24. Drgania elektromagnetyczne.pdf

(265 KB) Pobierz
Wyk³ad 24.
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 24
24. Drgania elektromagnetyczne
24.1 Wstęp
Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
x
M −
d
2
=
kx
d
t
2
Rozwiązania
x = A cosω t
v = d x /d t = A ωsinω t
a = d 2 x /d t 2 = – A ω 2 cosω t
przy warunku ω = ( k / M ) 1/2 .
24.2 Obwód LC
Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności
C . Opór omowy jest równy zeru ( R = 0). Załóżmy, że w chwili początkowej na
kondensatorze C jest nagromadzony ładunek q m , a prąd przez cewkę jest równy zeru.
Energia zawarta w kondensatorze
W C = q m 2 /(2 C )
(24.1)
jest maksymalna, a energia w cewce
W L = LI 2 /2
(24.2)
jest równa zeru.
Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie
prąd I = d q /d t . W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta
w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia
się w cewce w miarę narastania w niej prądu.
Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola
magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd
ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do
kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko kondensator jest
naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami
ładunku (prądu).
24-1
4224849.007.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Opis ilościowy
Z prawa Kirchoffa
U L + U C = 0
L
d
I
+
q
=
0
(24.3)
d
t
C
Ponieważ I = d q /d t więc
q
L −
d
2
q
=
(24.4)
d
t
2
C
To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym
następujące wielkości są analogiczne
q ↔ x , L ↔ M , 1/ C ↔ k
Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania
q = q m cosω t
I = d q /d t = q m ωsinω t = I m sinω t
ω = (1/ LC ) 1/2
(24.5)
gdzie I m = q m ω
U L = - L d I /d t = – LI m ωcosω t
U C = q / c = ( q m / C )cosω t
Ponieważ
LI m ω = Lq m ω 2 = Lq m (1/ LC ) = q m / C
widać, że amplitudy napięć są takie same .
24.3 Obwód szeregowy RLC
Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C .
Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R , przykładowo jest to opór drutu z którego
nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci
wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania
tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w wykładzie 12, przy
czym współczynnik tłumienia 1/2τ jest równy R/ 2 L .
Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać
napięciem sinusoidalnie zmiennym
U
(
t
)
=
U
0
sin
ω
t
24-2
4224849.008.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R , L , C oraz źródło SEM ma
postać
L
d
I
+
RI
+
q
=
U
sin
ω
t
(24.6)
d
t
C
0
różniczkując po dt
d
2
I
d
I
I
L
+
R
+
=
ω cos
U
ω
t
(24.7)
d
t
2
d
t
C
0
albo
d
2
I
R
d
I
I
ω
U
+
+
=
0
cos
ω
t
(24.8)
d
t
2
L
d
t
LC
L
To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R / L ↔
1/τ, 1/ LC ↔ ω 0 2 oraz ω U 0 / L ↔ α 0 .
Rozwiązanie ma więc analogiczną postać
I
=
I
0
sin(
ω −
t
ϕ
)
.
Amplituda wynosi więc
I
=
V
0
(24.9)
0
2
1
R
2
+
ω
L
−
ω
C
a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem
ω
L
−
1
ω
C
tg
ϕ
=
(24.10)
R
Wyrażenie (24.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy
U 0 i I 0
1
2
Z
=
R
2
+
ω
L
−
(24.11)
ω
C
pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją
( zawadą ) obwodu.
Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy do kondensatora to
U
=
q
C
Stąd
d
U =
d
I
t
C
24-3
4224849.009.png 4224849.010.png 4224849.001.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
co dla U=U 0 sinω t daje
ω cos
0
ω
t
=
I
C
Stąd
I
=
ω
CU
cos
ω
t
=
ω
CU
sin(
ω
t
+
90
o
)
0
0
Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 90°.
Maksymalny prąd I 0 = U 0 /(ω C ) a stała proporcjonalności 1/ω C pełniąca rolę
analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową .
X C = 1/ω C
(24.12)
Jeżeli generator prądu zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie
można pokazać, że
I
=
−
U
0
cos
ω
t
=
U
0
sin(
ω
t
−
90
o
)
ω
L
ω
L
Prąd pozostaje za napięciem o 90°, a reaktancja indukcyjna ma wartość
X L = ω L
(24.12)
Zauważmy, że w obwodzie RLC , pomimo połączenia szeregowego oporów omowego,
pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych
oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych .
Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć.
U = U R + U C + U L
czyli
U = I 0 R sinω t - X C I 0 cosω t + X L I 0 cosω t
(na kondensatorze U pozostaje za I , na cewce U wyprzedza I )
Stąd
U
0
=
R
sin
ω
t
+
(
X
−
X
)
cos
ω
t
I
L
C
0
Mamy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku.
Możemy przy tym skorzystać z wyrażenia (24.10) według, którego tgϕ = ( X L - X C )/ R
.Relacja ta jest pokazana na rysunku poniżej
Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie
Z = ( R 2 + ( X L - X C ) 2 ) 1/2 .
24-4
U
4224849.002.png 4224849.003.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Z
(X L - X C )
ϕ
R
24.3.1 Rezonans
Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania
ω. Amplituda tych drgań zależy od ω i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej
wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem . Dla
małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy
ω
= ω
0 =
1
(24.13)
LC
Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą
I
0 =
U
0
(24.14)
R
Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani
pojemności ani indukcyjności, a zawada wynosiła R .
Przykład
Drgania wymuszone w obwodzie można także wywołać bez włączania bezpośredniego
źródła SEM w postaci generatora. Przykładem może być układ RLC w obwodzie
wejściowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poniżej. Układ ten jest
zasilany sygnałem z anteny.
W układzie dostrojenie do częstotliwości danej radiostacji jest osiągane przez dobranie
pojemności. W ten sposób jest spełniony warunek rezonansu dla tej częstotliwości.
24-5
4224849.004.png 4224849.005.png 4224849.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin