MES 02.pdf

(307 KB) Pobierz
Próba udarnoœci.
X. MES DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ TEORII
SPRĘŻYSTOŚCI
1. CELE ĆWICZENIA
1. Zapoznanie się z metodą elementów skończonych (MES) w aspekcie zastosowania do roz-
wiązywania dwuwymiarowych (płaskich) zagadnień teorii sprężystości, a w szczególności:
- wyprowadzenie podstawowych zależności metody elementów skończonych dla zagadnień
płaskich;
- budowa macierzy sztywności dla płaskich elementów trójkątnych i czworokątnych z li-
niowymi funkcjami kształtu.
2. Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych PRO-MES 4.0 i jego obsługą w
przypadku zagadnień płaskich (dwuwymiarowych).
3. Wyznaczenie rozkładu naprężeń i przemieszczeń w środniku czołownicy suwnicy lejniczej
o udźwigu Q = 150/30 t.
2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA
Analityczne wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w konstrukcjach, w których
występuje płaski stan odkształcenia lub naprężenia jest możliwe tylko w szczególnym przy-
padku, gdy rozpatruje się prostą geometrię (Tarcze prostokątne lub kołowe) przy nieskompli-
kowanych warunkach brzegowych (podparcia i obciążenia).
W ogólnym przypadku należy skorzystać z metod numerycznych, do których należy metoda
elementów skończonych. 1)
Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych dla zagadnień płaskich przedstawiono
poniżej.
1) Patrz Wprowadzenie do metod elementów skończonych do rozwiązywania układów prętowych.
- 1 -
 
3. PODSTAWY TEORETYCZNE
Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości związane być mogą z:
-płaskim stanem naprężenia;
lub:
-płaskim stanem odkształcenia.
W obu przypadkach pole przemieszczeń określone jest przez wektor przemieszczenia u = (u i )
, i = 1,2.
W płaskim stanie naprężenia tensor stanu naprężenia określany jest następująco:
[]
0
0
000
12
T
σ
=
21
22
,
()
tzn., że składowe
σσσ
13
23
33
0
.
W płaskim stanie odkształcenia tensor stanu odkształcenia ma postać:
[]
0
0
000
12
T
ε
=
21
22
,
()
gdzie
εεε
13
33 0
.
Płaski stan naprężenia występuje w cienkich tarczach obciążonych siłami leżącymi w płasz-
czyźnie środkowej tarczy (rys. 1).
Rys. 1 Tarcza w płaskim stanie naprężenia
- 2 -
σσ
σσ
11
===
εε
εε
11
===
23
308864022.004.png
Płaski stan odkształcenia występuje w ciałach o dużej szerokości obciążonych siłami równo-
miernie rozłożonymi wzdłuż powierzchni (rys. 2).
Rys. 2 Płaski stan odkształcenia w ciele sprężystym
Warto przypomnieć, że nie można utożsamiać płaskiego stanu naprężenia z płaskim stanem
odkształcenia, ponieważ temu ostatniemu towarzyszą naprężenia
σ 33
:
σ
= +− +≠
ν
E
ν εε
) (
)
0,
()
33
(
1
ν
)(
1 2
11
22
gdzie:
E - moduł Younga;
n - liczba Poissona.
Równania równowagi dla zagadnienia dwuwymiarowego teorii sprężystości mają postać:
∂σ
∂
11
+ +
∂σ
∂
12
Χ
(x) 0,
=
x
x
1
1
2
()
∂σ
∂
∂σ
∂
21
+ +
22
Χ
(x) 0,
=
x
x
2
1
2
dla x (x, x)
1
2
∈Ω
.,
gdzie:
x 1 i x 2 są składowymi sił objętościowych.
Równanie (4) w zapisie macierzowym przyjmuje postać:
- 3 -
=
308864022.005.png 308864022.006.png 308864022.001.png
[ {}{}
T
*
σ +=
X 0,
()
gdzie:
σσσσ
=
[
,
,
, ,
]
T
()
11
22
12
{}
[ ]
T
XX, X
=
, ()
1
2
∂
∂
x
0
∂
∂
x
[ ]
T
*
=
1
2
.
()
∂
∂
∂
∂
0
x x
2
1
między odkształceniami e ij i przemieszczeniami u i można przedstawić następująco:
ε
=
∂
∂
u
x
1
;
ε
=
∂
∂
u
x
2
;
εε ∂
∂
= = +
u
x
1
∂
∂
u
x
2
; (6)
11
22
12
21
1
2
2
1
lub w zapisie macierzowym:
{} [{}
ε =
Tu; ()
gdzie:
{}
[
]
T
ε ε ε ε
=
,
, 2 ; ()
11
22
12
{}
[ ]
T
uu, u,
=
()
1
2
∂
∂
x
0
1
∂
∂
[]
T
=
0
x
.
()
2
∂
∂
∂
∂
x
2
x
1
Warto zwrócić uwagę, że między macierzami T i T *
istnieje następująca zależność:
T *
=
T
. ()
Związki konstytutywne można przedstawić w postaci macierzowej:
{}[]{}
σ
=
c; ()
ε
cc 0
cc 0
00c
11
12
gdzie:
[]
c
=
21
22
. ()
33
- 4 -
{}
308864022.002.png
Stałe c ij zależą od tego, czy mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia, czy też płaskim
stanem odkształcenia.
Dla płaskiego stanu naprężenia stałe c ij mają następującą postać:
cc
== −
E
;
11
22
1
ν
2
cc
== −
ν
E
;
()
12
21
1
ν
2
c
33
=
E
21
(
+
ν
2
)
.
W przypadku płaskiego stanu odkształcenia stałe c ij przyjmują wartości:
cc
== −
−−
E1
ν
νν
ν
νν
)
;
11
22
1
2
2
cc
== −−
E
;
()
12
21
1
2
c
33
=
E
21
(
+
ν
)
.
Wstawiając (9) i (7) do (5) otrzymujemy równania równowagi wyrażone w przemieszcze-
niach:
∂
∂
u
x
∂
∂∂
u
xx
2
∂
∂
2
u
x
∂
∂∂
u
xx
2
+=
c
1
+
c
2
+
c
1
+
2
Χ
0;
11
2
12
33
2
1
1
12
2
12
(12)
∂
∂∂
u
xx
2
∂
∂
u
x
∂
∂∂
u
xx
2
∂
∂
u
x
c
1
+
2
+c
1
+
c
2
+
Χ
=
0.
33
2
12
22
2
2
12
1
12
2
Równania (12) należy uzupełnić jeszcze o warunki brzegowe, które w przypadku ogólnym
mają postać warunków brzegowych mieszanych:
- dla przemieszczeń:
^
^
uu, u u a;
=
=
Γ
()
1
1
2
2
1
- dla sił powierzchniowych:
^
p
= + =
σσ
n
n p ;
1
11 1
12 2
1
na
Γ
; ()
^
2
p
= +
σσ
n
n p .
=
2
21 1
22 2
2
gdzie:
Γ Γ Γ Γ Γ
1
=
,
1
2 0
=
, n i są składowymi wektora normalnego
^
n do brzegu
Γ
.
- 5 -
(
2
2
2
2
308864022.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin