uklady_rownan.pdf
(
125 KB
)
Pobierz
4553010 UNPDF
Uk“ady r
ó
wna«
De
nicja 1 Funkcjƒ
f
:IR
n
¡!
IR okre–lon¡ wzorem
f
(
x
1
;:::;x
n
)=
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
:::
+
a
n
x
n
+
a
0
;
gdzie
a
1
;a
2
;:::;a
n
;a
0
s¡ sta“ymi, nazywamy funkcj¡ liniow¡
n
zmiennych. Liczby
a
1
;a
2
;:::;a
n
nazywamy wsp
ó
“czynnikami, a liczbƒ
a
0
wyrazem wolnym.
Przyk“ad 1 Funkcja
f
(
x
)=2
x
+3jest funkcj¡ liniow¡ jednej zmiennej, a
funkcja
f
(
x;y
)=2
x
+4
y¡
5jest funkcj¡ liniow¡ dw
ó
ch zmiennych.
De
nicja 2 R
ó
wnaniem liniowym o
n
zmiennych (niewiadomych) nazywamy
r
ó
wnanie otrzymane przez przyr
ó
wnanie do zera funkcji liniowej
n
zmiennych:
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
:::
+
a
n
x
n
+
a
0
=0
:
R
ó
wnanie liniowe zapisujemy zwykle w postaci
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
:::
+
a
n
x
n
=
b
(1)
i nazywamy jednorodnym, gdy
b
=0i niejednorodnycm, gdy
b6
=0. Liczby
a
1
;a
2
;:::;a
n
nazywamy wsp
ó
“czynnikami r
ó
wnania, a liczbƒ
b
wyrazem wolnym.
De
nicja 3 R
ó
wnanie(1)po podstawieniu za zmienne
x
1
;x
2
;:::;x
n
liczb
c
1
;c
2
;:::;c
n
staje siƒ:
1. zdaniem prawdziwym i wtedy m
ó
wimy, »e ci¡g(
c
1
;c
2
;:::;c
n
)spe“nia r
ó
w-
nanie(1);
2. zdaniem fa“szywym i wtedy m
ó
wimy, »e ci¡g(
c
1
;c
2
;:::;c
n
)nie spe“nia
r
ó
wnania(1).
Przyk“ad 2 Niech3
x
+4
y
+3
z
=5. Wtedy ci¡g(1
;¡
1
;
2)spe“nia to r
ó
wnanie,
a ci¡g(1
;
0
;
2)nie spe“nia danego r
ó
wnania.
De
nicja 4 Rozwi¡zaniem r
ó
wnania(1)nazywamy ka»dy ci¡g liczb rzeczy-
wistych(
c
1
;c
2
;:::;c
n
), kt
ó
ry spe“nia r
ó
wnanie(1). Poszczeg
ó
lne liczby nazy-
wamy wsp
ó
“rzƒdnymi rozwi¡zania.
De
nicja 5 Rozwi¡za¢ r
ó
wnanie oznacza poda¢ wszystkie jego rozwi¡zania lub
stwierdzi¢, »e rozwi¡za« nie ma.
Rozwa»my teraz uk“ad
m
r
ó
wna« o
n
niewiadomych
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
:::
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
:::
+
a
2
n
x
n
=
b
2
::::::::::::::::::::::::::::::
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
:::
+
a
mn
x
n
=
b
m
;
1
przy czym liczba r
ó
wna«
m
mo»e by¢ mniejsza, r
ó
wna lub wiƒksza ni» liczba
niewiadomych
n
. Wsp
ó
“czynniki uk“adu
a
ij
i wyrazy wolne
b
i
, gdzie
i
=
1
;
2
;:::;m
,
j
=1
;
2
;:::;n
uwa»amy za wiadome liczby rzeczywiste lub ze-
spolone. Liczby te zapisujemy w postaci macierzy:
A
=
2
6
6
4
a
11
a
12
::: a
1
n
a
21
a
22
::: a
2
n
::: ::: ::: :::
a
m
1
a
m
2
:::a
mn
3
7
7
5
B
=
2
6
6
4
b
1
b
2
:::
b
m
3
7
7
5
:
Niech
2
a
11
a
12
::: a
1
n
b
1
a
21
a
22
::: a
2
n
b
2
::: ::: ::: ::: :::
a
m
1
a
m
2
:::a
mn
b
m
3
(
A
;
B
)=
6
6
4
7
7
5
:
Macierz(
A
;
B
)nazywamy macierz¡ uzupe“nion¡, jest to macierz otrzymana z
macierzy
A
przez dopisanie do macierzy
A
kolumny wyraz
ó
w wolnych.
De
nicja 6 Uk“ad r
ó
wna« liniowych nazywamy:
²
rozwi¡zalnym, gdy ma co najmniej jedno rozwi¡zanie;
²
nierozwi¡zalnym, czyli sprzecznym, gdy nie ma rozwi¡zania.
De
nicja 7 Uk“ad r
ó
wna« liniowych nazywamy:
²
oznaczonym, gdy ma dok“adnie jedno rozwi¡zanie;
²
nieoznaczonym, gdy ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«.
De
nicja 8 Przekszta“ceniami elementarnymi uk“adu r
ó
wna« liniowych nazy-
wamy:
(1) przestawienie dw
ó
ch r
ó
wna« uk“adu;
(2) pomno»enie r
ó
wnania przez liczbƒ r
ó
»n¡ od zera;
(3) pomno»enie pewnego r
ó
wnania przez dowoln¡ liczbƒ r
ó
»n¡ od zera i dodanie
do innego r
ó
wnania.
Twierdzenie 1 Je–li do danego uk“adu r
ó
wna« liniowych zastosujemy przek-
szta“cenie elementarne, to otrzymany uk“ad bƒdzie mia“ te same rozwi¡zania.
Uwaga 1 Przekszta“ceniom elementarnym uk“adu r
ó
wna« odpowiadaj¡ przek-
szta“cenia elementarne macierzy:
(1) przestawienie dw
ó
ch wierszy;
(2) pomno»enie wiersza przez liczbƒ r
ó
»n¡ od zera;
2
(3) pomno»enie pewnego wiersza przez dowoln¡ liczbƒ r
ó
»n¡ od zera i dodanie
do innego wiersza.
Przyk“ad 3 Niech2
x
+3
y
+6
z
=5. Je–li to r
ó
wnanie zapiszemy w postaci
3
y
+2
x
+6
z
=5, to aby zapisa¢ to r
ó
wnanie w postaci
ax
+
by
+
cz
=5
przenumerujemy zmienne w nastƒpuj¡cy spos
ó
b:
x
=
y;y
=
x; z
=
z:
Wtedy3
x
+2
y
+6
z
=5.
Twierdzenie 2 Je–li z uk“adu
F
otrzymujemy uk“ad
G
przez zmianƒ numeracji
niewiadomych, to uk“ady
FG
maj¡ ten sam zbi
ó
r rozwi¡za«.
Uwaga 2 Zmiana numeracji niewiadowmych powoduje odpowiednie przestawie-
nie kolumn w macierzy wsp
ó
“czynnik
ó
w tego uk“adu (kolumna wyraz
ó
w wolnych
pozostaje na swoim miejscu).
Twierdzenie 3 Dowoln¡ macierz
2
3
a
11
a
12
::: a
1
n
a
21
a
22
::: a
2
n
::: ::: ::: :::
a
m
1
a
m
2
:::a
mn
A
=
6
6
4
7
7
5
;
w kt
ó
rej nie wszystkie wyrazy
a
ij
s¡ zerami, mo»na za pomoc¡ przekszta“ce« el-
ementarnych i przestawiania kolumn sprowadzi¢ do macierzy
P
zwanej p
ó
“nor-
maln¡:
2
3
p
11
p
12
p
13
::: p
1
r
p
1
;r
+1
:::p
1
n
0
p
22
p
23
::: p
2
r
p
2
;r
+1
:::p
2
n
0 0
p
33
::: p
3
r
p
3
r;r
+1
:::p
3
n
::: ::: ::: :::::: ::: ::: :::
0 0 0
::: p
rr
p
r;r
+1
:::p
rn
0 0 0
:::
0 0
:::
0
::: ::: ::: :::::: ::: ::: :::
0 0 0
:::
0 0
:::
0
P
=
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
;
gdzie
p
ii
6
=0dla
i
=1
;
2
;:::;r
,
r¸
1,
r·
min
fn;mg
, a nastƒpnie do macierzy
C
zwanej macierz¡ normaln¡:
2
3
c
11
0 0
:::
0
c
1
;r
+1
::: c
1
n
0
c
22
0
:::
0
c
2
;r
+1
::: c
2
n
0 0
c
33
:::
0
c
3
r;r
+1
::: c
3
n
::: ::: ::: :::::: ::: ::: :::
0 0 0
::: c
rr
c
r;r
+1
::: c
rn
0 0 0
:::
0 0
:::
0
::: ::: ::: :::::: ::: ::: :::
0 0 0
:::
0 0
:::
0
C
=
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
;
3
gdzie
c
ii
6
=0dla
i
=1
;
2
;:::r
,
r¸
1,
r·
min
fn;mg
.
Uwaga 3 W macierzach
P
i
C
liczba
r
ma t¡ sam¡ warto–¢. Dodatkowo za-
uwa»my, »e dziel¡c
i
-ty wiersz przez
c
ii
mo»emy uzyska¢, »e w miejscu
c
ii
bƒd¡
jedynki.
Uwaga 4 Je–li
r
=
m
, to w macierzach
P
i
C
nie ma u do“u wierszy wype“nionych
zerami. Je–li
r
=
n
, to
r
-ta kolumna jest ostatni¡ kolumn¡.
Przyk“ad 4 Sprowadzi¢ do postaci normalnej macierz:
A
=
2
6
6
4
1 1
¡
4 0 3
1
¡
1
¡
2
¡
2
¡
2
1
¡
3 0
¡
4 0
0 1
¡
1 1 1
3
7
7
5
:
4
Metoda eliminacji Gaussa
Twierdzenie 4 Dowolny uk“ad r
ó
wna« liniowych
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
:::
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
:::
+
a
2
n
x
n
=
b
2
::::::::::::::::::::::::::::::
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
:::
+
a
mn
x
n
=
b
m
mo»na za pomoc¡ przekszta“ce« elementarnych i zmiany numeracji niewiadomych
sprowadzi¢ do uk“adu normalnego:
c
11
x
1
+
c
1
;r
+1
x
r
+
1
+
:::
+
c
1
n
x
n
=
q
1
c
22
x
2
+
c
2
;r
+1
x
r
+1
+
:::
+
c
2
n
x
n
=
q
2
::::
::
:::::::::
:
::::::::::::::
c
rr
x
r
+
c
r;r
+1
x
r
+1
+
:::
+
c
rn
x
n
=
q
r
0=
q
r
+1
::::::
0=
q
m
;
w kt
ó
rym liczby
c
ii
dla
i
=1
;
2
;:::;r
s¡ r
ó
»ne od zera, a kreski nad niewiadomymi
zaznaczaj¡ mo»liwo–¢ zmiany numeracji niewiadomych.
Powy»sze uk“ady r
ó
wna« maj¡ ten sam zbi
ó
r rozwi¡za«, tzn rozwi¡zanie jed-
nego uk“adu jest rozwi¡zaniem drugiego uk“adu (po uwzglƒdniemu ewentualnej
zmiany numeracji niewiadomych), a je–li jeden uk“ad jest sprzeczny, to i drugi
uk“ad jest sprzeczny.
Twierdzenie 5 Je–li
r<m
i w–r
ó
d liczb
q
r
+1
;:::;q
m
istnieje co najmniej
jedna liczba r
ó
»na od zera, to uk“ad jest sprzeczny.
Je–li
r<m
i
q
r
+1
=
:::
=
q
m
=0lub
r
=
m
, to uk“ad jest rozwi¡zalny.
Je–li uk“ad jest rozwi¡zalny i
r<m
, to zmienne dzielimy na dwie grupy
²
zmienne bazowe
x
1
;:::;x
r
;
²
parametry
x
r
+1
;:::;x
n¡r
.
Zmiennych bazowych jest
r
, a parametr
ó
w jest
n¡r
. Istnieje niesko«czenie
wiele rozwi¡za« zale»nych od
n¡r
parametr
ó
w.
Je–li uk“ad jest rozwi¡zalny i
r
=
n
, to uk“ad jest oznaczony.
5
Plik z chomika:
lukas-777
Inne pliki z tego folderu:
wyznaczniki.pdf
(90 KB)
wielomiany_zaoczne.pdf
(111 KB)
wartosc_wlasna.pdf
(92 KB)
uklady_rownan.pdf
(125 KB)
twierdzenie_Kroneckera_Cappellego.pdf
(75 KB)
Inne foldery tego chomika:
Przydatne
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin