LOGIKA WYKŁADY 2.pdf

Konspekt do wykładu z „Logiki I”

(22.02.2007)

SPRZECZNOŚĆ

Przypomnienie:

Wypowiedź nielogiczna to taka, w której występuje co najmniej jeden błąd

( amfibologia, ekwiwokacja, sprzeczność)- niespójność ( inconsistency)

Ujęcie sprzeczności odnosiliśmy do wypowiedzi- wypowiedzią jest ciąg zdań bądź

równoważników zdań

Dopuszczaliśmy ciągi jednoelementowe. Jednozdaniowa wypowiedz jest sprzeczna gdy nie

jest możliwe aby to właśnie zdanie było prawdziwe. O takim zdaniu mówimy że jest

sprzeczne.

Zdanie nieprawdziwe

Zdanie sprzeczne

Będziemy rozpatrywać wypowiedzi co najmniej dwuzdaniowe , składające się ze zdań

niesprzecznych. Jeśli w danej wypowiedzi będzie choć jedno zdanie sprzeczne to całą

wypowiedź uznamy za sprzeczną. W wypowiedzi wielozdaniowej, złożonej z wypowiedzi

niesprzecznych, poszczególne zdania przekazują pewne informacje, jednakże w takiej

wypowiedzi mogą pojawić się niejawne wypowiedzi.

Przykład I

(1) (2)

a) Anna ukończyła studia. Anna wróciła do rodzinnego miasta.

(2) (1)

b) Anna wróciła do rodzinnego miasta. Anna ukończyła studia.

Obie wypowiedzi, choć są złożone z tych samych zdań, przekazują inne dodatkowe

informacje. I tak kolejno:

a) Anna najpierw ukończyła studia a następnie wróciła do rodzinnego miasta (czyli Anna

odbyła studia poza rodzinnym miastem)

b) Anna najpierw wróciła do rodzinnego miasta a następnie ukończyła studia (Anna

odbyła studia w rodzinnym mieście)

Przykład II

(1) (2)

a)Uciekł. Zabili go.

(2) (1)

b)Zabili go. Uciekł.

a) Informuje , że najpierw ktoś uciekł a następnie go zabito.

b) Przekazuje informację, że najpierw zabito kogoś a następnie ten ktoś uciekł.

W języku potocznym kolejność zdań składowych wypowiedzi może wpływać na

powstawanie dodatkowych informacji.

Przykład III

a) Pobrali się. Mieli dzieci. Żyli długo i szczęśliwie.

b) Żyli długo i szczęśliwie. Mieli dzieci. Pobrali się.

Wypowiedz uznajemy za prawdziwą, gdy wszystkie informacje jawne i niejawne z niej

wypływające są prawdziwe.

W ten sposób możemy wprowadzić pojęcie sprzecznej wypowiedzi.

Innymi słowy-nie jest możliwe aby wszystkie zawarte w niej składniki oraz ewentualnie

wszystkie informacje niejawne były prawdziwe.

wypowiedź nieprawdziwa

wypowiedź sprzeczna

mamy zatem przymiotnik ’sprzeczny’ stosowany zarówno do zdań jak i wypowiedzi. W

podanych przykładach wypowiedź z przykładu II ( Zabili go. Uciekł) była sprzeczna.

Pozostałe sprzeczne nie są. Żadne z występujących zdań w wypowiedzi nie było

sprzeczne. Nie możemy powiedzieć że zdania z przykładu II sa sprzeczne choć ta

wypowiedź ( złożona z nich) jest sprzeczna.

Zwróćmy uwagę że wypowiedzi z przykładu I są w pewnym sensie wzajemnie sprzeczne-

mianowicie wypływające z nich implicite informacje wykluczają się wzajemnie. Nie

chcemy jednak mówić że wypowiedzi te są sprzeczne gdyż żadna z nich nie jest

sprzeczna. Musimy zatem sformułować pojęcie wypowiedzi wzajemnie sprzecznej. Nie

da się tego zrobić z pomocą pojęcia wypowiedzi gdyż połączenie wypowiedzi a i b nie

daje żadnej wypowiedzi.

Łączenie wypowiedzi w jedną wypowiedź nie ma sensu, gdyż mogą to być wypowiedzi

zupełnie różnych osób albo wypowiedź tej samej osoby w różnym czasie. Logika

podchodzi do tego zagadnienia zupełnie abstrakcyjnie- przestają interesować nas

wypowiedzi a zajmujemy się zbiorami zdań. Tworząc dla danej wypowiedzi odpowiedni

zbiór zdań musimy brać pod uwagę nie tylko zdania jawne lecz również zdania niejawne.

Oczywiście sama kwestia przenoszenia danej wypowiedzi na zbiór zdań jest w sferze

praktyki. Logika zajmuje się tylko zbiorem zdań, zatem:

wypowiedź (a) { (1),(2),(3),(4)}

(b)

Uwaga:

Zapisując nazwę danego zbioru nie jest istotna kolejność nazw jego elementów:

{1,2,3}={3,2,1}={2,1,3}

{1,1,2}={1,2}={2,2,1}

Dany zbiór zdań jest sprzeczny gdy nie jest możliwe aby wszystkie zdania w tym zbiorze były

jednocześnie prawdziwe.

Czy sprzeczny jest zatem zbiór:

{Zabili go. Uciekł.}={Uciekł. Zabili go}

Zbiór nie jest sprzeczny gdyż jest możliwe że oba zdania składowe są prawdziwe.

{ (1),(2),(3’),(4’)}

Stosując do wypowiedzi teorię odnoszącą się do zbiorów musimy zadbać aby zbiory jak

najściślej (dokładniej) reprezentowały wypowiedzi.

Mając pojęcie zbioru sprzecznego możemy wyprowadzić różne pojęcia pochodne.

Wypowiedź jest sprzeczna gdy reprezentujący ją zbiór zdań jest sprzeczny.

Dwa zbiory są wzajemnie sprzeczne gdy ich suma jest zbiorem sprzecznym.

Formalnie: zbiory X i Y są wzajemnie sprzeczne gdy zbiór X+Y jest sprzeczny

III

Dwie wypowiedzi są wzajemnie sprzeczne gdy reprezentujące je zbiory są wzajemnie

sprzeczne.

Np. (a) { (1),(2),(3),(4)}

(b)

{ (1),(2),(3),(4), (1),(2),(3’),(4’)}= { (1),(2),(3),(4),(3’),(4’)}

Ten sześcioelementowy zbiór jest sprzeczny gdyż ma dwa podzbiory sprzeczne.

Dwa zdania są wzajemnie sprzeczne gdy tworzą dwuelementowy zbiór sprzeczny:

Zbiór {Z 1 , Z 2 } jest sprzeczny

Zdanie ‘Z’ jest sprzeczne gdy zbiór {Z}jest sprzeczny

Wszystkie użyteczne pojęcia sprowadziliśmy do pojęcia zbioru sprzecznego.

{(1),(2),(3’),(4’)}

Konspekt do wykładu z „Logiki I”

(1.03.2007)

Wzajemna sprzeczność dwóch zdań ( z wykładu poprzedniego)

Definicja I:

Zdania Z 1 i Z 2 są wzajemnie sprzeczne wtw zbiór {Z 1 i Z 2 } jest sprzeczny.

Moglibyśmy wzmocnić te definicję przybliżając ja do tego, jak ja się stosuje ‘w życiu’

Definicja II:

Zdania Z 1 i Z 2 są wzajemnie sprzeczne wtw zbiór {Z 1 i Z 2 } jest sprzeczny lecz żadne ze zdań Z 1 i

Z 2 nie jest sprzeczne.

W definicji I nie wykluczaliśmy że pojedyncze zdanie może być sprzeczne.

Jeżeli jedno zdanie w zbiorze jest sprzeczne to cały zbiór jest sprzeczny.

Różnice zilustrujemy przykładem:

Zdanie I : A.P jest prezydentem U.S.A (zdanie sprzeczne)

Zdanie II : A.P mieszka w Toruniu ( zdanie prawdziwe-niesprzeczne)

Zbiór {I i II} jest sprzeczny (nie jest możliwe aby oba zdania z tym zbiorze były prawdziwe)

Według definicji I zdania (I) i (II) są wzajemnie sprzeczne

Według definicji II tak nie jest gdyż już jedno (I) zdanie jest sprzeczne

Definicja II jest bliższa zastosowaniu gdyż wyklucza skrajne przypadki, gdy jedno bądź dwa

zdania są sprzeczne.

Zauważmy że pary zdań wzajemnie sprzecznych według definicji I są również sprzeczne według

definicji I

II definicja jest jednak niestandardowa- można zatem przyjąć I definicję i nie stosować jej na

skrajne przypadki. Robimy tak dlatego, gdyż chcemy uogólnić te definicję na dowolną, skończoną

liczbę zdań.

Np. Trzy zdania Z 1 ,Z 2 ,Z 3 są wzajemnie sprzeczne wtw {Z 1 ,Z 2 ,Z 3 } jest sprzeczny.

Po innowacji musielibyśmy podać definicję:

Trzy zdania Z 1 ,Z 2 ,Z 3 są wzajemnie sprzeczne wtw {Z 1 ,Z 2 ,Z 3 } jest sprzeczny lecz żaden jego

niepusty podzbiór właściwy nie jest sprzeczny.

Przykład 3 zdań wzajemnie sprzecznych według II definicji;

a) Jan jest ojcem Piotra

b) Piotr jest ojcem Pawła

c) Paweł jest ojcem Jana

Uogólnienie:

Dla dowolnej naturalnej liczby n≥2 zdania Z1,…Zn są wzajemnie sprzeczne wtw zbiór

{ Z1,…Zn} jest sprzeczny.

Zdania Z1,…Zn są wzajemnie sprzeczne wtw zbiór { Z1,…Zn} jest sprzeczny lecz żaden jego

podzbiór właściwy nie jest sprzeczny

1) n1<n2

2) n2<n3

99) n99<n100

100) n100<n1 -sprzeczność

Wprowadźmy pojęcie dopełnienia się zbiorów-mówimy że zdania w zbiorze { Z1,…Zn}dopełniają

się wtw nie jest możliwe aby wszystkie jednocześnie nie były prawdziwe; innymi słowy musi być

tak że choć jedno zdanie w zbiorze jest prawdziwe.

Przykład

a) Jakaś kobieta jest matką Nie jest możliwe aby 3 podane zdania

b) Jakaś kobieta nie jest matką były jednocześnie nieprawdziwe

c) Nie istnieje żadna kobieta

Zdanie (c) uzasadnienie:

Rozpatrzmy następujące przypadki

1. (c) jest prawdziwe

2. ( c) jest fałszywe wówczas istnieje co najmniej jedna kobieta zatem:

I. albo jest ona matką (a)

II. albo nie jest matką (b)

Zatem prawdziwe jest albo zdanie (a) albo zdanie (b)

Wykazaliśmy że nie jest możliwe aby wszystkie zdania były fałszywe-co najmniej jedno musi być

prawdziwe.

Ogólnie:

a) Jakieś S jest M-em Powtarzamy poprzedni dowód zamieniając ‘kobieta’ na literę

b) Jakieś S nie jest M-em ‘S’ i słowo ‘matka’ na literę ‘M’

c) Nie istnieje żaden S

Można to również przedstawić graficznie

1. 2. 3.

S-y

M-y

S-y

M-y

S-y

M-y

4. 5. 6.

M-y

S-y

M-y

S-y

W każdym możliwym przypadku co najmniej jedno zdanie jest prawdziwe

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: