fizyka3zr.pdf

R o z d z i a ł 3

DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

3.1. Pierwsza zasada dynamiki

Opisując w rozdziale 2 różne rodzaje ruchu z punktu widzenia kinematyki

podawaliśmy ich formalną charakterystykę. W dynamice interesują nas warunki, w jakich

poszczególne ruchy powstają, a przede wszystkim przyczyny ich powstawania.

Rozpoczniemy od rozważań dynamicznych związanych z ruchem postępowym brył, które

będziemy traktowali jako punkty materialne.

Ustalenie zasad dynamiki było równoznaczne z obaleniem fałszywych poglądów

panujących od czasów starożytnych a dotyczących przyczyn powstawania różnych rodzajów

ruchu. Do obalenia tych poglądów przyczyniło się wprowadzenie do nauki przez Galileusza w

XVI wieku metody doświadczalnej. Badania zapoczątkowane przez Galileusza podjęte

zostały następnie przez Newtona, któremu zawdzięczamy ustalenie podstaw dynamiki.

Zasady dynamiki podane zostały przez Newtona jako tzw. prawa ruchu.

Pierwsza zasada dynamiki głosi, że ciało nie poddane działaniu żadnej siły albo poddane

działaniu sił równoważących się pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym

prostoliniowym.

Słuszność pierwszej części tej zasady, odnosząca się do przypadku, gdy na ciało nie

działa żadna siła, nie może być na Ziemi doświadczalnie sprawdzona, nie możemy bowiem

stworzyć na Ziemi takich warunków, aby ciało było wolne od działania sił. Druga część

nadaje się do doświadczalnego sprawdzenia. Po dokładnym zrównoważeniu sił oporu przez

siłę ciągnącą ciało, ciało to mające pewną prędkość υ G , zachowa tę prędkość niezmienną

zarówno co do wartości, jak i co do kierunku, tzn. poruszać się będzie ruchem jednostajnie

prostoliniowym.

Pierwsza zasada dynamiki nosi nazwę zasady bezwładności. Przez bezwładność

rozumiemy właściwość ciała decydującą o tym, że ciało bez działania sił nie może zmienić

ani wartości, ani kierunku swej prędkości. Czyli bez działania sił pozostaje w takim stanie jak

było wcześniej: spoczywa jeśli spoczywało, lub porusza się ruchem jednostajnym jeśli było w

jakimkolwiek ruchu.

3.2. Druga zasada dynamiki.

Pośrednim wnioskiem z pierwszej zasady jest, że wszelkie zmiany prędkości mogą

zachodzić jedynie pod działaniem sił. Musi więc istnieć związek między siłą a zmianami

prędkości. Ta zależność jest treścią drugiej zasady dynamiki.

Druga zasada dynamiki głosi, że: przyspieszenie ciała a G jest wprost proporcjonalne do siły

F G , która to przyśpieszenie wywołuje:

G =

(3.1)

gdzie: współczynnikiem proporcjonalności jest masa ciała m, na którą działa siła F G .

Równanie (3.1) jest równaniem wektorowym: wektor przyspieszenia ma kierunek i

zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem działającej siły. Masa m ciała jest miarą jego

bezwładności.

Określenie jednostki siły w układzie SI wynika z równania (3.1). Jednostką siły w

układzie SI jest taka siła, która działając na ciało o masie m=1 kg nadaje mu przyspieszenie

równe a=1 m/s 2 . Siłę tę nazwano niutonem [N].

⋅ =

Wracając do (3.1) trzeba podkreślić, że o proporcjonalności siły do przyspieszenia

mówimy w przypadku oddziaływania różnych sił na tę samą masę m (m=const). Jeżeli

natomiast tą samą siłą F (F=const) działać będziemy kolejno na ciała o różnych masach

m 1 ,m 2 ..., to obowiązywać będą zależności

...,

skąd

1 =

A zatem przyspieszenia uzyskane przez różne ciała pod działaniem tej samej siły są

odwrotnie proporcjonalne do mas tych ciał.

Wyrażenie

G = jest również słuszne, gdy ciało o masie m poddane jest

jednoczesnemu działaniu kilku sił:

F G

itd. W tym przypadku F G jest sumą geometryczną

(wypadkową) wszystkich sił działających, a a G jest przyspieszeniem ciała.

Z wyrażeniem (3.1) wiąże się ściśle tzw. dynamiczny pomiar siły. Wystarczy znać

masę ciała i wyznaczyć uzyskane przez nią przyspieszenie, aby móc obliczyć wartość

działającej siły.

3.3. Ogólne ujęcie drugiej zasady dynamiki

Do wyrażenia (3.1) podstawiamy znane z rozdziału 2 wyrażenie:

−

i otrzymujemy

( )

−

Iloczyn siły i czasu jej działania nazywamy popędem siły. Jest to wektor o kierunku

zgodnym z kierunkiem wektora F G .

Iloczyn masy i prędkości nosi nazwę pędu. Jest to również wektor. Kierunek wektora

pędu p G jest zgodny z kierunkiem prędkości υ G . Równanie ostatnie wyraża, że wektor popędu

siły jest równy wektorowemu przyrostowi pędu wywołanemu przez tę siły.

( ) p

−

∆

(3.2)

czyli

∆

Jeżeli w czasie t 2 -t 1 wektor siły ulega zmianie, to otrzymane wyrażenie przedstawia

siłę średnią w czasie ∆t. Zakładając, że czas ∆t zmierza do zera, znajdujemy siłę chwilową w

chwili t jako pochodną pędu względem czasu:

( )

(3.3)

Równanie (3.3) wyrażające siłę jako pochodną pędu względem czasu jest ogólniejsze

od równania (3.1), to ostatnie bowiem jest słuszne jedynie wtedy, gdy ciała poruszają się z

prędkościami małymi w porównaniu z prędkością światła. Gdy prędkość ciała jest

porównywalna z prędkością światła, należy uwzględniać zmienność masy podczas ruchu co

opisuje szczególna teoria względności. Zmienność masy wynikająca z ruchu ciała jest

określona równaniem Einsteina:

(3.4)

−

gdzie m oznacza masę ciała będącego w ruchu, m 0 – masę tegoż ciała w spoczynku, c –

prędkość światła w próżni (ok. 3000 000 km/s).

Ze wzoru wynika, że nawet wtedy, gdy prędkość ciała równa się 30 000 km/s, zmiana

masy jest niewielka, mniejsza od 1%. Gdy prędkości zbliżają się do prędkości świata (co

może występować np. w przypadku mikrocząsteczek), masa coraz szybciej rośnie. W tych

warunkach zamiast mechaniki niutonowskiej należy stosować mechanikę relatywistyczną.

3.4. Trzecia zasada dynamiki.

Trzecia zasada dynamiki, zwana również zasadą akcji i reakcji, dotyczy wzajemnego

oddziaływania dwóch ciał (względnie układów ciał).

Trzecia zasada dynamiki głosi, że jeżeli ciało A działa na ciało B siłą AB

F G

, to ciało

B działa na ciało A siłą

równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną:

−=

(3.5)

Obie siły występują równocześnie, toteż nie można powiedzieć, która z nich jest siłą

akcji, a która siłą reakcji, co widać wyraźnie np. w przyciągania grawitacyjnego dwóch ciał.

Czasem jednak umownie odróżnia się siłę pierwotną – siłę akcji i siłę wtórną – siłę reakcji,

np. w przypadku ciała spoczywającego na podstawie. Nacisk na podstawę traktuje się jako

siłę akcji, a oddziaływanie podstawy na ciało jako siłę reakcji. Zestawienie tych sił w

przypadku równi pochyłej przedstawia rys.3.1. Siłę ciężkości ciała P G rozkładamy na dwie

składowe: składową styczną

F G i składową normalną

F G . Ta ostatnia jest właśnie siłą

F G . Druga składowa siły ciężkości, a

mianowicie F G , jest siłą wprawiającą ciało w ruch po równi. Chcąc utrzymać to ciało w

spoczynku, należy tę składową zrównoważyć dodatkową siłą, również styczną do równi,

równą co do wartości

F G , lecz przeciwnie skierowaną.

F G

naciskającą ciała na równię. Odpowiada jej siła reakcji

Rys.3.1. Ciało A naciska na równię siłą akcji

F G , a równia pochyła oddziaływuje

na to ciało siłą reakcji

F G .

3.5. Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu.

Zajmiemy się siłami występującymi podczas ruchu po okręgu.

3.5.1. Siła dośrodkowa.

Rozważmy ruch jednostajny po okręgu z punktu widzenia dynamiki. Zgodnie z I

zasadą dynamiki tylko ruch jednostajny prostoliniowy może istnieć bez działania sił. Ruch

jednostajny po okręgu wymaga już istnienia siły. Według II zasady dynamiki wartość

liczbowa tej siły wyraża się zależnością

F= a.

(3.6)

A pamiętamy (z rozdziału 2), że przyspieszenie a w ruchu jednostajnym po okręgu możemy

zapisać

(3.7)

Uwzględniając wyrażenie (3.6) i (3.7) otrzymujemy

lub

(3.8)

Kierunek tej siły jest zgodny z kierunkiem przyspieszenia a, tak więc siła ta działa wzdłuż

promienia r do środka koła. Stąd pochodzi nazwa siły dośrodkowej.

Wstawiając w (3.8) zamiast ω wartość 2π/T otrzymujemy jeszcze inną postać

wyrażenia siły dośrodkowej:

(3.9)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: