wykład 10.pdf
(
237 KB
)
Pobierz
2761523 UNPDF
10Funkcjawypukła,funkcjawkl¦sła.
Dzi¦kipoj¦ciupochodnejmo»nascharakteryzowa¢wypukło±¢lubwkl¦sło±¢funkcji.
Poj¦ciatewykorzystujesi¦przyopisieprzebiegufunkcji.Definicj¦wypukło±ci(±cisłej)
iwkl¦sło±ci(±cisłej)mo»nawyrazi¢wterminachgeometrycznych;
Definicja10.1
•
Funkcjajest±ci±lewypukłaje±liodcinekł¡cz¡cydwadowolneró»nepunkty
wykresufunkcjile»ywcało±ci(pozako«cami)ponadwykresemfunkcji.Funkcja
jestwypukłaje±liodcinekł¡cz¡cydwadowolneró»nepunktywykresufunkcji
le»yponadwykresemlubmapunktyznimwspólne.
•
Funkcjajest±ci±lewkl¦słaje±liodcinekł¡cz¡cydwadowolneró»nepunktywy-
kresufunkcjile»ywcało±ci(pozako«cami)podwykresemfunkcji.Funkcjajest
wkl¦słaje±liodcinekł¡cz¡cydwadowolneró»nepunktywykresufunkcjile»ypod
wykresemlubmapunktyznimwspólne.
Zwró¢myuwag¦,»eka»dafunkcjaliniowajestzarazemwkl¦słaiwypukłaniejestjednak
ani±ci±lewypukłaani±ci±lewkl¦sła.
Definicja10.2Punkt
p
dziedzinyfunkcjinazywamypunktemprzegi¦ciaje±linapew-
nymodcinku,któregoprawymko«cemjest
p
funkcjajest±ci±lewypukła(wkl¦sła)ina
pewnymodcinku,któregolewymko«cemjest
p
funkcjajest±ci±lewkl¦sła(odp.wypu-
kła).
Rys.10.4Funkcjawkl¦słana[
a,p
]iwypukłana[
p,b
],
p
-punktprzegi¦cia.
Poni»szetwierdzenie,któregodowódpomijamy,dajepraktycznenarz¦dziedoba-
daniawypukło±cifunkcjiprzypomocydrugiejpochodnej
1
Twierdzenie10.3Załó»my,»efunkcja
f
jestdwukrotnieró»niczkowalnanaodcinku
(
x,y
).
•
Je±li
f
00
(
z
)
0dla
z
2
(
x,y
)tofunkcja
f
jestwypukłana(
x,y
)
•
Je±li
f
00
(
x
)
¬
0dla
x
2
(
a,b
)tofunkcja
f
jestwkl¦słana(a,b).
•
Je±li
p
2
(
x,y
)jestpunktemprzegi¦ciato
f
00
(
p
)=0i
f
00
(
x
)zmieniaznakw
punkcie
p
.
Uwaga10.4Mo»naudowodni¢,»ewka»dymztrzechpowy»szychprzypadkówpraw-
dziwejesttak»etwierdzenieodwrotneczyliprawd¡jest,»e
Je±lifunkcja
f
jestdwukrotnieró»niczkowalnaiwypukłato
f
00
(
z
)
0dla
z
2
(
x,y
)
.
awi¦cpierwszezdaniemo»nazapisa¢wpostacirównowa»no±cianieimplikacji
Funkcja
f
,dwukrotnieró»niczkowalnajestwypukłana(
x,y
)w.t.w.gdy
f
00
(
z
)
0
dla
z
2
(
x,y
)
.
Podobniewdwóchpozostałychprzypadkach
Przykład10.5.Rozpatrzmyfunkcj¦
f
(
x
)=
x
2
dla
x
2
IR.Jesttofunkcjawypukłai
f
00
(
x
)=2dla
x
2
IRpodobniefunkcja
g
=
−
x
2
jestwkl¦słai
g
00
(
x
)=
−
2dla
x
2
IR.
Przykład10.6.Rozpatrzmyfunkcj¦
f
(
x
)=
x
3
dla
x
2
IR.Punkt
x
=0jestpunktem
przegi¦ciagdy»
f
00
(
x
)=6
x.
Dla
x<
0funkcjajestwkl¦słaadla
x>
0wypukła.
Poni»szetwierdzeniedajepraktyczn¡metod¦pozwalaj¡c¡okre±li¢czywdanym
punkciefunkcjamaminimumczymaksimumlokalne.
Stwierdzenie10.5Przyjmijmy,»efunkcja
f
:(
a,b
)
!
IRjestró»niczkowalnaw
otoczeniupunktu
x
0
2
(
a,b
)iistnieje
f
00
(
x
0
).
•
Je±li
f
0
(
x
0
)=0i
f
00
(
x
0
)
>
0to
f
maminimumlokalnew
x
0
,
•
Je±li
f
0
(
x
0
)=0i
f
00
(
x
0
)
<
0to
f
mamaksimumlokalnew
x
0
DowódRozwa»ymytylkopierwszyprzypadekgdy»drugijestbardzopodobny.Druga
pochodnafunkcji
f
wpunkcie
x
0
jestgranic¡ilorazuró»nicowegopierwszejpochodnej
wtympunkcie.
f
0
(
x
)
−
f
0
(
x
0
)
x
−
x
0
.
Skoro
f
0
(
x
0
)=0i
f
00
(
x
0
)
>
0todla
x
zdostateczniemałegootoczenia
x
0
f
0
(
x
)
x
−
x
0
>
0
.
Zatemdla
x>x
0
mamy
f
0
(
x
)
>
0adla
x<x
0
,f
0
(
x
)
<
0czyliwotoczeniupunktu
x
0
funkcjamalejenalewood
x
0
iro±nienaprawood
x
0
zatemw
x
0
jestminimum
lokalne.
f
00
(
x
0
)=lim
x
!
x
0
2
11Całka
Jesttojednoznajwa»niejszychpoj¦¢matematycznych.Beztegopoj¦ciatrudnoso-
biewyobrazi¢rozwójnaukprzyrodniczych.Zostałoonowprowadzonepodobniejak
poj¦ciepochodnejpodkoniecXVIIw.niezale»nieprzezIzaakaNewtona(1642-1727)
iGottfriedaLeibniza(1646-1716)irozwijaneprzenast¦pne200lat.Całkistosujesi¦
mi¦dzyinnymidoobliczaniapóliobj¦to±cifiguratak»eprzyrozwi¡zywaniurówna«
ró»niczkowych.
12Funkcjapierwotna,całkanieoznaczona
Zdefiniujemynajpierwpoj¦ciefunkcjipierwotnej.Niech
F
:
D
!
IR,gdzie
D
to
odcinekwIR.Je»eliwka»dympunkcie
x
2
D
istniejepochodna
F
tofunkcji
F
mo»emy
jednoznacznieprzyporz¡dkowa¢funkcj¦pochodn¡
f
=
F
0
:
D
!
IR.Odwrotnie,danej
funkcjici¡głej
f
mo»naprzyporz¡dkowa¢funkcje
F
tak¡,»e
F
0
=
f
.Jestonaokre±lona
jednoznaczniezdokładno±ci¡dostałejgdy»wtedydladowolnejstałej
c
(
F
(
x
)+
c
)
0
=
f
(
x
)
.
Definicja12.6Funkcj¦
F
tak¡,»e
F
0
=
f
nazywamyfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
.W
pewnymsensiecałkowaniejestoperacj¡odwrotn¡doró»niczkowania.
Np.
2
x
2
+
c
f
(
x
)=cos
xF
(
x
)=sin
x
+
c
f
(
x
)=
x
p
F
(
x
)=
1
p
+1
x
p
+1
+
c
;
p
6
=
−
1
.
Definicja12.7Całk¡nieoznaczon¡funkcji
f
nazywamyjejdowoln¡funkcj¦pier-
wotn¡ioznaczamy
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)+
c,
gdzie
F
0
(
x
)=
f
(
x
)
.
Funkcj¦
f
wtymkontek±cienazywasiefunkcj¡podcałkow¡.Naprzyklad
Z
1
x
dx
=ln
|
x
|
+
c
cowynikaznast¦puj¡cegorozumowania.Przyjmijmy,»e
x>
0.Skoro
e
ln
x
=
x
to
ró»niczkuj¡cterówno±¢po
x
dostajemy
e
ln
x
(ln
x
)
0
=1
3
f
(
x
)=
xF
(
x
)=
1
awiecdla
x>
0mamy
(ln
x
)
0
=
1
x
.
Dla
x<
0mamyza±ln
0
(
−
x
)=
1
−
x
(
−
1)=
1
x
idlategomo»emyzapisa¢
Z
1
x
dx
=ln
|
x
|
+
c.
Mo»nasprawdzi¢,»eje±li
a
jestpewn¡liczb¡to
Z
1
x
+
a
dx
=ln
|
x
+
a
|
+
c
13Całkaoznaczona,poleobszaru
Definicja13.8Całk¡oznaczon¡funkcji
f
:[
a,b
]
!
IRwgranicachod
a
do
b
nazywamyliczb¦
Z
b
a
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
−
F
(
a
):=
F
(
x
)
|
b
a
,
gdzie
F
jestdowoln¡funkcj¡pierwotn¡funkcji
f
.
Okre±lmyfunkcj¦górnejgranicycałkowania
x
7!
Z
x
a
f
(
s
)
ds.
Wtedy
Z
x
d
dx
a
f
(
s
)
ds
=
f
(
x
)=
d
dx
(
F
(
x
)
−
F
(
a
))=
f
(
x
)
.
(13.1)
Przyobliczaniucałekcz¦stowykorzystujesi¦nast¦puj¡c¡własno±¢.Niech
F
b¦dzie
funkcj¡pierwotn¡do
f
:[
x
1
,x
2
]
7!
IR.Rozpatrzmyfunkcj¦zło»on¡
g
(
x
)=
f
(
ax
+
b
)
gdzie
a
i
b
topewnestałe.Łatwosprawdzi¢,obliczaj¡cpochodn¡,»efunkcj¡pierwotn¡
do
g
zdokładno±ci¡dostałejjestfunkcja
G
(
x
)=
1
a
F
(
ax
+
b
)i
Z
x
2
g
(
x
)
dx
=
Z
x
2
f
(
ax
+
b
)
dx
=
1
a
(
F
(
ax
2
+
b
)
−
F
(
ax
1
+
b
))
.
(13.2)
x
1
x
1
Naprzykład
Z
2
1
e
5
x
+2
dx
=
1
e
12
−
e
7
.
5
Podstawowewłasno±cicałkioznaczonejwynikaj¡cezdefinicji:
4
•
Z
c
Z
b
Z
b
f
(
s
)
ds
+
f
(
s
)
ds
=
f
(
s
)
ds
(13.3)
a
c
a
gdzie
a
¬
c
¬
b,
bo
Z
c
a
f
(
s
)
ds
+
Z
b
c
f
(
s
)
ds
=
F
(
c
)
−
F
(
a
)+(
F
(
b
)
−
F
(
c
))
Z
b
a
f
(
s
)
ds.
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)=
•
je±li
A
jestdowoln¡liczb¡i
g
pewn¡funkcj¡ciagł¡to
Z
b
a
(
f
(
s
)+
Ag
(
s
)
ds
=
Z
b
a
f
(
s
)
ds
+
A
Z
b
a
Ag
(
s
)
ds
Z
b
a
g
(
s
)
ds.
=
Czylicałkasumyjestsum¡całekorazcałkazfunkcjiwymno»onejprzezpewn¡liczb¦
równajestcałceztejfunkcjiwymno»onejprzezt¦liczb¦.Własno±¢(13.3)sugeruje,
»edefinicj¦całkioznaczonejmo»narozszerzy¢nafunkcjekawałkamici¡głemówi¡c,»e
całkazfunkcjikawałkamici¡głejjestsum¡całekobliczonychnaprzedziałachci¡gło±ci
funkcji.
Przykład.11.1
0
xdx
=
1
2
x
2
|
1
0
=
1
2
Warto±¢tejcałkijestrównapolutrójk¡taprostok¡tnegowyznaczonegoprzezo±po-
ziom¡układuwspółrz¦dnychiwykresfunkcji
f
(
x
)=
x
.
Przezpolepodzbiorupłaszczyznymo»narozumie¢liczb¦równ¡sumienaogół
niesko«czonejliczbywszystkichpólkwadratówzawartychcałkowiciewtejfigurzeroz-
mieszczonychtak,»emog¡onemie¢wspólnejedyniefragmentyswoichkraw¦dzi.Rzecz
jasnaimdokładniejchcemypokry¢zbiórkwadratamitymmniejszychkwadratówmu-
simyu»y¢.Bytosobieuzmysłowi¢rozwa»mytrójk¡tprostok¡tny,któregopolechcemy
przybli»y¢zapomoc¡sumypólkwadratówzawartychwtrójk¡cie.Imdokładniejsze
przybli»enietymmniejszemusz¡by¢kwadratywypełniaj¡cewsumietrójk¡t.Jest
jasne,»e»adnasko«czonaliczbakwadratówniewystarczydocałkowitegopokrycia
trójk¡ta.
Je±lifiguraniejest”patologiczna”totak¡niesko«czon¡sum¦szeregupólkwadra-
tówzdefiniowa¢mo»najakopolezbioru.Tadefinicjawystarczadotegoabyokre±li¢
polefiguryograniczonejwykresemfunkcjici¡głejiosiamiwspółrz¦dnych,ponadto
umo»liwiawpraktyceobliczanieprzybli»onychwarto±cipółfigur.Niejesttojednak
dobraidostatecznieogólnadefinicjapola,boniedałobysi¦zmierzy¢wtensposób
5
Z
b
a
f
(
s
)
ds
+
Z
1
Plik z chomika:
biologia
Inne pliki z tego folderu:
wykład 10.pdf
(237 KB)
podstawy matematyki finansowej.pdf
(117 KB)
wykład 11.pdf
(327 KB)
wykład 9.pdf
(228 KB)
w3relacjezbiorynieskonczone_E.pdf
(236 KB)
Inne foldery tego chomika:
Anatomia
Biologia komórki
Botanika
Chemia
Chemia organiczna
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin