13.pdf

(533 KB) Pobierz
60626897 UNPDF
Część 1
13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
1
13. 
13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
13.1. Metoda trzech momentów
Rozwiązanie wieloprzęsłowych belek statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym stopniu
przez dobranie odpowiedniego schematu podstawowego oraz zastosowanie szczególnej postaci metody sił
zwanej metodą trzech momentów.
Rozważmy dowolnie obciążoną wieloprzęsłową belkę statycznie niewyznaczalną.
Rys. 13.1. Belka wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna
Najbardziej dogodnym schematem zastępczym (podstawowym), będzie schemat, w którym przerwiemy
ciągłość belki przez wprowadzenie przegubów nad podporami i przyjmiemy nadliczbowe niewiadome w
postaci momentów podporowych.
X k-2
X k-1
EJ k
X k
EJ k+1
X k+1
EJ k+2
X k+2
k-2
k-1
k
k+1
k+2
l k -1
l k
l k+1
l k+2
Rys. 13.2. Schemat podstawowy
Uwaga: przy tak dobranym układzie podstawowym macierz podatności będzie macierzą pasmową.
Rozważmy teraz dwa sąsiednie, dowolnie wybrane przęsła belki l k oraz l k+1 , o różnej sztywności EJ k ,
EJ k+1 , ale stałej na całej długości przęsła. Załóżmy także jako wiodący wpływ momentów (wpływ sił
normalnych i poprzecznych w belce zginanej jest znikomy).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626897.011.png 60626897.012.png 60626897.013.png 60626897.014.png 60626897.001.png 60626897.002.png 60626897.003.png
Część 1
13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
2
X k-2
X k-1
X k
X k+1
X k+2
k-2
l k -1
k-1
l k
k
l k+1
k+1
l k+2
k+2
M k -1
1
dla X k-1 =1
M k
1
dla X k =1
M k+1
dla X k+1 =1
1
M k+2
1
dla X k+2 =1
Rys. 13.3. Wykresy momentów w stanach jednostkowych
Układ równań kanonicznych zapiszemy w postaci:
n
∑ j = 1
ij ⋅ X j  iP = 0, i = 1,2,...,n
(13.1)
W celu otrzymania współczynników k -tego wiersza macierzy podatności, należy wykres momentów M k
mnożyć kolejno przez pozostałe wykresy. Analizując wykresy momentów dla kolejnych stanów obciążeń
(rys. 13.3) łatwo zauważyć, że wykres M k pokrywa się jedynie z dwoma sąsiednimi wykresami. Stąd tylko
trzy współczynniki z indeksem k będą miały wartość różną od zera.
k − 1,k ≠ 0 k − 1,k = k,k − 1 = 1
EJ k ⋅
2 ⋅ l k ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 1 = l k
6EJ k
(13.2)
k,k ≠ 0 k,k = 1
EJ k ⋅
2 ⋅ l k ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 1 1
EJ k 1 ⋅
2 ⋅ l k 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 1 = 3 ⋅ l k
EJ k l k 1
EJ k 1
(13.3)
k 1,k ≠ 0 k 1,k = k,k 1 = 1
EJ k 1 ⋅
2 ⋅ l k 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 1 = l k 1
6EJ k 1
(13.4)
Podstawiając otrzymane wartości i mnożąc przez 6 całe równanie kanoniczne otrzymujemy:
X k − 1 ⋅ l k
EJ k 2X k ⋅
l k
EJ k l k 1
EJ k 1
X k 1 ⋅ l k 1
EJ k 1 6 kP = 0
(13.5)
Mnożąc następnie równanie przez sztywność porównawczą EJ o uzyskujemy równanie zwane równaniem
trzech momentów (nazwa pochodzi stąd, że w tym równaniu występują trzy sąsiednie momenty podporowe):
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626897.004.png
 
60626897.005.png 60626897.006.png
Część 1
13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
3
X k − 1 ⋅ l k ' 2X k ⋅ l k ' l ' k 1 X k 1 ⋅ l ' k 1 =− 6 EJ o kP
(13.6)
gdzie:
l k ' = l k ⋅ EJ o
EJ k
(13.7)
jest długością sprowadzoną (długość zastępcza).
Równanie trzech momentów na końcach belki wieloprzęsłowej wymaga pewnej modyfikacji – warunki
brzegowe omówimy dla trzech przypadków zakończenia belki.
1. Przypadek pierwszy - belka jest podparta na końcu w sposób przegubowo przesuwny.
0
1
2
l 1
l 2
Rys. 13.4. Przegubowo-przesuwne zakończenie belki
Dla takiego zamocowania końca belko moment w punkcie 0 jest równy 0, stad X o = 0 i równie trzech
momentów będzie składało się tylko z trzech wyrazów.
2X 1 ⋅ l 1 ' l 2 ' X 2 ⋅ l 2 ' =− 6 EJ o 1P
2. Przypadek drugi - belka z wolnym, nie podpartym końcem:
0
1
2
3
l 1
l 2
l 3
Rys. 13.5. Belka z przewieszeniem
W tym przypadku na końcu belki moment można łatwo wyznaczyć i wtedy M 1 = M , X 1 ≠ 0
dla 1 X 1 = M
dla 2 X 1 ⋅ l 2 ' 2X 2 ⋅ l 2 ' l 3 ' X 3 ⋅ l 3 ' =− 6 EJ o 2P
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626897.007.png
Część 1
13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
4
3. Przypadek trzeci – utwierdzenie na początku belki
0
1
2
l 1
l 2
Rys. 13.6. Utwierdzony początek belki
Taką belkę należy rozszerzyć o jedno przęsło wstecz, zakładając równocześnie, że l o = 0
0
1
2
l 0
l 1
l 2
Rys. 13.7. Model zastępczy przy utwierdzeniu
Taki zabieg doprowadzi do uzyskania równania brzegowego w postaci:
2 X o ⋅ l 1 ' X 1 ⋅ l 1 ' =− 6EJ o 0P
(13.8)
13.2. Linie wpływu sił nadliczbowych X i belek wieloprzęsłowych
Rozpatrzmy sytuację, w której obciążenie belki wieloprzęsłowej, statycznie niewyznaczalnej jest
zmienne.
x
P
Rys. 13.8. Belka wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna
Wyznaczanie w układach statycznie niewyznaczalnych linii wpływu wielkości statycznych klasyczną
metodą sił, należy rozpocząć od wyznaczenia linii wpływu nadliczbowych niewiadomych X k . Zmiennymi będą
wyrazy wolne ∆ kP i w konsekwencji także X k przyjmą wartości zależne od położenia obciążenia.
Problemem jest sposób wyznaczenia ∆ kP przy obciążeniu poruszającym się po belce. Rozpocznijmy
rozważania od rozwiązania tego problemu. Niech dana będzie belka wieloprzęsłowa, statycznie
niewyznaczalna, po której porusza się siła P . Przyjmujemy układ podstawowy jak na rys. 13.2, wtedy ∆ kP jest
wzajemnym obrotem przekroju lewego i prawego przy podporze k wywołany działaniem siły P .
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
0
60626897.008.png 60626897.009.png
Część 1
13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
5
x
P
k-1 k k+1
l k -1
l k
l k+1
Rys. 13.9. Układ podstawowy obciążony siłą poruszającą się
Zatrzymajmy myślowo daną siłę P na jednym z przęseł (rys. 13.10).
x
P
k-1
l k
k
Rys. 13.10. Siła P położona w danym przęśle (k-1,k)
Dla takiego, chwilowego położenia siły, wykres momentów wystąpi tylko w przęśle w którym działa siła P .
x
P
k-1
k
M(P)
O
O
Rys. 13.11. Wykres momentów od siły P położonej w przęśle (k-1,k)
Jeżeli założymy, że P = 1 [-] możemy przejść na umowny zapis (wzajemny kąt obrotu jest równy podatności,
tzn. przemieszczeniu od jednostkowej siły):
kP = kP
(13.9)
Na mocy twierdzenia Maxwella wiadomo, że wzajemny kąt obrotu przekroju lewego i prawego przy przegubie
k jest równy:
kP = Pk
(13.10)
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626897.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin