Elementy analizy funkcjonalnej 2.pdf

(395 KB) Pobierz
Elemanty analizy funkcjonalnej 2
Elementyanalizyfunkcjonalnej2
Spistre±ci
Rozdział1.Poj¦ciawst¦pne .............................................. 1
1.1.Przestrzeniemetryczne............................................... 1
1.2.Przestrzenieliniowe................................................. 2
1.3.Liniowaniezale»no±¢wektorów,bazaiwymiarprzestrzeniliniowej....................... 3
1.4.Przestrzenielinioweunormowane ......................................... 5
1.5.Zbie»no±¢ci¡gupunktówprzestrzenimetrycznej................................. 6
1.6.Przestrzenieunitarne................................................ 7
1.7.Ortogonalno±¢wprzestrzeniunitarnej ...................................... 8
1.8.Bazaortonormalnaprzestrzeniunitarnej ..................................... 8
Rozdział2.Ci¡giiszeregiortogonalne .......................................10
2.1.Ortogonalno±¢....................................................10
2.2. SzeregtrygonometrycznyFouriera.........................................11
2.2.1.Wła±ciwo±ciszeregówtrygonometrycznychFouriera...........................11
2.3.Przykład.......................................................12
Rozdział3.Wyznaczanieekstremalifunkcjonału .................................13
3.1.Poj¦ciawst¦pne...................................................13
3.2.Zadania .......................................................13
DodatekA.Zaliczenie ..................................................17
A.1.Rozwin¡¢wszeregtrygonometrycznyFourierafunkcj¦ .............................17
A.2.Znale¹¢ekstremal¦funkcjonału..........................................18
A.3.Krzywizna,ewoluta,ewolwenta..........................................18
DodatekB.Wzory ....................................................20
421749778.010.png
Rozdział1
Poj¦ciawst¦pne
1.1.Przestrzeniemetryczne
Niech X —zbiórdowolny
Definicja1.1. Metryk¡nazywamyfunkcj¦d : X × X ! R + [{ 0 } spełniaj¡c¡warunki
m1)d ( x,y )=0 () x = ydlaka»degox,y 2 X
m2)d ( x,y )= d ( y,x ) dlaka»degox,y 2 X
m3)d ( x,z ) ¬ d ( x,y )+ d ( y,z ) dlaka»degox,y,z 2 X (Aksjomattrójk¡ta)
d ( x,y )—uogólnionaodległo±¢ x od y
Definicja1.2. Przestrzeni¡metryczn¡nazywamystruktur¦ ( X ,d ) ,gdzie X jestniepustymzbiorem,adjest
metryk¡okre±lon¡nazbiorze X
Przykładyprzestrzenimetrycznych
1)(R , || )
d ( x,y )= | x − y |
m1) V
x,y 2 R
d ( x,y )=0 ,| x − y | =0 , x − y =0 , x = y
m2) V
x,y 2 R
d ( x,y )= | x − y | = |− 1 |·| x − y | = | ( − 1)( x − y ) | = | y − x | = d ( y,x )
m3) V
x,y,z 2 R
d ( x,y )= | x − z | = | ( x − y )+( y − z ) |¬| x − y | + | y − z | = d ( x,y )+ d ( y,z )
| a + b |¬| a | + | b |
6
y 2 y
r
x 2
x
x 1 y 1
-
Rys.1.1: Punktywprzestrzeni R 2
2)(R 2 ,d ) x =( x 1 ,x 2 ) y =( y 1 ,y 2 )
d ( x,y )= p ( x 1 − y 1 ) 2 +( x 2 − y 2 ) 2
metrykapitagorejska
3)(R
2 ,d m )
d ( x,y )= | x 1 − y 1 | + | x 2 − y 2 |
metrykamanhatta«ska
r
421749778.011.png 421749778.012.png 421749778.013.png 421749778.001.png 421749778.002.png
 
1.Poj¦ciawst¦pne
2
4)(R 2 ,d max )
d max ( x,y )=max {| x 1 − y 1 | , | x 2 − y 2 |}
metrykamaximum
5)(R n ,d ) x =( x 1 ,...,x n ) y =( y 1 ,...,y n )
t
d ( x,y )=
n X
( x i − y i ) 2
i =1
s n P
uogólnionametrykapitagorejska
m1) d ( x,y )=0 ,
( x i − y i ) 2 =0 ,
n P
( x i − y i ) 2 =0 , V
i
( x i − y i ) 2 =0 , V
i
x i − y i =0 ,
, V
i
i =1
i =1
x i = y i , x = y
s n P
s n P
s n P
s n P
m2) d ( x,y )=
( x i − y i ) 2 =
[( − 1)( y i − x i )] 2 =
( − 1) 2 ( y i − x i ) 2 ==
( y i − x i ) 2 = d ( y,x )
m3)Poniewa» V
x,y
i =1
i =1
i =1
i =1
d ( x,y ) ­ 0towystarczypokaza¢,»e
[ d ( x,y )+ d ( y,z )] 2 ­ [ d ( x,z )] 2
[ d ( x,z )] 2 =
n P
( x i − z i ) 2 =
n P
[( x i − y i )+( y i − z i )] 2 =
n P
[( x i − y i ) 2 +2( x i − y i )( y i − z i )+
i =1
i =1
i =1
n X
n P
n X
+( y i − z i ) 2 ]=
( x i − y i ) 2
| {z }
[ d ( x,y )] 2
+2
( x i − y i )( y i − z i )+
( y i − z i ) 2
| {z }
[ d ( y,z )] 2
i =1
i =1
i =1
n P
2
n P
n P
Znierówno±ciSchwarza–Cauchy’ego,któramówi,»e:
u i v i
¬
u 2 i
v 2 i
s n P
! s n P
!
i =1
i =1
i =1
n P
awszczególno±ci
u i v i ¬
u 2 i
v 2 i
mamy:
i =1
i =1
i =1
n X
t
n X
t
n X
( x i − y i )( y i − z i ) ¬
( x i − y i ) 2
( y i − z i ) 2
i =1
i =1
i =1
Zatem:
[ d ( x,y )] 2 ¬ [ d ( x,y )] 2 +2[ d ( x,y ) d ( y,z )]+[ d ( y,z )] 2 =[ d ( x,y )+ d ( y,z )] 2
n
( b 1 ,...,b n ): b i 2{ 0 , 1 } o
6) { 0 , 1 } n =
{ i : x i 6 = y i }
^
d ( x,y )=
x,y 2 X
x =( x 1 ,...,x n ) x i 2{ 0 , 1 }
y =( y 1 ,...,y n ) y i 2{ 0 , 1 }
=liczbapozycjinaktórych x i y si¦ró»ni¡=liczbajedynek(waga)wci¡gu x ± y
odległo±¢Haminga
1.2.Przestrzenieliniowe
Definicja1.3. Przestrzeni¡liniow¡(wektorow¡)nadzbiorem
K
(
K
=R lub
K
=C) nazywamydowolnyzbiór
X ,wktórymokre±lones¡działania:
^
( x,y ) 7! x + y 2 X
x,y 2 X
^
^
( ,x ) 7! · x 2 X
2 K
x,y 2 X
spełniaj¡cenast¦puj¡ceaksjomatyprzestrzeniliniowej:
GrzegorzJastrz¦bski
421749778.003.png 421749778.004.png 421749778.005.png 421749778.006.png
 
1.Poj¦ciawst¦pne
3
A1) V
x,y 2 X
x + y = y + x
A2) V
x,y,z 2 X
( x + y )+ z = x +( y + z )
A3) W
~ 0 2 X
V
x + ~ 0= x
A4) V
x 2 X
x 2 X
W
x +( − x )=0
A5) V
2
− x 2 X
V
( x + y )= x + y
A6) V
,µ 2 K
x,y 2 X
V
( + µ ) x = x + µx
A7) V
,µ 2 K
x 2 X
V
( µx )=( µ ) x
A8) V
x 2 X
x 2 X
1 · x = x
Przykłady:
=R
2) X =CnadK=R
2’) X =R 2 nad
K
K
=R 2)
=R
x =( x 1 ,...,x n ) y =( y 1 ,...,y n ) 2
K
K
x + y def = ( x 1 + y 1 ,...x n + y n )
x def = ( x 1 ,...,x n )
4) X –zbiórwszystkichmacierzywymiaru m × n nad
K
=R
A =[ a ij ] m × n B =[ b ij ] m × n
^
A + B def = [ a ij + b ij ]
A + B 2 X
^
^
A =[ a ij ]
2 R
A 2 X
5) X = C ( h a,b i )–zbiórwszystkichfunkcjici¡głychnaprzedziale h a,b i
^
^
( f + g )( t ) def = f ( t )+ g ( t )
f,g 2 X
t 2h a,b i
^
^
( f )( t ) def = f ( t )
2 R
f 2 X
1.3.Liniowaniezale»no±¢wektorów,bazaiwymiarprzestrzeniliniowej
Przykłady
1) X =R ~u,~v 2 R
-
~v ~u
-
0
~u || ~v , _
c 2 R
~u = c~v
Dowolnedwawektory ~u,~v 2 Rs¡liniowozale»ne
GrzegorzJastrz¦bski
K
1) X =Rnad
3) X =R n nad
421749778.007.png 421749778.008.png 421749778.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin