Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń o wzajemności prac i przemieszczeń.pdf

V. DOŚWIADCZALNE SPRAWDZENIE TWIERDZEŃ O

WZAJEMNOŚCI PRAC I PRZEMIESZCZEŃ

1. CELE ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest:

1) doświadczalne wyznaczenie macierzy podatności,

2) doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Bettiego o wzajemności prac,

3) doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Maxwella o wzajemności pomieszczeń.

Weryfikację przeprowadzić dla ramy płaskiej.

2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA

Układy liniwo - sprężyste stanowią idealizację sił rzeczywistych, jednak w wielu prak-

tycznych przypadkach takie przybliżenie daje wystarczająco dokładne rezultaty. Większość

materiałów konstrukcyjnych (stal i większość metali, niektóre tworzywa) w zakresie obciążeń

eksploatacyjnych zachowuje się jak ciało liniowo - sprężyste i może być modelowane ukła-

dem Clapeyrona. Liniowa zależność przemieszczeń od obciążeń {u} = {D}{P} pozwala

sformułować i udowodnić wiele twierdzeń i zasad, które wykorzystuje się do rozwiązywania

licznych zagadnień teorii sprężystości. Zasada wzajemności prac Bettiego i zasada wzajemno-

ści przemieszczeń Maxwella należą do podstawowych twierdzeń teorii sprężystości. Z zasady

wzajemności prac korzysta się przy wyprowadzeniach wielu skomplikowanych twierdzeń nie

tylko w teorii sprężystości. Doświadczalne sprawdzenie tej zasady można zrealizować w pro-

sty sposób przy jednoczesnej obserwacji podstawowych zależności występujących w układach

liniowo - sprężystych.

- 1 -

3. PODSTAWY TEORETYCZNE

3.1. Układy liniowo - sprężyste

Układ nazywamy układem liniowo - sprężystym (układem Clapeyrona) jeżeli

przemieszczenie D dowolnego punktu układu wywołane zrównoważonym działaniem sił

zewnętrznych P 1 , P 2 , ...., P n można wyrazić jako liniową funkcję tych sił

D = d 1 P 1 + d 2 P 2 + ... + d n P n ,

(4.1)

gdzie: d 1 , d 2 , ..., d n - liczby wpływowe przemieszczeń sprężystych.

Liczby wpływowe określają wpływ jaki wywiera odpowiednia siła na przemieszczenie

sprężyste D. Wartości ich są zależne od kształtu i rozmiarów układu, od miejsca działania sił, od

własności sprężystych materiału, a nie zależą od wartości sił.

Rys. 3.1

Rys. 3.2

Mówiąc o sile, wprowadzimy tutaj termin „ siła uogólniona ” - siła rozłożona

powierzchniowo, lub liniowo w sposób ciągły, lub para sił określana jako moment.

Jeżeli punkt A (rys. 3.1) przyłożenia siły P przesunął się w nowe położenie A’ , to do obli-

czenia pracy tej siły należy jej wartość pomnożyć przez u , rzut całkowitego przemieszczenia na

kierunek działania siły. Rzut ten nazywa się przemieszczeniem odpowiadającym sile skupionej

P .

Jeżeli siłą uogólnioną jest para sił o momencie M , to uogólnionym odpowiadającym

przemieszczeniem jest obrót o kąt

względem osi o kierunku wektora momentu (rys. 3.2).

- 2 -

Układ rzeczywisty można

uważać za liniowo - sprężysty, je-

żeli spełnione są następujące wa-

runki:

a - materiał jest liniowo - spręży-

sty,

b - układ jest w równowadze,

c - brak tarcia na powierzchniach

styku wzajemnie ruchomych czę-

ści układu,

d - przemieszczenia są na tyle

małe, że nie wpływają w sposób

istotny na skutki działania sił.

Rys. 3.3

Najczęściej interesują nas

przemieszczenia odpowiadające

określonym siłom (rys. 3.3).

Przemieszczenie u i dowolnego punktu możemy wyrazić w następujący sposób

1 11 1 122 1

= + ++ ++

δ δ

PP P P

……

= + ++ ++

δ δ

……

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.2)

=+++++

δ δ

PP P P

……

ik k

in n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= + ++ ++

δ δ

11 22

……

nk k

nn n

ogólnie

u =

ik k

1(4.3)

k=1

lub stosując zapis skrócony u

= δ

ik k

W tym przypadku pierwszy indeks przy liczbie wpływowej odnosi się do

przemieszczenia, drugi zaś do siły powodującej to przemieszczenie.

Liczby wpływowe można uważać za przemieszczenie wywołane odpowiednimi siłami o

wartości jeden, czyli za przemieszczenie jednostkowe:

- 3 -

211 22 2

11 22

δ =

uogólnione przemieszczenie

uogólniona siła

Pisząc zależności (4.2) dla wszystkich wybranych przemieszczeń otrzymamy układ rów-

nań, który może być przedstawiony w postaci macierzowej

U = DP,

(4.4)

gdzie: U = {u i } - macierz jednokolumnowa przemieszczeń,

P = {P k } - macierz jednokolumnowa sił,

D = {

ik } - macierz podatności układu.

Liniową zależność między obciążeniem, a przemieszczeniem można ująć inaczej, jeżeli

za zmienne niezależne przyjmiemy przemieszczenia

P =

2(4.5)

k=1

Zależność między siłami i przemieszczeniami zapisana w postaci macierzowej ma formę

P = AU,

(4.6)

gdzie: A = {a ik } = D -1 - macierz sztywności układu.

Przemieszczenia i odkształcenia układu liniowo - sprężystego podlegają prawu

superpozycji. Skutki działania kilku sił równe są sumie każdej z sił osobno działających.

Końcowy efekt jest niezależny od kolejności obciążania.

3.2. Energia sprężysta układu Clapeyrona

Dla ciała sprężystego, pozostającego pod działaniem sił zewnętrznych energia sprężysta

jest równa pracy tych sił. W celu obliczenia pracy należy założyć, że praca obciążenia odbywa

się quasi - statycznie.

Praca wszystkich sił obciążających wynosi

L = 1

Pu.

i i

3(4.7)

i=1

Energia sprężysta układu liniowo - sprężystego będącego w równowadze jest równa

połowie sumy iloczynów sił zewnętrznych i odpowiadających im przemieszczeń.

W celu wyrażenia energii sprężystej przez siły korzystamy z zależności (4.3). Wówczas

V = L = 1

PP.

(4.8)

i=1

k=1

- 4 -

Energia sprężysta może być wyrażona jako jednorodna kwadratowa funkcja obciążeń.

Dla wyrażenia energii sprężystej przez przemieszczenia korzystamy z zależności (4.5).

Wówczas

V = L = 1

auu.

ik ki

(4.9)

i=1

k=1

Energia sprężysta jest jednorodną kwadratową funkcją przemieszczeń. Ponieważ energia

sprężysta jest kwadratową funkcją obciążeń to w zasadzie można stosować zasady superpozycji

przy obliczaniu energii.

3.3. Twierdzenia o wzajemności prac i przemieszczeń

Stosując konwersję sumacyjną Eisteina przy zapisie wskaźnikowym pomija się znak

sumy. Obowiązuje sumowanie poty samych wskaźnikach.

Zakładamy, że na układ liniowo - sprężysty działają siły P j (rys. 3.4).

Układ obciążamy dodatkowo siłami

P i . Siły te wykonują pracę 1

i ii 6

na odpowiadających im przemiesz-

czeniach u ii wywołanych układem

P i . Równocześnie siły P j wykonują

pracę j ji

Pu 7 na odpowiadających

im przemieszczeniach u ji wywoła-

nych układem P i .

Następnie obciążamy układ siłami

P k

Wykonują one pracę 1

2 Pu

k kk 8 na

odpowiadających im przemieszcze-

Rys. 3.4

niach u kk .

Równocześnie siły P j i P i wykonują

pracę ( Pu

j jk

oraz

Pu )

9 na odpowiadających im przemieszczeniach u jk i u ik , lecz wywoła-

nych siłami P k .Suma prac sił zewnętrznych wyrażająca przyrost energii sprężystej wynosi:

- 5 -

i ik

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: