Przekształcenia Laplace'a.doc

(80 KB) Pobierz

Liniowość

Liniowość

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Transformata pochodnej

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}(f) - f(0^+)$ gdzie f'(0 + ) oznacza granicę prawostronną funkcji f(t) w punkcie t=0

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0^+) - f'(0^+)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - df\cdots - f^{(n - 1)}(0^+)$

Pochodna transformaty

$F^{(n)}(s)=(-1)^{(n)}\mathcal{L}\{ t^{(n)} f(t)\}$

Transformata całki

$\mathcal{L}\left\{ \int\limits_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over s} F(s)$

Całka transformaty

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int\limits_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

Przesunięcie w dziedzinie transformaty

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

Transformata funkcji z przesunięciem

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) 1(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) 1(t - a)$

gdzie 1(t) oznacza skok jednostkowy---------.

Splot

$\mathcal{L}\left\{\int\limits_0^\infty f(u)\cdot g(t-u)\,du\right\} = \mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Jest to tzw. Twierdzenie Borela o splocie.

Transformata funkcji okresowej o okresie p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int\limits_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

Własności graniczne

$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$

$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$

Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji

$\mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\} = 1$

$\mathcal{L}\left\{\delta(t-a)\right\} = e^{-as}$

$\mathcal{L}\left\{a\right\} = a\frac{1}{s}$

$\mathcal{L}\left\{at\right\} = a\frac{1}{s^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{at^n\right\} = a\frac{n!}{s^{n+1}} \qquad dla \quad n = 0,1,2,3,....$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\left\{\sin(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\cos(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\sinh(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}-a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\cosh(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}-a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{t^ne^{at}\right\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\sin(bt)\right\} = \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\frac{t}{2b}\sin(bt)\right\} = \frac{s}{(s^{2}+b^{2})^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\cos(bt)\right\} = \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\ln(at)\right\} = -\frac{\gamma + \ln(s) - \ln(a)}{s}$

gdzie γ - stała Eulera

...

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Numerical Recipes, The Art Of Scientific Computing 3Rd Ed - Cambridge University Press 2007.pdf (20909 KB)
Optimal Control An Introduction to the Theory and Its Applications - M.Athans, P.L.Falb.pdf (31459 KB)
Przekształcenia Laplace'a.doc (80 KB)
Mathematical Olympiad in China-Problems and Solutions.pdf (9139 KB)
Funkcje_cyklometryczne.pdf (46 KB)

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin