e-Fizyka - internetowy wykład z podstaw fizyki
(prof. Zbigniew Kąkol, dr Jan Żukrowski)
http://uci.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/a_e_fizyka/index0.htm
Cząstki i fale - podstawy mechaniki kwantowej
32. Światło a fizyka kwantowa
32.1 Promieniowanie termiczne
Z codziennego doświadczenia wiemy, że rozgrzane do wysokiej temperatury ciała są źródłami światła widzialnego. Typowym przykładem są wolframowe włókna żarówek.
Promieniowanie wysyłane przez ogrzane ciała nazywamy promieniowaniem termicznym . Wszystkie ciała emitują takie promieniowanie do otoczenia, a także z tego otoczenia je absorbują w każdej temperaturze wyższej od zera bezwzględnego. Jeżeli ciało ma wyższą temperaturę od otoczenia to będzie się oziębiać ponieważ szybkość promieniowania przewyższa szybkość absorpcji (oba procesy zawsze występują jednocześnie). Gdy osiągnięta zostanie równowaga termodynamiczna wtedy te szybkości będą równe.
Za pomocą siatki dyfrakcyjnej możemy zbadać światło emitowane przez te źródła tzn. dowiedzieć się jakie są długości fal wypromieniowywanych przez ciało i jakie jest ich natężenie Wyniki takiej analizy dla taśmy wolframowej ogrzanej do T = 2000 K. sa pokazane na rysunku 32.1.
Rys. 32.1. Zdolność emisyjna wolframu i ciała doskonale czarnego
Wielkość Rλ przedstawiona na osi pionowej nazywana jest widmową zdolnością emisyjną promieniowania i jest tak zdefiniowana, że wielkość Rλdλ oznacza moc promieniowania czyli szybkość, z jaką jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energię odpowiadającą długościom fal zawartym w przedziale od λ, do λ+dλ.
Całkowitą energię wysyłanego promieniowania w całym zakresie długości fal możemy obliczyć sumując emisję dla wszystkich długości fal tzn. całkując Rλ po wszystkich długościach fal. Wielkość ta nazywana jest całkowitą emisją energetyczną promieniowania R i wyraża się wzorem
(32.1)
Oznacza to, że możemy interpretować emisję energetyczną promieniowania R jako powierzchnię pod wykresem Rλ od λ.
Widmo emitowane przez ciało stałe ma charakter ciągły i silnie zależy od temperatury. Ponadto szczegóły tego widma są prawie niezależne od rodzaju substancji.
Zauważmy, że w "zwykłych" temperaturach większość ciał jest dla nas widoczna dlatego, że odbijają one (lub rozpraszają) światło, które na nie pada, a nie dlatego, że ciała te wysyłają promieniowanie widzialne (świecą). Jeżeli nie pada na nie światło (np. w nocy) to są one niewidoczne. Dopiero gdy ciała mają wysoką temperaturę wtedy świecą własnym światłem. Ale jak widać z rysunku 32.1 i tak większość emitowanego promieniowania jest niewidzialna bo przypada na zakres podczerwieni czyli promieniowania cieplnego. Dlatego ciała, świecące własnym światłem są bardzo gorące. Jeżeli będziemy rozgrzewać kawałek metalu to początkowo chociaż jest on gorący to z jego wyglądu nie można tego stwierdzić bo nie świeci; można to tylko zrobić dotykiem. Emituje promieniowanie podczerwone. Ze wzrostem temperatury kawałek metalu staje się początkowo ciemno-czerwony, następnie jasno-czerwony, aż wreszcie świeci światłem niebiesko-białym.
Ponieważ ilościowe interpretacje takich widm promieniowania są trudne to posługujemy się wyidealizowanym ciałem stałym, zwanym ciałem doskonale czarnym . (Tak postępowaliśmy już w przypadku gazów; rozważaliśmy modelowy obiekt tzw. gaz doskonały.) Ciało doskonale czarne charakteryzuje się tym, że pochłania całkowicie padające nań promieniowanie.
32.2 Ciało doskonale czarne
Rozważmy pokazany na rysunku 32.2 blok metalowy posiadający pustą wnękę wewnątrz. W ściance bocznej tego bloku znajduje się niewielki otwór.
Rys. 32.2. Model ciała doskonale czarnego
Promieniowanie pada na otwór z zewnątrz i po wielokrotnych odbiciach od wewnętrznych ścian zostaje całkowicie pochłonięte. Oczywiście ścianki wewnętrzne też emitują promieniowanie, które może wyjść na zewnątrz przez otwór. Otwór wnęki ma więc własności ciała doskonale czarnego.
Z obserwacji światła wysyłanego przez takie ciało wynika, że:
Promieniowanie wychodzące z wnętrza bloków ma zawsze większe natężenie niż promieniowanie ze ścian bocznych.
Dla danej temperatury emisja promieniowania wychodzącego z otworów jest identyczna dla wszystkich źródeł promieniowania, pomimo że dla zewnętrznych powierzchni te wartości są różne.
Prawo, zasada, twierdzenieEmisja energetyczna promieniowania ciała doskonale czarnego (nie jego powierzchni) zmienia się wraz z temperaturą według prawa Stefana-Boltzmanna
(32.2)
gdzie σ jest uniwersalną stałą (stała Stefana-Boltzmanna) równą 5.67·10-8 W/(m2K4).
Zdolność emisyjna promieniowania Rλ dla ciała doskonale czarnego zmienia się z temperaturą tak jak na rysunku 32.3 poniżej.
Rys. 32.3. Widmo promieniowania ciała doskonale czarnego w wybranych temperaturach
Prawo, zasada, twierdzenieDługość fali dla której przypada maksimum emisji jest zgodnie z prawem Wiena odwrotnie proporcjonalna do temperatury ciała.
Podkreślmy, że pokazane krzywe zależą tylko od temperatury i są całkiem niezależne od materiału oraz kształtu i wielkości ciała doskonale czarnego.
Korzystając z załączonego programu możesz prześledzić zależność widma promieniowania ciała doskonale czarnego od temperatury. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu. Program można uruchomić (przeglądarka IE) z bieżącej lokalizacji lub zapisać go na dysku twardym własnego komputera.
Żeby się o tym przekonać rozpatrzmy, pokazane na rysunku 32.4 dwa ciała doskonale czarne, tzn. dwie wnęki o dowolnym kształcie i jednakowej temperaturze ścianek obu wnęk (ciała stykają się). Promieniowanie oznaczone RA przechodzi z wnęki A do wnęki B, a promieniowanie RB w odwrotnym kierunku. Jeżeli te szybkości nie byłyby równe wówczas jeden z bloków ogrzewałby się a drugi stygł. Oznaczałoby to pogwałcenie drugiej zasady termodynamiki. Otrzymujemy więc RA = RB = RC gdzie RC opisuje całkowite promieniowanie dowolnej wnęki.
Rys. 32.4. Dwa ciała doskonale czarne o jednakowej temperaturze
Nie tylko energia całkowita ale również jej rozkład musi być taki sam dla obu wnęk. Stosując to samo rozumowanie co poprzednio można pokazać, że , gdzie RλC oznacza widmową zdolność emisyjną dowolnej wnęki.
32.3 Teoria promieniowania we wnęce, prawo Plancka
Rozważania klasyczne
Na przełomie ubiegłego stulecia Rayleigh i Jeans wykonali obliczenia energii promieniowania we wnęce (czyli promieniowania ciała doskonale czarnego). Zastosowali oni teorię pola elektromagnetycznego do pokazania, że promieniowanie wewnątrz wnęki ma charakter fal stojących Promieniowanie elektromagnetyczne odbija się od ścian wnęki tam i z powrotem tworząc fale stojące z węzłami na ściankach wnęki (tak jak omawiane w paragrafie 13.5 fale w strunie zamocowanej na obu końcach). Następnie Rayleigh i Jeans obliczyli wartości średniej energii w oparciu o znane nam prawo ekwipartycji energii i w oparciu o nią znaleźli widmową zdolność emisyjną.
Wynik jaki uzyskali został pokazany linią przerywaną na rysunku 32.3 . Jak widać rozbieżność między wynikami doświadczalnymi i teorią jest duża. Dla fal długich (małych częstotliwości) wyniki teoretyczne są bliskie krzywej doświadczalnej, ale dla wyższych częstotliwości wyniki teoretyczne dążą do nieskończoności. Ten sprzeczny z rzeczywistością wynik rozważań klasycznych nazywany jest „katastrofą w nadfiolecie”.
Teoria Plancka promieniowania ciała doskonale czarnego
Pierwszy wzór empiryczny dający wyniki widmowej zdolności emisyjnej w przybliżeniu zgodne z doświadczeniem przedstawił Wien. Wzór ten został następnie zmodyfikowany przez Plancka tak, że uzyskano wynik w pełni zgodny z doświadczeniem. Wzór Plancka ma postać
(32.3)
gdzie C1 i C2 są stałymi wyznaczanymi doświadczalnie.
Planck nie tylko zmodyfikował wzór Wiena ale zaproponował zupełnie nowe podejście mające na celu stworzenie teorii promieniowania ciała doskonale czarnego. Założył on, że każdy atom zachowuje się jak oscylator elektromagnetyczny posiadający charakterystyczną częstotliwość drgań.
Prawo, zasada, twierdzenieOscylatory te, według Plancka, nie mogą mieć dowolnej energii, ale tylko ściśle określone wartości dane wzorem
(32.4)
gdzie ν oznacza częstość drgań oscylatora, h jest stałą (zwaną obecnie stałą Plancka) równą h = 6.63·10-34 Js, a n - pewną liczbę całkowitą (zwaną obecnie liczbą kwantową ).
Ten postulat zmieniał radykalnie istniejące teorie. Wiemy, że zgodnie z fizyką klasyczną, energia każdej fali może mieć dowolną wartość, i że jest ona proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Tymczasem według Plancka energia może przyjmować tylko ściśle określone wartości czyli jest skwantowana .
Ponadto oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, lecz porcjami czyli kwantami . Kwanty są emitowane gdy oscylator przechodzi ze stanu (stanu kwantowego ) o danej energii do drugiego o innej, mniejszej energii. Odpowiada to zmianie liczby kwantowej n o jedność, a w konsekwencji wypromieniowana zostaje energia w ilości
(32.5)
Prawo, zasada, twierdzenieOznacza to, że dopóki oscylator pozostaje w jednym ze swoich stanów kwantowych dopóty ani nie emituje ani nie absorbuje energii. Mówimy, że znajduje się w stanie stacjonarnym .
Sprawdźmy teraz czy ta nowatorska hipoteza stosuje się do znanych nam oscylatorów. Jako przykład rozpatrzmy wahadło proste złożone z ciała o masie 1 kg zawieszonego na lince o długości 1 m.
Częstotliwość drgań własnych takiego wahadła wynosi
(32.6)
Jeżeli wahadło wykonuje drgania o amplitudzie 10 cm to jego energia całkowita wynosi
(32.7)
Zgodnie z hipotezą Plancka zmiany energii dokonują się skokowo przy czym ΔE = hν. Względna zmiana energii wynosi więc
(32.8)
Żeby zaobserwować nieciągłe zmiany energii musielibyśmy wykonać pomiar energii z dokładnością przewyższającą wielokrotnie czułość przyrządów pomiarowych.
Kwantowa natura drgań nie jest więc widoczna dla makroskopowych oscylatorów podobnie jak nie widzimy dyskretnej natury materii tj. cząsteczek, atomów, elektronów itp., z których zbudowane są ciała. Wnioskujemy, że doświadczenia z wahadłem prostym nie mogą rozstrzygnąć o słuszności postulatu Plancka.
Zanim przejdziemy do przedstawienia innych doświadczeń (zjawisko fotoelektryczne i efekt Comptona) omówmy zastosowanie prawa promieniowania w termometrii.
Zastosowanie prawa promieniowania w termometrii
Promieniowanie emitowane przez gorące ciało można wykorzystać do wyznaczenia jego temperatury. Jeżeli mierzy się całkowite promieniowanie emitowane przez ciało, to korzystając z prawa Stefana-Boltzmana (32.2) można obliczyć jego temperaturę. Sprawdź ten sposób wykonując następujące ćwiczenie.
ĆwiczenieŚrednia ilość energii (na jednostkę czasu) promieniowania słonecznego padającego na jednostkę powierzchni Ziemi wynosi 355 W/m2. Oblicz średnią temperaturę jaką będzie miała powierzchnia Ziemi, jeżeli przyjmiemy, że Ziemia jest ciałem doskonale czarnym, wypromieniowującym w przestrzeń właśnie tyle energii na jednostkę powierzchni i czasu. Czy uzyskany wynik jest zgodny z doświadczeniem? Sprawdź obliczenia i wynik.
Ponieważ dla większości źródeł trudno dokonać pomiaru całkowitego promieniowania więc mierzy się ich zdolność emisyjną dla wybranego zakresu długości fal. Z prawa Plancka wynika, że dla dwu ciał o temperaturach T1 i T2 stosunek natężeń promieniowania o długości fali λ wynosi
Marcianus