyznaczono wartości

parametrów niezależnych, bezpośrednio mierzonych w doświadczeniu. Należy więc:

a) dla każdego parametru ϕ i obliczyć wartość średnią

ϕ, oraz odchylenie tej wartości średniej

b) obliczyć różniczkę zupełną dla funkcji Λ = Λ ( ϕ 1 , ϕ 2 .... ϕ m ). Wartość tej różniczki określi błąd

z jakim wyznaczono poszukiwaną wielkość na podstawie wzoru Λ=Λ(ϕ 1 ,ϕ 2 ....).

= 1

∂

ϕ ⋅

∂

Symbol

∂

oznacza pochodną cząstkową funkcji Λ po parametrze ϕ j . Za wielkość dϕ j

∂

wstawiamy wartość błędu średniej ϕ .

Odchylenie standardowe wielkości Λ można obliczyć ze wzoru:



∂

(

1 ,...

)











∂





Regresja liniowa

Sytuacją typową dla wielu doświadczeń jest badanie wpływu zmiennych o znanych

własnościach (zmiennych kontrolowanych) na zmienną losową (wynik pomiaru). Zmienna

kontrolowana wzrasta krok po kroku w określony sposób, analizując wyniki pomiarów szukamy

wzajemnej współzależności pomiędzy parametrami. W najprostszym przypadku zakładamy

liniowy model zależności pomiarów y od zmiennej kontrolowanej t :

α, β - to nieznane parametry, błąd pomiarowy i-tego pomiaru to ε i (zakładamy, że błedy te

podlegają rozkładowi normalnemu o wartości średniej równej zero). Parametry α, β mogą być

wyznaczone przy użyciu metody najmniejszych kwadratów. Wzory na te parametry mają postać:

α +

( ) ( ) ( )( )

∑

−

∑

∆

( )( )

∑

−

∑

∆

∑∑

−

( ) 2

n – oznacza ilośc punktów pomiarowych; sumowanie odbywa się od i=1 do i=n

Prosta o przecięciu α i nachyleniu β nazywana jest empiryczną regresją liniową .

Współczynnik korelacji r dostarcza niezależnej informacji, czy zmiany wielkości kontrolowanej t

są w korelacji ze zmianami y . Współczynnik ten zmienia się w zakresie od 0 (brak korelacji) do

+/- 1 (korelacja zupełna). Wzór na współczynnik korelacji wyraża się wyrażeniem:

∑

(

−

( )( )

( )

∑

−

∑

)

∆

⋅

∑∑

Testowanie hipotez statystycznych

Postępowanie pozwalające decydować o prawdziwości hipotez statystycznych nazywamy testami

statystycznymi. Jeśli hipoteza H dotyczy wartości jakichkolwiek parametrów rozkładu F,

nazywamy ją hipotezą parametryczną, w przeciwnym wypadku nazywamy ją hipotezą

nieparametryczną . Hipotezę H która jednoznacznie precyzuje nieznany rozkład F nazywamy

hipotezą prostą . Aby zweryfikować postawiona hipotezę co do rozkładu rządzącego rozkładem

losowym jakiegoś zjawiska pobieramy próbę n niezależnych obserwacji zjawiska (dokonujemy n

pomiarów). Przed przystąpieniem do analizy próby ustalamy określoną wartość

prawdopodobieństwa α (poziom istotności). Zakładając, że postawiona hipoteza jest prawdziwa

pytamy czy prawdopodobieństwo zaobserwowania określonych własności próby jest mniejsze od

α. Jeśli tak jest, to postawioną hipotezę odrzucamy . W przeciwną stronę wnioskowanie nie jest

możliwe- można jedynie powiedzieć, że hipoteza jest niesprzeczna z wynikiem uzyskanym na

podstawie badanej próby.

Wykonanie ćwiczenia:

I. Wyznaczanie objętości i pola powierzchni brył.

∑

1. Zapoznać się ze sposobem posługiwania się suwmiarką.

2. Zmierzyć za pomocą suwmiarki wszystkie parametry każdej z brył, potrzebne do wyznaczenia

jej objętości i pola powierzchni. Każdy pomiar wykonać 10 razy. Należy mieć na uwadze, że

mierzone bryły nie są idealne, więc pomiaru tego samego parametru nie można wykonywać w tym

samym miejscu bryły. Należy zanotować:

a) wartości wszystkich dokonanych pomiarów

b) niepewność systematyczną, z jaką dokonuje się pomiaru

3. Korzystając z odpowiednich równań należy podać wartości charakteryzujące każdy wyznaczony

parametr

a) wartość średnią

b) odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

c) odchylenie standardowe średniej

d) niepewność całkowitą ( jest to pierwiastek z sumy kwadratów niepewności systematycznej

i odchylenia standardowego).

4. Korzystając z odpowiednich równań podać dla każdej z brył:

a) objętość

b) odchylenie standardowe

c) niepewność maksymalną

5. Analogicznie do pkt. 4 podać pole powierzchni każdej z brył.

II. Porównanie średniej masy ziaren dwóch gatunków roślin.

l. Zapoznać się ze sposobem posługiwania się wagą.

2. Zważyć pojedynczo po n’ = 8 ziaren wybranego gatunku; zanotować wartości wszystkich

dokonanych pomiarów' oraz niepewność systematyczną, z jaką dokonuje się pomiaru.

Gdy różnice między wynikami poszczególnych pomiarów serii próbnej znacznie przekraczają

niepewność systematyczną, wtedy odchylenie standardowe możemy zmniejszyć do dowolnie małej

wartości δ, zwiększając liczbę pomiarów' do n, określonej zależnością:

′

2 S











gdzie S oznacza odchylenie standardowe wyników próbnych, t - tzw. zmienną losową Studenta,

zależną od liczby pomiarów próbnych n' oraz poziomu istotności α. (wartości podane w tabeli).

Zaplanować na wybranym poziomie istotności α (w zakresie 0,10 - 0,01) liczbę pomiarów,

które należy przeprowadzić aby uzyskać dokładność odpowiadającą jak najmniejszemu odchyleniu

standardowemu S o jak najmniejszej wartości (wartość ta musi być jednak nie mniejsza od

niepewności systematycznej).

3. Wykonać zaplanowane pomiary.

4. Narysować histogram, dzieląc przedział zmienności zmierzonych wartości np. na dziesięć

podprzedziałów.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: