Matematyka wykład doc. Andrzej Drozdowicz 17.11.2009r.
Wykład Matematyka doc. Andrzej Drozdowicz
Pochodne
Różniczkowalność funkcji
Niech y=f(x) będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu x0
* Mówimy, że f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taka stała A, że dla każdego przyrostu argumentu gdzie o jest wielkością nieskończenie małą
Np.
Wtedy wyrażenie * przyjmuje postać
we wzorze * oznaczamy wzorem i nazywamy różniczką funkcji f(x) w punkcie x0 odpowiadającą przyrostowi argumentu x
Często oznacza się również
Z przykładu powyższego wynika, że dla f(x)=x3 różniczka tej funkcji w punkcie x0 to
Natomiast w interpretacji geometrycznej:
· Funkcja y=f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0 tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie pochodną
· Jeżeli mamy do czynienia z funkcją większej ilości zmiennych np. 3 to mówimy wtedy o tzw różniczce zupełnej funkcji
Np. wtedy wzór na różniczkę zupełną ma postać
Różniczka funkcji znajduje zastosowanie w przypadku, gdy wielkości pochodzące z pomiarów nie są dokładne a podane są z pewnym błędem bezwzględnym wtedy błąd bezwzględny wielkości wyliczonej można wyznaczyć za pomocą różniczki zupełnej funkcji
Błąd bezwzględny
Błąd względny
Błąd względny %
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej
Jeżeli funkcja różniczkowalna y=f(x) ma funkcję odwrotną to pochodna tej funkcji to
Przykład: dana jest funkcja y=tgx funkcja do niej odwrotna to x=arctgy
Mając na uwadze fakt, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej wzory 1-17 przyjmują postać
Jest to metoda pochodnej logarytmicznej
Przykład:
MarekMaly