Temat:

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego.    

Wstęp:

Bryła sztywna obracalna około stałej osi obrotu i poddana momentowi sił M1, proporcjonalnemu do kąta odchylenia bryły z położenia równowagi φ, a skierowanemu przeciwnie do wychylenia

Wykonuje drgania proste, obrotowe o równaniu:

gdzie:

J - moment bezwładności bryły względem osi obrotu.

Rozwiązaniem tego równania jest:

gdzie:

Φ - amplituda kątowa drgań,

T – okres drgań

ε - faza początkowa.

Amplituda i okres są nie zmienne w czasie, przy czym okres nie zależy od amplitudy (izochronizm drgań).               Jeżeli oprócz momentu M1 działają na ciało momenty sił skierowane przeciwnie do prędkości ciała, wówczas amplituda maleje z biegiem czasu; obserwujemy drgania zwane tłumionymi, zanikającymi lub gasnącymi

Prawo zanikania amplitudy zależy od rodzaju tłumienia. Rozpatrzmy dwa rodzaje tłumienia:

a)       tłumienie momentem siły proporcjonalnym do prędkości ruchu φ i przeciwnie do niej skierowanym:M2=k2φ

b)      

φ

c)      

tłumienie momentem stałym co do wartości, a przeciwnie skierowanym do φ;

t

3T

T

2T

Przypadek "a" występuje przy tłumieniu powolnych, mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy lub przy tłumieniu drgań elektrycznych w obwodach elektrycznych. Przypadek "b" ma miejsce przy tłumieniu drgań mechanicznych tarciem kulombowskim. W przypadku "a" równanie ruchu ma postać:

Jego rozwiązaniem przy słabym tłumieniu  ( k22 < 4Jk1 ) jest funkcja:

Stałe Ф i ε wyznaczamy z warunków początkowych. Niech np.: dla t=0, φ(0)= φ0 i φ(0)= φ0, wówczas:

Funkcja przedstawiona równaniem 2 nie jest funkcja periodyczną jak wynika z poniższego  rysunku. Jej "okres ", tj czas, jaki upływa miedzy dwoma kolejnymi  maksimami lub podwójny czas między dwoma kolejnymi przejściami przez 0 wynosi:

A więc jest dłuższy od okresu T drgań nie gasnących. Maksima funkcji [2]

Są przesunięte względem maksimów funkcji sinus kąta w lewo i wartości ich maleją z czasem. Ponieważ termin -amplituda- odnosi się do stałej wartości maksimów funkcji sinus, wyrażenie Фe-δt należało by nazwać amplitudę w cudzysłowie. "Amplituda"  Фe-δt maleje z czasem według funkcji wykładniczej, logarytm "amplitudy" maleje liniowo z czasem

φ

t

2T

3T

T

Obliczmy stosunek 2 kolejnych "amplitud" po tej samej stronie położenia równowagi

ln Φn

t

8T

4T

6T

2T

Stosunek ten jest stały i nosi nazwę stosunku tłumienia. Logarytm naturalny tego stosunku :

Nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych. Jest on również wartością charakterystyczną dla tych drgań.

W przypadku "b" równanie ma postać:   Jφ=-kφ+M3

Rozwiązaniem tego równania a właściwie układu 2 równań różniczkowych jest drganie tłumione o amplitudzie malejącej według postępu arytmetycznego o wielkości Δφ=4M/k1 na 1 okres i  ie zmienionym okresie :

Δφ

T

2T

3T

t

φ

Opis przyrządu użytego do ćwiczenia

Przyrząd składa się z kuli zawieszonej na stalowym drucie wlutowanym osiowo w walec, obracalny w łożysku za pośrednictwem pokrętła o niewielki kąt. Wiązka światła z rzutnika odbija się od zwierciadła przymocowanego do drutu i daje na skali plamkę świetlną. Podczas drgań obrotowych kuli plamka świetlna wykonuje drgania liniowe o odchyleniu  x proporcjonalnym do kąta obrotu kuli φ, gdyż dla niewielkich kątów

(l jest odległością skali od zwierciadełka); stąd

         Tłumienie proporcjonalne do prędkości ruchu realizujemy przez zanurzenie drgającej kuli w lepkiej cieczy, np. w wodzie; stąd nazwa tego rodzaju tłumienia: lepkościowe lub wiskotyczne. Tłumienie stałym momentem uzyskujemy, podstawiając pod kulę cienką blaszkę przesuwalną na statywie, której wysokość, a więc i nacisk na kulę można regulować za pomocą śruby.

         Tłumienie pochodzące od lepkości powietrza i tarcia wewnętrznego w materiale drutu jest tak małe, że można je wobec obu rozpatrywanych momentów hamujących pominąć. Kulę wprawiamy w drganie przez powolny obrót zawieszenia z położenia zerowego w skrajne, a następnie szybki powrót do zera.

Zadania

Zadanie 1: Drgania obrotowe kuli nie tłumione (z pominięciem tłumieni powietrza i tłumienia w metalu drutu).

1.       Obserwować kilkanaście kolejnych amplitud xn po tej samej stronie położenia równowagi.