POMIAR <*> "Studia Logica" 1961, t. XI. str. 223-231. 1. Mierz�c jaki� przedmiot, mo�emy go mierzy� pod r�nymi wzgl�dami. Mierz�c dany pr�t mo�emy go mierzy� pod wzgl�dem jego d�ugo�ci lub pod wzgl�dem jego obj�to�ci, pod wzgl�dem jego ci�aru itd. Niezb�dnym za�o�eniem ka�dego pomiaru jest wi�c ustalenie tego, pod jakim wzgl�dem pomiar ma by� przeprowadzony. Czym jest �w "wzgl�d", pod kt�rym pomiar przeprowadzamy, a wi�c np. d�ugo��, obj�to��, ci�ar? Jest to zawsze pewien rodzaj, a wi�c pewna klasa cech mi�dzy sob� roz��cznych, to znaczy takich, z kt�rych dwie r�ne nie przys�uguj� nigdy temu samemu przedmiotowi. Np. d�ugo�� jest to rodzaj, czyli klasa cech, do kt�rej nale�� r�ne d�ugo�ci, np. d�ugo�� 1 m, d�ugo�� 2 m itd., kt�re s�, oczywi�cie, mi�dzy sob� roz��czne. Ka�dy rodzaj, czyli klasa cech roz��cznych, wyznacza pewien stosunek, kt�rego polem jest zbi�r wszystkich przedmiot�w posiadaj�cych jak�� spo�r�d cech tego rodzaju. Jest to mianowicie stosunek, kt�ry zachodzi mi�dzy dwoma takimi przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy maj� t� sam� cech� danego rodzaju. Np. d�ugo�� wyznacza stosunek zachodz�cy pomi�dzy dwoma przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy oba maj� t� sam� d�ugo��. Stosunek polegaj�cy na posiadaniu tej samej cechy spo�r�d roz��cznych cech rodzaju P jest oczywi�cie stosunkiem zwrotnym i symetrycznym w zbiorze przedmiot�w posiadaj�cych kt�r�� z cech rodzaju P. Ka�dy bowiem przedmiot posiadaj�cy jak�� z cech rodzaju P zgadza si� sam ze sob� co do tej cechy. Je�eli przedmiot a zgadza si� z przedmiotem b co do posiadanej cechy rodzaju P, to przedmiot b zgadza si� te� z przedmiotem a co do tego. Jest on te� stosunkiem przechodnim, bo gdyby przedmioty a i b mia�y t� sam� cech� rodzaju P, i przedmiot b oraz c mia�y t� sam� cech� rodzaju P, za� przedmioty a i c nie mia�y tej samej cechy rodzaju P, to cecha rodzaju P wsp�lna przedmiotom a i b oraz cecha rodzaju P wsp�lna przedmiotom b i c nie mog�aby by� t� sam� cech�, gdy� wtedy przedmiot a i przedmiot c mia�yby jak�� wsp�ln� cech� rodzaju P. Je�li jednak inna cecha rodzaju P by�aby wsp�lna przedmiotom a i b i inna cecha tego rodzaju by�a wsp�lna przedmiotom b i c, to wtedy przedmiot b posiada�by dwie r�ne cechy rodzaju P. To jednak jest niemo�liwe, je�eli cechy rodzaju P s� roz��czne. Stosunek polegaj�cy na posiadaniu tej samej cechy spo�r�d roz��cznych cech rodzaju P jest zatem stosunkiem zwrotnym, symetrycznym i przechodnim, a wi�c pewnego rodzaju r�wno�ci�. Nazywamy go r�wno�ci� pod wzgl�dem P. Stwierdzili�my na wst�pie, �e niezb�dnym za�o�eniem ka�dego pomiaru jest ustalenie tego, pod jakim wzgl�dem pomiar �w ma by� przeprowadzony. Zobaczyli�my jednak, �e z chwil�, gdy �w "wzgl�d" jest ustalony, ustalone jest tak�e, kiedy dwa przedmioty s� pod tym wzgl�dem r�wne. Wynika z tego, �e dop�ki, nie jest ustalone, kiedy dwa przedmioty s� pod danym wzgl�dem r�wne, dop�ty te� nie jest ustalone, pod jakim wzgl�dem pomiar przeprowadzamy. Mo�emy wi�c powiedzie�, �e niezb�dnym za�o�eniem ka�dego pomiaru jest ustalenie pewnej r�wno�ci, mianowicie: r�wno�ci przedmiot�w, pod tym wzgl�dem, pod kt�rym chcemy je mierzy�. Z drugiej strony wiadomo z teorii stosunk�w, �e ka�dy stosunek r�wno�ciowy wyznacza w spos�b jednoznaczny pewien podzia� logiczny swego pola, a wi�c wyznacza pewn� rodzin� roz��cznych jego podklas, kt�rych suma z polem tym si� pokrywa. Jest to - jak wiadomo - rodzina klas abstrakcji ze wzgl�du na ten stosunek, tzn. rodzina klas z�o�onych ze wszystkich i tylko tych przedmiot�w, kt�re do jakiego� przedmiotu w tym stosunku pozostaj�. Ka�dej z tych podklas odpowiada cecha dla niej charakterystyczna, a ich rodzinie odpowiada rodzaj tych cech, czyli tzw. "wzgl�d", pod kt�rym cechy te przedmiotom przys�uguj�. Jak z tego wida�, ustalenie "wzgl�du", pod kt�rym przedmioty maj� by� mierzone, jest r�wnowa�ne z ustaleniem odpowiedniego stosunku r�wno�ciowego tzn. z ustaleniem, kiedy dwa przedmioty mierzone b�d� uwa�ane przy tym pomiarze za r�wne. Idzie tu oczywi�cie o r�wno�� pod pewnym wzgl�dem, a nie o identyczno��. A wi�c np. ustalenie tego, co to jest d�ugo��, jest r�wnowa�ne z ustaleniem tego, kiedy dwa przedmioty s� r�wnie d�ugie; ustalenie tego, co to jest ci�ar, jest r�wnowa�ne z ustaleniem tego, kiedy dwa cia�a s� r�wnie ci�kie itd. Twierdzenie to jest oczywist� konsekwencj� znanej z teorii stosunk�w zasady dzi�ki tej r�wnowa�no�ci tzw. "wzgl�d", pod kt�rym zamierzamy przedmioty mierzy�, mo�e zosta� ustalony przez okre�lenie, kiedy dwa przedmioty uwa�a� b�dziemy za r�wne przy pomiarach danego rodzaju. W praktyce mierzenia rozpoczynamy te� zazwyczaj wyk�ad definicji stanowi�cych podstawowe za�o�enia danego pomiaru od odpowiedniej definicji r�wno�ci. Jest rzecz� jasn�, �e wraz ze zmian� definicji r�wno�ci otrzymywa� b�dziemy inne wyniki pomiaru. W szczeg�lno�ci, przy pomiarach przestrzennych przy pewnej definicji stosunku r�wnej d�ugo�ci mo�emy otrzyma� wyniki pomiar�w, kt�re potwierdz� geometri� euklidesow�, przy innej jednak definicji stosunku r�wnej d�ugo�ci mo�emy otrzyma� wyniki pomiar�w, kt�re nie b�d� si� zgadza�y z geometri� euklidesow�, ale potwierdz� jak�� inn� geometri�. Ten stan rzeczy m�g�by zosta� wypowiedziany w tych s�owach, �e to, za jak� geometri� opowie si� pomiar, a wi�c do�wiadczenie, zale�y od przyj�tych definicji pomiarowych. St�d mo�na by snu� wnioski, �e wobec tego, i� definicje pomiarowe s� arbitralne, od naszych arbitralnych konwencji definicyjnych zale�y te� to, czy przestrze� rzeczywista jest, czy te� nie jest euklidesowa. Sformu�owanie to brzmi bardzo sensacyjnie; nie jest te� pozbawione pewnej intelektualnej pikanterii i mog�oby by� uwa�ane za otwarcie drogi do idealizmu ontologicznego. Je�eli jednak b�dziemy sobie zdawali spraw� z tego, �e zmieniaj�c definicj� r�wnej d�ugo�ci, zmieniamy sens s�owa "d�ugo��", �e pomiary oparte na jednej definicji r�wnej d�ugo�ci s� pomiarami tych�e przedmiot�w pod innym wzgl�dem ni� pomiary oparte na innej definicji r�wnej d�ugo�ci, to posmak sensacji odpadnie. Nie ma przecie� nic sensacyjnego w tym, �e mierz�c przedmioty pod jednym wzgl�dem, otrzymamy wyniki doprowadzaj�ce do jednej teorii, a mierz�c je pod innym wzgl�dem, otrzymamy wyniki doprowadzaj�ce do innej teorii, ca�kowicie r�nej od pierwszej. Arbitralno�� definicji pomiarowych, a w szczeg�lno�ci arbitralno�� definicji r�wno�ci i wszystkie p�yn�ce z niej konsekwencje s� tylko prost� konsekwencj� tego, �e od naszej swobodnej decyzji zale�y to ca�kowicie, pod jakim wzgl�dem chcemy przedmioty poddawa� pomiarowi. 2. Wszelki pomiar polega na przyporz�dkowaniu przedmiotom mierzonym czy te� ich cechom przys�uguj�cym im pod tym wzgl�dem, pod kt�rym je mierzymy, pewnych liczb jako ich miary. Cechom przedmiot�w mierzonych (ich d�ugo�ciom, ci�arom lub tp.) przyporz�dkujemy ich liczbowe miary w spos�b wzajemnie jednoznaczny, przedmiotom za� w spos�b wielo-jednoznaczny: t� sam� miar� liczbow� przyporz�dkujemy wszystkim przedmiotom, kt�re s� r�wne pod danym wzgl�dem. Przyporz�dkowanie przez pomiar przedmiotom mierzonym czy te� ich cechom pewnych liczb jako ich miar dokonywane jest jednak w spos�b osobliwy. Nie jest to mianowicie przyporz�dkowanie zupe�nie dowolne i nic nie m�wi�ce, jak np. to, kt�rego dokonywamy przeprowadzaj�c zwyk�� numeracj� przedmiot�w. Przyporz�dkowanie dokonywane przez pomiar jest takie, �e pozwala ze stosunk�w pomi�dzy przyporz�dkowanymi przedmiotom liczbami wnioskowa� o zachodzeniu odpowiednich stosunk�w pomi�dzy tymi przedmiotami. Je�li np. wa��c trzy przedmioty, znajd� jako ich miary liczbowe pod wzgl�dem ci�aru odpowiednio liczby 5, 3 i 2, to z tego, �e 5=3+2, b�d� m�g� wnosi�, �e waga obci��ona na jednej szalce cia�em o mierze 5, a na drugiej cia�ami o mierze 3 i 2 b�dzie si� znajdowa�a w r�wnowadze. Je�li jaka� relacja R odwzorowuje pole stosunku S na polu stosunku T w spos�b wzajemnie jednoznaczny i tak, �e ilekro� mi�dzy przedmiotami x i y zachodzi stosunek T, tylekro� mi�dzy przyporz�dkowanymi tym przedmiotom przez relacj� R przedmiotami x' i y' zachodzi stosunek S, i na odwr�t, w�wczas m�wimy, �e relacja R odwzorowuje relacj� S na relacji T w spos�b "izomorficzny". Je�li za� relacja R odwzorowuje pole relacji S na polu relacji T w spos�b wielo-jednoznaczny i to tak, �e ilekro� mi�dzy dwoma przedmiotami x i y zachodzi relacja T, tylekro� mi�dzy dowolnymi dwoma przedmiotami, kt�rym relacja R przyporz�dkowuje przedmioty x i y, zachodzi relacja S - w�wczas m�wimy, �e relacja R odwzorowuje relacj� S na relacji T w spos�b "homomorficzny". Korzystaj�c z tej terminologii, b�dziemy mogli �w osobliwy spos�b, w jaki przez pomiar zostaj� mierzonym przedmiotom czy te� przys�uguj�cym im pod danym wzgl�dem cechom, przyporz�dkowane pewne liczby jako ich miary, scharakteryzowa� w nast�puj�cych s�owach. Pomiar przyporz�dkowuje mierzonym przedmiotom w spos�b wielo-jednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle takiej zasady (relacji), kt�ra pewne stosunki pomi�dzy liczbami odwzorowuje w spos�b homomorficzny na pewnych stosunkach pomi�dzy odpowiednimi przedmiotami. R�wnocze�nie pomiar przyporz�dkowuje cechom, przys�uguj�cym mierzonym przedmiotom pod pewnym wzgl�dem, w spos�b wzajemnie jednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle takiej zasady (relacji), kt�ra pewne stosunki mi�dzy liczbami odwzorowuje na pewnych stosunkach pomi�dzy odpowiednimi cechami w spos�b izomorficzny. 3. Zobaczymy teraz, jak wygl�da owa zasada czy te� relacja, wedle kt�rej mierz�c przedmioty, przyporz�dkowujemy im w spos�b wielo-jednoznaczny pewne liczby jako ich miary i kt�ra odwzorowuje pewne stosunki pomi�dzy liczbami w spos�b homomorficzny na pewnych stosunkach pomi�dzy odpowiednimi przedmiotami. Najpierw jedna...
maciejle1