POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO
Definicja: Powierzchnią stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej, które spełniają równanie:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0,
gdzie A, B, . . . , K są stałymi. Ponadto przynajmniej jedna ze stałych A, B, C, D, E, F musi
być różna od zera. Jest to ogólne równanie powierzchni stopnia drugiego.
Elipsoida trójosiowa:
x2a2+y2b2+z2c2=1
Przekrój elipsoidy dowolną płaszczyzną jest elipsą.
Hiperboloida jednopowłokowa:
x2a2+y2b2-z2c2=1
Przekrój hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi oz jest elipsą; płaszczyznami prostopadłymi do osi ox i oy jest hiperbolą.
Hiperboloida dwupowłokowa:
z2c2-x2a2-y2b2=1
Paraboloida eliptyczna:
x2a2+y2b2=zc
Przekrój paraboloidy eliptycznej płaszczyznami prostopadłymi do osi oz jest elipsą, a płaszczyznami równoległymi do tej osi jest parabolą.
Walec eliptyczny:
x2a2+y2b2=1
Przekrój walca płaszczyznami prostopadłymi do osi oz jest elipsą; płaszczyznami równoległymi do osi oz jest parą prostych
równoległych do osi oz.
Paraboloida hiperboliczna:
y2b2-x2a2=zc
Przekrój paraboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi oz jest hiperbolą; płaszczyznami x0z, y0z jest parabolą.
Walec hiperboliczny jednopowłokowy:
y2b2-x2a2=1
Przekrój walca płaszczyznami prostopadłymi do osi oz jest hiperbolą; płaszczyznami równoległymi do osi oz jest parą prostych
Stożek eliptyczny:
x2a2+y2b2=z2c2
Przekrój stożka płaszczyznami prostopadłymi do osi oz jest elipsą; płaszczyznami prostopadłymi do osi ox i oy jest hiperbolą; płaszczyznami przechodzącymi przez oś oz jest parą prostych przecinających się.
Walec paraboliczny:
z=ax2
Przekrój walca płaszczyznami prostopadłymi do osi oz jest parą prostych równoległych do osi oy; płaszczyznami równoległymi do osi oz jest parabolą.
Sfera:
(x-a)2+y-b2+(z-c)2=R2
- równanie sfery o środku w punkcie
S = (a, b, c) i promieniu R>0;
x2+y2+z2=R2
S = (0, 0, 0) i promieniu R>0.
Przekrojem sfery dowolną płaszczyzną jest okrąg.
Kula:
zbiór wszystkich punktów (x, y, z) przestrzeni, których współrzędne spełniają nierówność:
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 ≤ R2, dla środka kuli w punkcie S = (a, b, c) i promienia R>0;
W szczególności kula o środku w punkcie
S = (0, 0, 0) i promieniu R>0 jest zbiorem wszystkich punktów (x, y, z) przestrzeni, których współrzędne spełniają nierówność:
x2 + y2 + z2 ≤ R2.
Przekrojem kuli dowolną płaszczyzną jest koło.
Równania krzywych stożkowych:
1. Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r > 0 : (x-a)2+(y-b)2=r2.
2. Równanie elipsy (zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których suma odległości od ognisk elipsy F1(-c; 0) i F2(c; 0) jest stała i równa 2a): x2a2+y2b2=1, gdzie b2=a2-c2.
3. Równanie hiperboli (zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których moduł różnicy odległości od ognisk hiperboli F1(-c; 0) i F2(c; 0) jest wielkością stałą i równą 2a) : x2a...
properth