Archimedes.docx

                             Archimedes z Syrakuz

Archimedes był greckim filozofem przyrody i matematykiem, urodzonym i zmarłym w Syrakuzach. Wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II. Był najwybitniejszym fizykiem i matematykiem starożytnej Grecji, jednym z największych uczonych starożytności. 

Opracował wzory na pole powierzchni i objętość walca, kuli i czaszy kulistej oraz rozważał objętości paraboloidy, hiperboloidy i elipsoidy obrotowej. Poprawnie oszacował wartość liczby π, którą oznaczył pierwszą literą greckiego wyrazu "perímetros" - obwód koła. Sformułował prawo Archimedesa. Podał zasadę dźwigni. Wynalazł udoskonalony wielokrążek i tzw. śrubę Archimedesa.

W czasie drugiej wojny punickiej kierował pracami inżyniernymi przy obronie Syrakuz. Był konstruktorem machin wojennych. Rzymianie myśleli, że sami bogowie bronią miasta, gdyż skonstruowane przez Archimedesa i schowane za murami machiny ciskały pociski w ich stronę.

Historię życia Archimedesa przyrównuje się często do procesu podbijania Starożytnej Grecji przez Republikę rzymską. Rzymianie swą okupacją spowodowali stagnację w rozwoju tak bogatej kultury, nauki i filozofii hellenistycznej, ale jednocześnie zachowali ogromny szacunek dla greckich osiągnięć, z których niejednokrotnie czerpali. Symbolem tego faktu jest właśnie śmierć Archimedesa – zabitego przez rzymskiego legionistę w chwili roztrząsania jakiegoś problemu matematycznego, a następnie z honorami pochowanego przez rzymskiego wodza. Później gorzko żałowano jego śmierci. Archimedes został zabity przez żołnierzy rzymskich po zdobyciu miasta, mimo wyraźnego rozkazu dowódcy, Marcellusa, by go ująć żywego. Zanim odcięto mu głowę miał powiedzieć "noli turbare circulos meos", co znaczy "nie zamazuj moich kół”. Na życzenie Archimedesa na jego nagrobku wyryto kulę, stożek i walec.

Legenda o odkryciu prawa wyporu

Władca Syrakuz Hieron II powziął podejrzenie, że złotnik, któremu powierzono wykonanie korony ze szczerego złota, sprzeniewierzył część otrzymanego na to kruszcu i w zamian dodał pewną ilość srebra. Aby rozwiać wątpliwości zwrócił się do Archimedesa z prośbą o ustalenie, jak sprawa ma się naprawdę. Prośbę swą Hieron II obwarował żądaniem, którego spełnienie przekreślało – wydawałoby się – możliwość uczynienia zadość życzeniu władcy. Otóż w żadnym wypadku Archimedes nie mógł zepsuć misternie wykonanej korony, istnego arcydzieła sztuki złotniczej. Długo, aczkolwiek bezskutecznie, fizyk rozmyślał nad sposobem wybrnięcia z sytuacji. Pewnego razu, zażywając kąpieli w wannie i nieustannie rozmyślając nad powierzonym mu zadaniem, zauważył, że poszczególne członki jego ciała są w wodzie znacznie lżejsze niż w powietrzu. Nasunęło mu to myśl, że istnieje określony stosunek między zmniejszeniem się ciężaru ciała zanurzonego, a ciężarem wypartego przez nie płynu (prawo Archimedesa). Zachwycony prostotą własnego odkrycia wybiegł nago z wanny z radością krzycząc Heureka! Heureka!, co znaczy po grecku Znalazłem!.

Stanąwszy przed obliczem Hierona Archimedes łatwo wykazał fałszerstwo złotnika. Okazało się bowiem, że korona wyparła więcej cieczy, niż równa jej co do wagi bryła złota, co oznacza, że miała większą objętość, a więc mniejszą gęstość – nie była wykonana w całości ze złota. Wbrew powszechnemu przekonaniu Archimedes nie zastosował jednak do zbadania korony swojego nowo odkrytego prawa – nie mierzył spadku jej ciężaru, lecz ilość wypartej wody.

Anegdota

Anegdota głosi, że pochłonięty rozwiązywaniem zadań matematycznych Archimedes przestał się myć, w wyniku czego zaczął wydzielać nieprzyjemny zapach. Gdy siłą nasmarowano go oliwą i ciągnięto by go wykąpać, kreślił na swoim ciele koła kontynuując swoje rozważania.

Dzieła Archimedesa:

·         O liczeniu piasku – o wielkich liczbach i o nieskończoności. Rozszerzył tu system liczbowy Greków (dotychczas sięgający liczby 10000 – miriada) i oszacował liczbę ziarenek piasku we wszechświecie jako . Największą rozważaną przez niego liczbą była .

·         O liniach spiralnych – wprowadził tu spiralę Archimedesa

·         O kuli i walcu – wyprowadza wzory na pole powierzchni i objętość kuli, walca i czaszy kulistej.

·         O konoidach i sferoidach – o krzywych stożkowych

·         O ciałach pływających – definicja praw hydrostatyki i aerostatyki

·         Elementy mechaniki – podstawy mechaniki teoretycznej

·         O liczbie PI – badał liczbę Pi

Odkrycia Archimedesa

·         prawo Archimedesa

·         aksjomat Archimedesa

·         zasadę dźwigni – sławne powiedzenie Archimedesa "Dajcie mi punkt podparcia, a poruszę Ziemię"

·         prawa równi

·         środek ciężkości i sposoby jego wyznaczania dla prostych figur

·         machiny obronne

·         udoskonalił wielokrążek i zastosował go do wodowania statków

·         śróba Archimedesa

·         zegar wodny

Jako pierwszy podał przybliżoną wartość liczby pi. Według jego oszacowania

Prawo Archimedesa

Prawo Archimedesa to podstawowe prawo hydro- i aerostatyki określające siłę wyporu. Nazwa prawa wywodzi się od jego odkrywcy Archimedesa z Syrakuz.

Wersja współczesna: Na ciało zanurzone w płynie (cieczy, gazie lub plazmie) działa pionowa, skierowana ku górze siła wyporu. Wartość siły jest równa ciężarowi wypartego płynu. Siła ta jest wypadkową wszystkich sił parcia płynu na ciało.

Stara wersja prawa: Ciało zanurzone w cieczy lub gazie traci pozornie na ciężarze tyle, ile waży ciecz lub gaz wyparty przez to ciało.

Aksjomat Archimedesa

Aksjomat Archimedesa to aksjomat geometrii głoszący, że każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. Z niego wynika nieograniczoność prostej. Został on wbrew nazwie sformułowany po raz pierwszy przez Eudoksosa, a nazwany w ten sposób przez Otto Stoltza w 1883. Geometrie nie spełniające go zwane są niearchimedesowymi.

Aksjomat Archimedesa ma odpowiednik w arytmetyce: Dla każdej pary dodatnich liczb rzeczywistych i istnieje taka liczba naturalna , że .

W teorii ciał uporządkowanych spełnianie aksjomatu Archimedesa charakteryzuje ciała izomorficzne z podciałami ciała liczb rzeczywistych. Innymi słowy: jeśli ciało uporządkowane nie jest izomorficzne z podciałem ciała liczb rzeczywistych, to ma elementy większe od wszystkich liczb naturalnych. Takie elementy nazywamy nieskończenie wielkimi.

Zasada dźwigni

Zasada dźwigni Archimedesa głosi, że jeżeli na dźwigni umieścimy dwa przedmioty tak, że będą one w równowadze, to ciężary tych przedmiotów są odwrotnie proporcjonalne do ich odległości od punktu podparcia dźwigni. Iloczyn długości jednego ramienia i siły działającej na to ramię jest równe iloczynowi długości drugiego ramienia i siły działającej na nie.

Warunek równowagi dźwigni: F1• r1= F2• r2

Prawo równi

Ciało poruszające się bez tarcia po równi pochyłej doznaje przyspieszenia w kierunku nachylenia równi, proporcjonalnego do iloczynu przyspieszenia i sinusa kąta nachylenia równi.

Środek ciężkości i sposoby jego wyrażania dla prostych figur:

Trójkąt

Istnieje wiele sposobów na wyznaczenie środków trójkąta jeden z nich prezentuję poniżej.
Poniżej Zamieszczam Animacje przedstawiającą położenie środka ciężkości w trójkątach. Aby zobaczyć środek ciężkości dla dowolnego trójkąta należy przesuwać punkty A,B,C . Natomiast pkt D,E,F są to środki boków na których są położone.
Środek wyznaczony dzięki symetralnym boków przechodzących przez przeciwne kąty oznaczone pkt.A,B,C.
Środek ciężkości możemy także bez problemu znaleźć w wszystkich figurach,gdzie następuję przecięcie się osi symetrii (minimum 2). Poniżej zamieszczam przykład figur foremnych wraz z ich przykładami

Środek ciężkości Trójkąta (obliczenia)

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

A=(a_1,a_2)

B=(b_1,b_2)

C=(c_1,c_2)

ma środek ciężkości (barycentrum) w punkcie:

Q_x=(a_1+b_1+c_1)/3,

Q_y=(a_2+b_2+c_2)/3.

Bryła jednorodna

Bryła Sztywna

Bryłą nazywa się układ wielu (na ogół) punktów materialnych, których wzajemne odległości pozostają stałe. Pojęcie bryły rozszerza się także na obiekty mikroskopowe, takie jak np. cząsteczki chemiczne. Rozkład mas w obrębie bryły opisuje się przez różne parametry, z których najważniejszymi są: środek masy oraz moment bezwładności.

Środek masy

Pojęcie to odnosi się nie tylko do brył sztywnych, ale także do dowolnego układu punktów materialnych. Jest to punkt geometryczny, w którym jakby koncentruje się masa całego układu. Jest to średnie położenie poszczególnych składowych układu. W przypadku brył jednorodnych środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym. Środek masy kuli leży w jej środku, środek masy odcinka znajduje się w jego połowie, środek masy trójkąta leży na przecięciu się jego środkowych.

Środek masy dwóch ciał o masach m oraz M określa się jako punkt leżący na odcinku łączącym te masy, przy czym md = MD

Ruch środka masy

Środek masy porusza się tak, jakby cała masa M ciała była skupiona w tym punkcie. Jego przyspieszenie a0 określone jest przez sumę sił zewnętrznych F działających na bryłę:

Oznacza to, że siły istniejące między poszczególnymi częściami ciała nie mają wpływu na jego ruch postępowy. Na mocy trzeciej zasady dynamiki Newtona siły wewnętrzne znoszą się parami. Gdy wypadkowa sił zewnętrznych równa jest zeru, środek masy spoczywa (lub porusza się jednostajnie po prostej). Ruch środka masy bryły utożsamiamy z jej ruchem postępowym.

Środek masy ,a środek cieżkości

Środek masy ciała lub układu ciał jest punktem, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii.

Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Gdy ciało wiruje lub drga, istnieje w tym ciele punkt zwany środkiem masy, który porusza się w taki sam sposób, w jaki poruszałby się pojedynczy punkt materialny poddany tym samym siłom zewnętrznym.

Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.

Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego pojęcia te często są mylone lub wręcz utożsamiane. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.

Dla układu Ziemia - Księżyc barycentrum znajduje się około 4600 km od środka Ziemi. Natomiast dla układu Słońce - Ziemia znajduje się ono około 450 km od środka Słońca. Układ Słońce - Jowisz ma barycentrum około 742 300 km od środka Słońca. W przypadku całego układu planetarnego nie ma stałego barycentrum ze względu na różne ułożenie planet wzg. siebie i Słońca.

Machiny obronne

Pazur Archimedesa
Archimedes zaprojektował go w celu obrony Syrakuz. Swoim kształtem przypominał ramię dźwigu, na którym zawieszony był ogromny metalowy hak. Kiedy pazur był opuszczany na nadpływający statek, mógł podnieść go do góry, następnie rozkołysać w powietrzu i bardzo szybko zatopić wraz z całą załogą. Potężne dźwigi żelaznymi szponami chwytały okręty za dzioby, podnosiły je w górę i rzucały w dół, tak że okręty przewracały się i tonęły.

Żelazne ręce

Najstraszniejsze były jednak „żelazne ręce”: rodzaj dźwigni, która wyrzucała kleszcze zaczepiające się o przód okrętu. Machina podnosiła okręt w górę, a następnie – jak pisze Liwiusz – „dźwignię spuszczano nagle w dół i okręt jakby spadając z murów uderzał o falę, przy wielkim strachu załogi”. Rzymskie statki spadały na burtę albo wywracały się do góry dnem lub na chwilę znikały pod wodą, tracąc przy okazji część załogi.

Balista

Balista to neurobalistyczna, starożytnamachina miotająca używana do czasów średniowiecza, najczęściej przy oblężeniach miast i umocnień, wystrzeliwująca pociski po torze płaskim.  Archimedes
budował wielkie katapulty (balisty), wyrzucające na nieprzyjaciół ogromne, ciężkie blokio ciężarze 250 kg na odległość kilkuset metrów, lub płonące żagwie.Do wyrzucania pocisków z kusz stosował już podobno prężność gorącej pary wodnej.

Promień Śmierci

Istnieje bardzo wiele wątpliwości na temat rzekomego śmiertelnego promienia, który opracować miał Archimedes. Większość z nich została rozwiana w roku 2005 kiedy Promień Śmierci został sprawdzony i przetestowany na jednym z amerykańskich uniwersytetów. Używając ponad stu luster, studentom udało się zniszczyć prowizorycznie przygotowany statek wykonany z drewna o grubości pięciu cali. Do osiągnięcia tego wystarczające było skierowanie luster i skupienie odbijającego się od nich światła na specyficznych punktach statku. Eksperyment ten został przeprowadzony ponownie, tym razem już na prawdziwej łodzi, znajdującej się na powierzchni wody (było to możliwe dzięki pomocy producentów programu Pogromcy Mitów). Oba doświadczenia udowodniły, że Promień Śmierci Archimedesa nie był tylko i wyłącznie teorią i że istnieje prawdopodobieństwo użycia takiej broni przeciwko rzymskim statkom podczas oblężenia starożytnej Syrakuzy.

Udoskonalił wielokrążek

Udoskonalił on wielokrążek i wykorzystał mechanizm do wodowania statków. Wielokrążek to układ cięgien i krążków umożliwiający przełożenie siły, dzięki któremu można np. podnieść duży ciężar, działając mniejszą siłą.Wielokrążek ma zastosowanie wszędzie tam, gdzie trzeba unieść duże ciężary przy użyciu małych silników lub rąk ludzkich: warsztaty mechaniczne, przenoszenie towarów na statki w żeglarstwie (talia).

Śruba Archimedesa

Podnośnik zbudowany ze śruby umieszczonej wewnątrz rury ustawionej skośnie do poziomu. W czasie pracy dolny koniec śruby zanurzony jest w wodzie, a obrót śruby wymusza jej ruch do góry. Ponieważ ilość wody nabierana przez śrubę jest zazwyczaj duża, mimo strat spowodowanych nieszczelnościami nie jest konieczne, by śruba przylegała ściśle do wnętrza rury.Śruba Archimedesa jest maszyną prostą, używaną od  czasów starożytnych do nawadniania kanałów irygacyjnych.

Zegar wodny

Zegar wodny lub klepsydra jest urządzeniem służącym do pomiaru czasu. Jego działanie opiera się o regularny i stały wypływ wody ze zbiornika zwykle przez niewielki otwór. Kontrola dokładności wypływu wody w tego typu urządzeniach jest dość trudna, dlatego zegary wodne nigdy nie osiągnęły dużej precyzji. Zegary wodne były jednymi z pierwszych sposobów pomiaru upływu czasu, które nie były zależne od obserwacji astronomicznych.

Źródła: www.wikipedia.pl, www.matmana6.pl, www.student.agh.edu.pl, www.matmabezgranic.blogspot.pl