Skrypt z mechaniki płynów [Styczek].pdf

POLITECHNIKAWARSZAWSKA

WYDZIAŁMECHANICZNYENERGETYKI

ILOTNICTWA

SkryptzMechanikiPłynów

AndrzejStyczek

25maja2010

Spistre±ci

1Podstawymechanikio±rodkówci¡głych 1

1.1Poj¦cieo±rodkaci¡głego............................ 1

1.2Rucho±rodkaci¡głego.Poło»enie,pr¦dko±¢przyspieszenie......... 2

1.3Toryiliniepr¡du................................ 4

1.4Pochodnasubstancjalna............................ 6

1.5Pochodnawielko±ciekstensywnej....................... 8

1.6Zasadazachowaniamasy............................11

1.7Drugazasadadynamiki.............................13

1.8Równanieenergii................................16

1.9Posta¢bilansowarówna«mechanikio±rodkaci¡głego............19

1.10Drugazasadatermodynamiki .........................20

1.11Podsumowanie.................................21

2Opisruchuistanupłynu 23

2.1Pr¦dko±¢deformacjii

tensorpr¦dko±cideformacji...........................23

2.2Płynliniowy...................................25

2.3RównanieNaviera-Stokesa..........................28

3Równowagahydrostatyczna 32

4Dynamikapłynów 37

4.1Płynynielepkie.................................37

4.2CałkirówaniaEulerairównaniaenergii....................38

4.3Reakcjedynamiczne..............................43

4.4Ruchcieczyprzezrur¦.............................45

4.5Do±wiadczenieReynoldsa............................47

4.6BezwymiarowerównaniaNaviera-Stokesaipodobie«stwodynamiczne..49

4.7Ruchturbulentnywrurze...........................52

4.8Oturbulencji..................................57

Rozdział1

Podstawymechanikio±rodków

ci¡głych

1.1Poj¦cieo±rodkaci¡głego

O±rodkiemci¡głymnazywamyhipotetyczn¡substancj¦wypełniaj¡c¡przestrze«.Zało»e-

nieci¡gło±ciciałaﬁzycznegojestprzybli»eniem,gdy»wrzeczywisto±cika»dasubstancja

mastruktur¦cz¡steczkow¡,awi¦cziarnist¡.Wtedy,gdywrozwa»anymzjawiskucz¡-

steczkinies¡bezpo±rednioobserwowane,mo»emyzało»y¢ci¡gło±¢.

Najprostszymstanemskupieniajeststangazowy.Wgazachprzestrzenneupakowanie

cz¡steczekmateriijestnajmniejsze.Miar¡odległo±cimi¦dzycz¡steczkowychwgaziejest

±redniadrogaswobodna.Jesttoodcinekprzeci¦tnieprzebywanyprzezcz¡steczk¦mi¦-

dzyzderzeniamiwchaotycznymruchucieplnym.Dlapowietrzaotemperaturze20 C i

ci±nieniu1bardrogaswobodnacz¡steczkiwynosiokoło10 − 7 metra.(Cz¡steczkis¡wielo-

krotniemniejsze.Klasycznypromie«cz¡steczkiazotutookoło10 − 10 m )Wielko±ci¡okre-

±laj¡c¡wypełnienieprzestrzeniprzezcz¡steczkigazujestliczbaKnudsenazdeﬁniowana

jakoilorazcharakterystycznegomakroskopowegowymiaruliniowego L idrogiswobodnej

czasteczki

K n = L

(1.1)

Je±li K n maznaczn¡warto±¢,towskaliwymiarówmakroskopowychbudowacz¡-

steczkowa,czylijakmówimyziarnisto±¢gazunieodgrywaroli.Mo»emyzatemstosowa¢

upraszczaj¡cezało»enieoci¡gło±cio±rodka.Dolnagranicawarto±ci K n ,przyktórejmo»na

zaniedba¢ziarnisto±¢-bezryzykapopełnieniaznacznychbł¦dów-to10 3 .Gdygazjest

rozrzedzony,cooznacza,»eliczbaKnudsenajestmała,tozamiastzało»eniaoci¡gło±ci

stosujemyopisydyskretne.Czyopisówtakichnienale»ałobystosowa¢zawsze?Kilomol

substancji(tonp. 32kgtlenulub28kgazotu)zawieraliczb¦Avogadrocz¡steczek.

Liczbatajestwielkaiwynosi N A =6 . 023 · 10 26 .Gdybystosowa¢opisdyskretny,nale-

»ałobywyznaczy¢ruchka»dejznich.Jesttozadanieniewykonalne:trzebabyrozwi¡za¢

ogromn¡liczb¦równa«ruchu.Ponadtonale»yokre±li¢poło»eniaipr¦dko±ciwszystkich

cz¡steczekwchwilipocz¡tkowej.Niejesttomo»liweiprawdopodobnienigdynieb¦dzie

potrzebne.Mo»nabowiemstosowa¢innemetodyopisu-naprzykładprzyj¡¢zało»enie

oci¡gło±cio±rodka.Wcieczachodległo±cimi¦dzycz¡steczkowes¡istotniemniejsze,ni»

wgazach.Wzajemneodległo±cicz¡steczekzmieniaj¡si¦tuwniewielkimstopniu.Łatwo

1.2.Rucho±rodkaci¡głego.Poło»enie,pr¦dko±¢przyspieszenie 2

wi¦cstwierdzi¢,»e-naprzykładwwodzie-odległo±cimi¦dzys¡siednimicz¡steczkamis¡

rz¦duułamkananometra.Wnioskujemywi¦c,»ezało»enieoci¡gło±ciwodymo»eby¢ju»

stosowaneprzywymiarachcharakterystycznychobszarub¦d¡cychułamkiemmikrometra.

1.2Rucho±rodkaci¡głego.Poło»enie,pr¦dko±¢przy-

spieszenie

O±rodekci¡głyjestutworzony,namocydeﬁnicji,przezci¡głyzbiórpunktówmaterial-

nych.Oznaczato,»ewka»dymmiejscuprzestrzeniznajdujesi¦punktmaterialnyo±rodka

ci¡głego.Wybierzemypunktmaterialny,którywchwilipocz¡tkowej t =0znajdowałsi¦

wprzestrzeniwmiejscuokre±lonymwektorem ~r 0 .

Rysunek1.1. Tor

Wybranypunktmaterialnyporuszasi¦,awi¦czmieniasi¦jegopoło»enie.Zapisujemy

tonast¦puj¡co:

~r = ~r ( t,~r 0 ) (1.2)

Lini¦zakre±lon¡przezporuszaj¡cysi¦punktmaterialnynazywamyjegotorem.Pocz¡tek

toruokre±lawektor ~r 0 .Mo»natozapisa¢tak:

~r (0 ,~r 0 )= ~r 0

Wybórchwilipocz¡tkowejjestoczywi±ciedowolny.Gdybyprzyj¡¢,»epocz¡tekruchu

nast¡piłwchwili t 1 ,apunktmaterialnybyłwtedywmiejscuokre±lonymprzez ~r 1 ,todla

t t 1 wektorpoło»eniamógłbyby¢zapisanyjakponi»ej:

~r = ~r ( t − t 1 ,~r 1 )

Oczywi±cie ~r 1 mo»naokre±li¢przypomocyrównania(1.2)

1.2.Rucho±rodkaci¡głego.Poło»enie,pr¦dko±¢przyspieszenie 3

~r ( t 1 ,~r 0 )= ~r 1

Otrzymujemyzło»enieruchu:dla0 ¬ t 1 ¬ t dostajemy

~r ( t,~r 0 )= ~r ( t − t 1 ,~r ( t 1 ,~r 0 )) .

Wła±ciwo±¢składaniaruchuograniczaklas¦funkcji ~r ( t,~r 0 ).

Pochodnafunkcji ~r ( t,~r 0 )wzgl¦demczasutopr¦dko±¢poruszaj¡cegosi¦punktu:

@t = ~v ( t,~r 0 ) (1.3)

Otrzymali±mypr¦dko±¢punktu,którywchwilipocz¡tkowejznajdowałsi¦wmiejscuokre-

±lonymprzezwektor ~r 0 .Podobniemo»naokre±li¢przyspieszenie

~v = @~r ( t,~r 0 )

@t 2 = ~a ( t,~r 0 ) (1.4)

Abyskorzysta¢zwyra»e«(1.3)i(1.4)trzebawiedzie¢,gdziepunktmaterialnyznajdował

si¦wchwilipocz¡tkowej.Takainformacjaniezawszejestdost¦pna.(Przyjrzyjmysi¦

płyn¡cejrzece.Wiemy,gdziewybranyprzedmiot-naprzykładpłyn¡cylistek-jestw

danymmomencie,aleniewiemy,gdziebyłwchwilipocz¡tkowej.)Powstał¡trudno±¢

mo»nałatwowyeliminowa¢.U»ywaj¡crównania(1.2)znajdujemy

@t = @ 2 ~r ( t,~r 0 )

~r 0 = ~r 0 ( t,~r ) (1.5)

przyzało»eniuodwracalno±cipierwotnegozwi¡zku.Mo»liwo±¢odwróceniaoznacza,»e

ka»demupoło»eniuwaktualnejchwiliodpowiadajednoitylkojednopoło»eniewchwili

t =0.Podstawimyotrzymanewyra»eniedopr¦dko±ciokre±lonejrównaniem(1.3)iw

rezultaciemo»emyzapisa¢:

~v = ~v ( t,~r 0 )= ~v ( t,~r 0 ( t,~r ))

Wykonujemyzło»enieiotrzymujemy

~v = ~v ( t,~r ) (1.6)

Wyrazili±mypr¦dko±¢wformiefunkcjiczasuidowolnegomiejscawskazanegoprzezwek-

tor ~r .Wyra»enietookre±lapr¦dko±¢dowolnegopunktuznajduj¡cegosi¦wobszarzeruchu

ijestwektorow¡funkcj¡czasuipoło»enia ~v ( t,~r ),czylizale»nymodczasupolemwekto-

rowym.

rysunek

Szkicprzedstawiapole ~v ( t,~r )wpewnejchwili t 1 .Dlainnejchwili t 2 >t 1 wektory

pr¦dko±cimog¡by¢zupełnieinne.Je±li ~v niezale»yodt,topolepr¦dko±cinazywamy

ustalonym.Ruchjestwtedytakisamwka»dejchwili.Dlatakiegoruchuwektorpr¦dko±ci

jestfunkcj¡tylkopoło»enia,cozapisujemynast¦puj¡co:

~v = ~v ( ~r )

~a = @~v ( t,~r 0 )

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: