hipotezaPoinkarego.pdf

HIPOTEZA POINCAREGO? PAWEª STRZELECKI

11LISTOPADA2002ROKUGRIGORIJJAKOWLEWICZPERELMAN,GEOMETRAPRACUJ¡CY

WPETERSBURSKIMODDZIALEINSTYTUTUMATEMATYCZNEGOIM.STIEKªOWAPRZY

FONTANCE27,UDOST¦PNIªWINTERNECIE40-STRONICOW¡PRAC¦PODTYTUªEM

FORMUªAENTROPIIDLAPOTOKURICCIEGOIJEJZASTOSOWANIAGEOMETRYCZNE .

CZWART¡STRON¦SUCHEGOINAJE»ONEGOFACHOWYMITERMINAMIWPROWADZENIA

KO«CZYZDANIE: WRESZCIE,WROZDZIALE13,PODAJEMYKRÓTKISZKICDOWODUHIPOTEZY

GEOMETRYZACYJNEJ .

WSPOMNIANAHIPOTEZAPOCHODZIODWILLIAMATHURSTONA

IDOTYCZYBUDOWYTRÓJWYMIAROWYCHROZMAITO±CI.

JESTTAKOGÓLNAIPOT¦»NA,»ESªYNNAHIPOTEZAPOINCAREGO

{JEDENZSIEDMIUPROBLEMÓWZAMILIONDOLARÓWZLISTY

INSTYTUTUCLAYA,PATRZ AKTUALNO±CI,DELTA 8/2000{

WYPªYWAZNIEJJAKOPROSTYWNIOSEK.

ZDEFORMOWA¢DOPUNKTU.NATORUSIEINAWSZELKICH

PRECLACHJESTMASAKRZYWYCH,KTÓRYCHDOPUNKTUBEZ

ROZRYWANIAZDEFORMOWA¢SI¦NIEDA.

10MARCA2003ROKUPERELMANUDOST¦PNIªDRUG¡

PRAC¦, POTOKRICCIEGOZCHIRURGI¡NAROZMAITO±CIACH

TRÓJWYMIAROWYCH .SZKICDOWODUZPIERWSZEGOPREPRINTU

ZOSTAªWNIEJOPISANYZNACZNIEDOKªADNIEJ.

WKWIETNIU2003ROKUPERELMANWYGªASZAªSERIE

WYKªADÓWNAKILKUZNANYCHUNIWERSYTETACH

AMERYKA«SKICH,AWKILKUMIEJSCACH±WIATAEKIPY

EKSPERTÓWZACZ¦ªYPODCZASWIELOTYGODNIOWYCH

SEMINARIÓWBRN¡¢PRZEZJEGOPRACE,NAPISANEZBOLESN¡

ZWI¦ZªO±CI¡.POJAWIªYSI¦NIEZALE»NEDOWODYNIEKTÓRYCH

TWIERDZE«ZOBUPRACPERELMANA,AONSAMNAPISAª

WLIPCU2003TRZECIPREPRINT,PODAJ¡CUPROSZCZON¡

WERSJ¦SWEGODOWODUTEGOPRZYPADKUHIPOTEZY

GEOMETRYZACYJNEJTHURSTONA,KTÓRYWYSTARCZA

DOWNIOSKOWANIAOPRAWDZIWO±CIHIPOTEZYPOINCAREGO.

WCHWILI,GDYPISZ¦TESªOWA,OSTATECZNEJIZGODNEJ

OPINIIFACHOWCÓWJESZCZENIEMA,ALEWIELEOSÓBWYRA»A

NIEBEZPOWODUOSTRO»NYOPTYMIZM.CAªASPRAWA

WYGL¡DANATYLEPOWA»NIE,»EWYPADAONIEJOPOWIEDZIE¢

CZYTELNIKOM DELTY .

RYS. 1. SFERA,TORUS I PRECEL.KOLOROWYCH KRZYWYCHNA TORUSIEI PRECLU

NIEMO»NAW SPOSÓB CI¡GªYZDEFORMOWA¢DO PUNKTU.

2. ROZMAITO±CITRÓJWYMIAROWETO MO»LIWEFORMYNASZEJ

PRZESTRZENI ;WI¦CEJINFORMACJI{PATRZARTYKUªZBIGNIEWA

MARCINIAKAPODTAKIMWªA±NIETYTUªEMW DELCIE 5/1997.

PRZYKªADYZWARTYCHROZMAITO±CITRÓJWYMIAROWYCHTO

(A)SFERA 3 ,CZYLIZBIÓRTYCHPUNKTÓW( X;Y;Z;W )

PRZESTRZENICZTEROWYMIAROWEJ,KTÓRYCHWSPÓªRZ¦DNE

SPEªNIAJ¡WARUNEK X 2 + Y 2 + Z 2 + W 2 =1,

(B)TORUS 3 ,CZYLIROZMAITO±¢,KTÓR¡UZYSKUJESI¦,

OSOBOM,KTÓRESTWIERDZ¡,»ENIEMAPOCOMY±LE¢

OJAKICH±TAMROZMAITO±CIACH,BOPRZECIE»PRZESTRZE«

WOKÓªNASJESTEUKLIDESOWAIKA»DYTOWIDZI,PRAGN¦

PRZYPOMNIE¢,»EPRZEZSETKILATPRAWIEWSZYSCY

ŸWIDZIELI",»EZIEMIAJESTPªASKA.

1. ODPONADSTULATZNAMYLIST¦WSZYSTKICHZWARTYCH,

ORIENTOWALNYCHROZMAITO±CIDWUWYMIAROWYCH,TZN.

TAKICHPOWIERZCHNI,KTÓREMAJ¡DWIESTRONY,AZATO

NIEMAJ¡ANIBRZEGU,ANI»ADNYCHNAKªU¢CZYROZCI¦¢,

ANIPOWYCI¡GANYCHNIESKO«CZENIEDALEKOODNÓG.JESTTO

LISTAPONUMEROWANAWSZYSTKIMILICZBAMINATURALNYMI;

NAJEJPIERWSZYMMIEJSCUFIGURUJESFERA 2 ,NADRUGIM

{TORUS 2 ,NATRZECIM{PRECEL,KTÓRYUZYSKUJEMY

WYCI¡WSZYWTORUSIEDWAOTWORYIDOKLEIWSZYWTO

MIEJSCERURK¦ITD.OTRZYMUJEMYWTENSPOSÓB,

JAKMÓWIMATEMATYK, KLASYKACJ¦ZDOKªADNO±CI¡

DOHOMEOMORZMU :DWIEPOWIERZCHNIEUZNAJEMYZA

IDENTYCZNE,JE±LIISTNIEJECI¡GªEIRÓ»NOWARTO±CIOWE

PRZEKSZTAªCENIEJEDNEJZNICHNADRUG¡.OZNACZATO,

»EPOWIERZCHNI¦SYMETRYCZNEGOTORUSAOBROTOWEGO

UTO»SAMIAMYZPOWIERZCHNI¡KUBKAZJEDNYMUCHEM.

(WI¦CEJNATEMATDWUWYMIAROWYCHPOWIERZCHNI{PATRZ

ARTYKUªJ.GÓRNICKIEGO KILKASªÓWOPOWIERZCHNIACH ,

DELTA 6/1995.)

3. W1904ROKUPOINCAREWYRAZIªPRZYPUSZCZENIE,

»ESFER¦ 3 SPO±RÓDINNYCHTRÓJWYMIAROWYCH

ROZMAITO±CIZWARTYCHWYRÓ»NIATASAMAWªASNO±¢,KTÓRA

CHARAKTERYZUJEOJEDENWYMIARNI»EJJEJKOLE»ANK¦ 2 .

MIANOWICIE,

JE±LINATRÓJWYMIAROWEJZWARTEJROZMAITO±CIM 3

(BEZBRZEGU)KA»D¡KRZYW¡ZAMKNI¦T¡MO»NA

WSPOSÓBCI¡GªYZDEFORMOWA¢DOPUNKTU,TOM 3 JEST

HOMEOMORCZNAZESFER¡

3 .

TOWªA±NIEJESTHIPOTEZAPOINCAREGO.COCIEKAWE,JEJ

UOGÓLNIENIANAROZMAITO±CIWYMIARU N 4ZOSTAªYJU»

4. WKO«CULAT70.XXWIEKUTHURSTONWYSUN¡ª

DALEKOSI¦»N¡HIPOTEZ¦,GªOSZ¡C¡,»EKA»D¡ROZMAITO±¢

TRÓJWYMIAROW¡MO»NAROZCI¡¢{PROWADZ¡C

(DWUWYMIAROWE)CI¦CIAWZDªU»SFER 2 LUBTORUSÓW 2

ZWRÓ¢MYUWAG¦,»EW±RÓDTYCHPOWIERZCHNIJEDYNIE

SFERAMAT¦WªASNO±¢,»EKA»D¡POªO»ON¡NANIEJKRZYW¡

ZAMKNI¦T¡MO»NAWSPOSÓBCI¡GªY,BEZROZRYWANIA,

{NASKO«CZON¡LICZB¦CZ¦±CI,ZKTÓRYCHKA»D¡MO»NA

SKLEJAJ¡CPARYPRZECIWLEGªYCH±CIANSZE±CIANU,

(C)PRODUKTKARTEZJA«SKIOKR¦GUIPRECLAZRYSUNKU1.

UDOWODNIONE.

WYPOSA»Y¢WJEDN¡ZMODELOWYCHGEOMETRII.OZNACZA

TO,MÓWI¡CM¦TNIE,»ENAKA»DEJCZ¦±CIMO»NATAK

OKRE±LI¢SPOSÓBPOMIARUODLEGªO±CI,BYINTELIGENTNE

ZIELONELUDZIKIWYPOSA»ONEWYª¡CZNIEWTA±M¦

MIERNICZ¡NIEPOTRAFIªYWOBR¦BIEDANEJCZ¦±CIODRÓ»NIA¢

ROZMAITYCHMIEJSCPRZESTRZENI,GDY»WSZYSTKOWSZ¦DZIE

WYGL¡DAIDENTYCZNIEIJE±LINAWETPOJAWIAJ¡SI¦JAKIE±

ZAKRZYWIENIACZYSKR¦CENIAPRZESTRZENI,TOICHSTRUKTURA

JESTWKA»DYMPUNKCIETAKASAMA.WWYMIARZE2

DOBREPRZYKªADYTAKIEJSYTUACJITOZWYKªAPªASZCZYZNA,

SFERA 2 IPªASZCZYZNAOBACZEWSKIEGO.THURSTON

WYKAZAª,»EWWYMIARZE3TAKICHELEGANCKICH

MODELOWYCHGEOMETRIIJESTDOKªADNIEOSIEM.

D T G IJ ( T )= 2 R IJ ( T ) ;

GDZIE R IJ ( T )JESTTENSOREMRICCIEGOOKRE±LONYMPRZEZ

METRYK¦WCHWILI T .RODZINA G IJ ( T )TOWªA±NIE POTOK

RICCIEGO .

CZYTELNIK,KTÓRYNIEWIE,COTOJESTMETRYKA

RIEMANNOWSKAIKRZYWIZNARICCIEGO,NIEPOWINIENSI¦

PRZEJMOWA¢,TYLKOPRZYWOªA¢PRZEDOCZYWYIMAGINOWANY

OBRAZPOWYGINANEJPRZESTRZENNEJSIATECZKIDO

POMIARUODLEGªO±CI,PÓLIOBJ¦TO±CI,CZEGO±WRODZAJU

TRÓJWYMIAROWEGOIPOWYKRZYWIANEGOODPOWIEDNIKA

PAPIERUMILIMETROWEGO(AJESZCZELEPIEJPRZEZROCZYSTEJ

FOLIIMILIMETROWEJ).NALE»YSOBIEWYOBRAZI¢,»EOWA

SIATECZKAO»YWAIZACZYNASI¦PORUSZA¢,PªYNNIE

ZMIENIAJ¡CKSZTAªTY.PR¦DKO±CIS¡WRÓ»NYCHMIEJSCACH

RÓ»NE.COSI¦DZIEJEZODLEGªO±CIAMI?ABYODPOWIEDZIE¢

NATOPYTANIE,NALE»YUSTALI¢WPRZESTRZENIPUNKT

IKIERUNEK,ANAST¦PNIEPRZEANALIZOWA¢KRZYWIZN¦

WSZYSTKICHNIEWIELKICHDWUWYMIAROWYCHŸPªATKÓW"

PRZESTRZENI,KTÓRES¡WTYMPUNKCIESTYCZNEDOOWEGO

KIERUNKU(WZWYKªEJPRZESTRZENIEUKLIDESOWEJBYªBYTO

P¦KPªASZCZYZN).JE±LIW±RÓDOWYCHPªATKÓWPRZEWA»AJ¡

TAKIE,KTÓREWYGL¡DAJ¡JAKFRAGMENTYPOWIERZCHNI

SFERYCZYELIPSOIDY,TOODLEGªO±¢WDANYMKIERUNKUSI¦

ZMNIEJSZA,GDYCZASRO±NIE.JE±LIWI¦CEJJESTPªATKÓW

WKSZTAªCIESIODEª,TOODLEGªO±¢WDANYMKIERUNKU

RO±NIEWRAZZUPªYWEMCZASU.

5. MNIEJWI¦CEJ20LATTEMUHAMILTONNAKRE±LIª±MIAªY

PROGRAMPRACNADHIPOTEZ¡GEOMETRYZACYJN¡THURSTONA.

OTOZARYSPOMYSªU:NALE»YWZI¡¢ROZMAITO±¢,WYPOSA»Y¢

WJAK¡KOLWIEKMETRYK¦,ANAST¦PNIEPU±CI¢WRUCH,

WTAKISPOSÓB,ABYPR¦DKO±CIRÓ»NYCHPUNKTÓWZALE»AªY

(WJAKI±SPOSÓB)ODKRZYWIZNYWDANYMMIEJSCU.

POCO?OTÓ»POTO,»EBYNAJLEPIEJCAªAROZMAITO±¢,ALBO

PRZYNAJMNIEJJEJPOKA¹NEFRAGMENTY,NABRAªYZGRABNEGO,

SYMETRYCZNEGOKSZTAªTU.

OPROSTYMPRZYKªADZIEPODOBNEGORUCHUKRZYWYCH

IPOWIERZCHNI{TZW.EWOLUCJIKRZYWIZNOWEJ

I±REDNIOKRZYWIZNOWEJ{MO»NAPOCZYTA¢W DELCIE

4/2003.ODSYªAMTAMPONIECOWI¦CEJSZCZEGÓªÓW;

WSPOMN¦TUJEDYNIE,»EJE±LIPR¦DKO±¢ZAMKNI¦TEJ

KRZYWEJPªASKIEJJESTRÓWNAKRZYWI¹NIEISKIEROWANA

WZDªU»WEKTORANORMALNEGO,TOWSZELKIEFAªDKI,

WKL¦SªO±CIIZAWIJASYOWEJKRZYWEJULEGAJ¡STOPNIOWEMU

WYGªADZENIUIKONIECKO«CÓWKRZYWAPRZYPOMINA

IDEALNYOKR¡G.ZUPEªNIENIEMAZNACZENIA,JAKWYGL¡DAªA

NAPOCZ¡TKU.WPRZYPADKUPOWIERZCHNIJESTGORZEJ{

MOG¡POJAWIA¢SI¦ROZMAITEOSOBLIWO±CI,GDY»CIENIUTKIE

RURECZKIKURCZ¡SI¦ZNACZNIESZYBCIEJNI»P¦KATEB¡BLE.

LOKALNIE,WTAKZWANYCHNORMALNYCHUKªADACH

WSPÓªRZ¦DNYCH,WYGL¡DATO NIEMAL TAK,JAKBY

WSZYSTKIEWSPÓªRZ¦DNEMETRYKISPEªNIAªY,PRZY

ODPOWIEDNIMWYBORZEJEDNOSTEKCZASU,ZWYKªERÓWNANIE

PRZEWODNICTWACIEPLNEGO(PATRZ DELTA 12/1998).

NIEMAL ,GDY»OBECNEJESTNIELINIOWEZABURZENIE,

COSPRAWIA,»EZOWEGOLOKALNEGOOBRAZKANIEMO»NA

POCHOPNIEWYCI¡GA¢GLOBALNYCHIDALEKOSI¦»NYCH

WNIOSKÓW.WIADOMOJEDNAK,»ERÓWNANIEPRZEWODNICTWA

CIEPLNEGOWYGªADZAWSZELKIEPOCZ¡TKOWENIEREGULARNO±CI

TEMPERATURY(JAKSI¦WªO»YDU»¡IMOCN¡GRZAªK¦

DOWIADRA,TOWKO«CUCAªAWODASI¦ZAGOTUJE).

ST¡DNADZIEJA,»EPOTOKRICCIEGOPOMAGANADAWA¢

WSZELKIMROZMAITO±CIOMPORZ¡DN¡,REGULARN¡STRUKTUR¦

GEOMETRYCZN¡.

WWYMIARZE3NALE»Y,POPIERWSZE{ODPOWIEDNIO

ZDEFINIOWA¢SAMŸRUCH"ROZMAITO±CI,PODRUGIE{

WYKAZA¢ISTNIENIEROZWI¡ZA«,POTRZECIE{PRZEWIDZIE¢

CHARAKTEROSOBLIWO±CIIJAKNAJDOKªADNIEJJEOPISA¢,

POCZWARTE{NAUCZY¢SI¦ZAPOBIEGA¢WYST¦POWANIU

OSOBLIWO±CIPOPRZEZSPRYTNEROZCINANIEROZMAITO±CI

NAODPOWIEDNIECZ¦±CIWODPOWIEDNICHMIEJSCACH

(PATRZRYS.2).POPI¡TE{TRZEBATOROBI¢TAK,»EBY

ZACHOWA¢KONTROL¦NADKSZTAªTEMITOPOLOGI¡ODCINANYCH

FRAGMENTÓW.

RYS. 2. W¡SKA RURKA KURCZYSI¦SZYBCIEJNI»POZOSTAªECZ¦±CI

ROZMAITO±CI.ABY ZAPOBIECKATASTROFIE,NALE»YDOKONA¢ ZAPOBIEGAWCZEJ

CHIRURGII:ZAWCZASUWYCI¡¢ KOLOROW¡ CZ¦±¢RURKI,A DWA OTWORY ZALEPI¢

MAªYMICZAPECZKAMI.ROZDZIELONECZ¦±CIEWOLUUJ¡ DALEJOSOBNO.

HAMILTONWYKAZAªISTNIENIEROZWI¡ZA«POTOKU

RICCIEGONAMAªYCHPRZEDZIAªACHCZASU.WWIELU

PRACACHPOWSTAªYCHWLATACH1982{1997OPISAªLICZNE

WªASNO±CITEGOPOTOKUIJEGOZACHOWANIEWROZMAITYCH

SZCZEGÓLNYCHPRZYPADKACH.NIEUDAªOMUSI¦JEDNAK

OPRACOWA¢ODPOWIEDNIEGOSYSTEMUKONTROLIOSOBLIWO±CI

ANIWYKLUCZY¢POJAWIANIASI¦OSOBLIWO±CISZCZEGÓLNIE

NIEPO»¡DANYCH,KTÓREW»ARGONIENAZYWASI¦CYGARAMI,

ZTEGOWZGL¦DU,»EFRAGMENTROZMAITO±CIZACZYNAWTEDY

WYGL¡DA¢MNIEJWI¦CEJTAK,JAKPRODUKTKARTEZJA«SKI

OKR¦GUIPOWIERZCHNISZALENIEDªUGIEGOICIENKIEGO

CZUBKACYGARA.ABEZTAKIEGOSYSTEMUKONTROLI

ATWOPOWIEDZIE¢,TRUDNIEJZROBI¢.HAMILTON

ZAPROPONOWAª,»EBYDEFORMOWA¢METRYK¦ZPR¦DKO±CI¡

RÓWN¡MINUSPODWOJONEJKRZYWIZNIERICCIEGO,TZN.

NADANEJROZMAITO±CI M BUDOWA¢TAK¡RODZIN¦ZALE»NYCH

ODCZASU T METRYKRIEMANNOWSKICH G IJ ( T ),BY

NIEMACOMARZY¢OZAPOBIEGAWCZYCHCHIRURGIACH

IOPRZEDªU»ANIUPOTOKURICCIEGOPOZAOSOBLIWO±CI.

ZFIZYKISTATYSTYCZNEJ,JESTWRESZCIEPOMYSªOWY

FUNKCJONAªENTROPII,KTÓRYPOZWALAWYKLUCZY¢POJAWIANIE

SI¦NIEPO»¡DANYCHCYGAR.WSZYSCYS¡ZGODNI,»ENAWET

JE±LIGDZIE±ZNAJDZIESI¦JESZCZEJAKA±LUKA,KTÓRA

SPOWODUJE,»EHIPOTEZATHURSTONAIHIPOTEZAPOINCAREGO

POZOSTAN¡HIPOTEZAMI,TOITAKTO,COJU»ZOSTAªO

SPRAWDZONE,JESTWIELKIMOSI¡GNI¦CIEM.

6. CÓ»WI¦CZROBIªPERELMAN?POPIERWSZE,KORZYSTAJ¡C

ZPRACHAMILTONAOª¡CZNEJOBJ¦TO±CIPONAD400STRON,

SKONSTRUOWAªNARZ¦DZIA,DZI¦KIKTÓRYMMO»NADOSTRZEGA¢

IWPEªNIKONTROLOWA¢NADCHODZ¡CEOSOBLIWO±CI.JESTTO

SKRAJNIETRUDNEDLATEGO,»EOSOBLIWO±CIMOG¡NARASTA¢

WRÓ»NYMTEMPIE,WRÓ»NYCHMIEJSCACHIWRÓ»NYCH

SKALACH.PODRUGIE,OPRACOWAªTAK¡METOD¦WYBORU

CHWIL,WKTÓRYCHDOKONUJESI¦ZAPOBIEGAWCZYCHCHIRURGII,

»EPOSKO«CZONEJLICZBIECI¦¢WZDªU»SFERIODDZIELENIUOD

WYJ±CIOWEJROZMAITO±CIKAWAªKÓWO±CI±LEKONTROLOWANYCH

KSZTAªTACHZOSTAJEJESZCZEŸCO±",WCZYMMO»NA

WYRÓ»NI¢CZ¦±CIŸGRUBE"ICZ¦±CIŸCIENKIE",POSKLEJANE

WZDªU»TORUSÓW 2 .TOŸCO±"MO»EBY¢WPRAWDZIE

7. UPRAWIANIEMATEMATYKICZ¦STOPORÓWNUJESI¦

DOCHODZENIAPOWYSOKICHGÓRACH.NIEJESTTOCAªKOWICIE

POZBAWIONESENSU,GDY»JEDN¡ZMO»LIWYCHODPOWIEDZI

NAPYTANIE,DLACZEGOWªA±CIWIEZAJMOWA¢SI¦HIPOTEZ¡

POINCAREGO,JESTODPOWIED¹MORALNEGOZDOBYWCY

EVERESTU,MALLORY'EGO: WGÓRYCHODZISI¦DLATEGO,

»ES¡ .

BARDZOZAWIªE,ALEJEGOSTRUKTUR¦EKSPERCIODGEOMETRII

TRÓJWYMIAROWYCHROZMAITO±CIROZUMIEJ¡NATYLEDOBRZE,

»EBYDOKªADNIEOPISA¢WYGL¡DCZ¦±CIGRUBYCHICIENKICH

DLADU»YCHCZASÓW T .ITO(PODOBNO)JU»WYSTARCZY :::

NIEWIEM,CZYPERELMANCHODZIPOGÓRACH.

PRZYPOMNIAªAMISI¦JEDNAKZTEJOKAZJI

PIOSENKAOGÓRACH WªODZIMIERZAWYSOCKIEGO,WKTÓREJ

NARRATOR,WSZAKRÓWNIE»ALPINISTA,MIESZAPOKOR¦WOBEC

MAJESTATUGÓRI ±NIEGÓWTAJ¡CYCHIMIONAPOLEGªYCH

ZNUTK¡ZAWADIACKIEJDUMYZPRZEBYTEJWªA±NIENOWEJ

DROGI.NIEUDOLNIEKARTKUJ¡CWSPOMNIANEWY»EJPREPRINTY

ILICZNEDONICHUZUPEªNIENIAIKOMENTARZE,WIELEKRO¢

MY±LAªEM,»EGRISZAPERELMANMIAªBYPEªNEPRAWOT¦

PIOSENK¦NUCI¢.

PRACEPERELMANAS¡NIEZWYKLEBOGATE.PRÓCZOGROMU

WYOBRA¹NIGEOMETRYCZNEJS¡WNICHOCZYWI±CIERÓWNANIA

RÓ»NICZKOWEOPISUJ¡CE,JAKZUPªYWEMCZASUZMIENIA

SI¦METRYKA,KRZYWIZNA,OBJ¦TO±CIKULITP.,JESTMASA

NIERÓWNO±CICAªKOWYCH,S¡ANALOGIEIINTUICJECZERPANE

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: