10.pdf

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

10. 

10. METODA SIŁ - RAMA

Sposób rozwiązywania zadań metodą sił przeanalizujemy szczegółowo na konkretnych

przykładach liczbowych.

Zadanie 1

Wykonać wykresy sił wewnętrznych od obciążeń rzeczywistych układu statycznie niewyznaczalnego:

P = 54 kN

2 EJ

q = 9 kN/m

[m]

Rys. 10.1. Układ rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym

Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny. Wybieramy jeden z możliwych układów

podstawowych. Odrzucamy myślowo dwie podpory prętowe (pozostawiając jedynie utwierdzenie) i

zastępujemy je niewiadomymi siłami X 1 i X 2 .

P = 54 kN

X 2

X 1

2 EJ

q = 9 kN/m

[m]

Rys. 10.2. Układ podstawowy z niewiadomymi siłami X 1 i X 2

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

Aby układ ten był równoważny układowi rzeczywistemu należy go uzupełnić o układ równań

kanonicznych opisujących warunek identyczności kinematycznej:

{  11 ⋅ X 1  12 ⋅ X 2  1P = 0

(10.1)

W celu obliczenia przemieszczeń δ ik , wykonujemy wykresy momentów od sił jednostkowych

przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X 1 i X 2 , oraz od obciążenia zewnętrznego (rys. 10.2). Wykresy

te nazwiemy kolejno M 1 (rys. 10.3), M 2 (rys. 10.4), M P 0 (rys. 10.5).

X 1 = 1

X 2 = 1

M 1 [m]

M 2 [m]

[m]

Rys. 10.3. Wykres momentów od siły jednostkowej

przyłożonej w miejsce niewiadomej X 1

Rys. 10.4. Wykres momentów od siły jednostkowej

przyłożonej w miejsce niewiadomej X 2

M P 0 [kN/m]

126

1 2

[m]

Rys. 10.5. Wykres momentów od obciążenia zewnętrznego

Mając gotowe wykresy momentów możemy przystąpić do obliczania współczynników równań

kanonicznych (10.1) przy wykorzystaniu metody Maxwella-Mohra. Uwzględniając jedynie momenty zginające

przemieszczenie obliczamy ze wzoru:

 ik = ∑∫ j

M i M k

(10.2)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

 21 ⋅ X 1  22 ⋅ X 2  2P = 0

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

Dla uproszczenia całkowania skorzystamy z numerycznej metody Wereszczagina – Mohra

 11 = 1

EJ [ 1 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2

3 ⋅ 3

2EJ [ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ]= 27 m 3

EJ [ 1 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2

]  1

 22 = 1

3 ⋅ 3

2EJ ⋅[ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ]= 27 m 3

 12 = 21 =− 1

2EJ [ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ]=− 18 m 3

2EJ [ 126  54

] = 468 kNm 3

 1P = 1

2 ⋅ 4 ⋅ 3 − 2

3 ⋅ 9 ⋅ 4 2

8 ⋅ 4 ⋅ 3

[ 2 ⋅ 1 ⋅ 54 ⋅  − 3 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2  ]  1

2EJ [ 3 ⋅ 9 ⋅ 4 2

] =− 540 kNm 3

 2P = 1

8 ⋅ 4 ⋅ 3 − 126  54

2 ⋅ 4 ⋅ 3

Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:

{

EJ ⋅ X 1 − 18

EJ ⋅ X 2  468

EJ = 0

− 18

EJ ⋅ X 1  27

EJ ⋅ X 2 − 540

EJ = 0

Z rozwiązania powyższego układu równań otrzymamy następujące wyniki:

{ X 1 =− 7,2 kN

X 2 = 15,2 kN

Warto przy tym zadaniu zastanowić się nad sensem wprowadzania niewiadomych w postaci grupy sił.

Rys. 10.6 przedstawia układ podstawowy dla tego zadania przyjęty jak poprzednio, z tą różnicą, że zamiast

niewiadomych sił X 1 i X 2 wprowadzono grupy sił Z 1 i Z 2 .

P = 54 kN

Z 1

Z 2

2 EJ

q = 9 kN/m

[m]

Rys. 10.6. Układ podstawowy z niewiadomymi Z 1 i Z 2

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

]  1

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

Wykonajmy zatem ponownie wykresy momentów, tym razem od grup sił Z 1 i Z 2 . Wykresy te nazwiemy

kolejno M 1 ' (rys. 10.7) i M 2 ' (rys. 10.8). Tym razem układ równań kanonicznych ma postać:

{  ' 11 ⋅ Z 1  ' 12 ⋅ Z 2  ' 1P = 0

 ' 21 ⋅ Z 1  ' 22 ⋅ Z 2  ' 2P = 0

Z 1 = 1

Z 2 = 1

M 1 ' [m]

M 2 ' [m]

[m]

Rys. 10.7. Wykres momentów od sił jednostkowych

przyłożonych w miejsce niewiadomych Z 1

Rys. 10.8. Wykres momentów od sił jednostkowych

przyłożonych w miejsce niewiadomych Z 2

Przyglądając się wykresom M 1 ' i M 2 ' można zauważyć, że niektóre przemieszczenia będą zerowe.

Spróbujmy zatem sprawdzić czy nasze spostrzeżenia są słuszne i obliczmy ponownie przemieszczenia z

układu równań kanonicznych:

EJ  2 ⋅ 1 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2

3 ⋅ 3

 = 18 m 3

EJ  2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3  = 0

 ' 12 = 21 = 1

EJ ⋅ 18  1

2EJ ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 = 90 m 3

[ 1 2 ⋅ 1 ⋅ 54 ⋅  1 3 ⋅ 2  2

 ] =− 72 ⋅ kNm 3

 ' 1P =− 1

EJ ⋅

3 ⋅ 3

[ 6 ⋅ 4 ⋅ 1 2 ⋅ 126  54 − 2

] = 1008 kNm 3

EJ − 1

2EJ ⋅

3 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 4 2

8 ⋅ 6

Po podstawieniu do równań kanonicznych otrzymujemy dwa równania z jedną niewiadomą:

{

EJ ⋅ Z 1  0 ⋅ Z 2 − 72

EJ = 0

0 ⋅ Z 1  90

EJ ⋅ Z 2  1008

EJ = 0

Po rozwiązaniu równań otrzymujemy wyniki:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

 ' 11 = 1

 ' 22 = 1

 ' 2P = 72

Część 1

10. METODA SIŁ - RAMA

{ Z 1 = 4 kN

Z 2 =− 11,2kN

Wydaje się, że wyniki są różne, ale analizując rys. 10.2 i rys. 10.6 okazuje się, że niewiadome X i są

odpowiednimi sumami zmiennych Z i :

X 1 = Z 1  Z 2 = 4 − 11,2 =− 7,2 kN

X 2 = Z 1 − Z 2 = 4 −− 11,2 = 15,2 kN

czyli uzyskaliśmy takie same wyniki unikając rozwiązywania skomplikowanego układu równań.

P = 54 kN

7,2 kN

15,2 kN

2 EJ

q = 9 kN/m

[m]

Rys. 10.9. Stan obciążenia siłami zewnętrznymi oraz nadliczbowymi siłami X 1 i X 2

Po otrzymaniu wartości niewiadomych X 1 i X 2 dokonujemy analizy końcowej zadania, czyli tworzymy

wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w układzie podstawowym, obciążonym zewnętrznie oraz przez siły

X 1 i X 2 (rys. 10.9). Wartości sił wewnętrznych możemy określić w oparciu o zasadę superpozycji. Sumując

wykresy momentów w układach podstawowych od obciążenia zewnętrznego M 0 P (rys. 10.5) i wykresy

jednostkowe M 1 (rys. 10.3), M 2 (rys. 10.4) przemnożone przez rzeczywiste wartości nadliczbowych X 1 i X 2 .

Podobnie możemy postąpić przy wyznaczaniu sił tnących i normalnych :

M P  n  = M O  ∑ i = 1

M i ⋅ X i

T P  n  = T 0  ∑ i = 1

T i ⋅ X i

(10.3)

N P  n  = N 0  ∑ i  1

N i ⋅ X i

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: