Wektory.pdf

Politechnika Gda«ska. Materiaªy pomocnicze do zaj¦¢. Oprac. Danuta Beger (Studium Nauczania Matematyki PG)

ZADANIA. RACHUNEK WEKTOROWY. GEOMETRIA ANALITYCZNA.

1. Dane s¡ wektory

~ a = [1;2;3]; ~ b = [2;3;1]; ~ c = [1;4;0]

A. Wyznaczy¢:

a) (2~ a ~ b ) ~ c

b) ( ~ a ~ b ) ~ c

c) ~ a (~ c ~ b )

d) ( ~ a ~ b ) ~ c

e) ~ c ~ a ~ c ~ b

f) (~ a ~ b )(~ c ~ a )

g) ( ~ a ; ~ b ; ~ c ) ~ a

h) (2~ a 3 ~ b ) (2~ c 3~ a )

B. Sprawdzi¢ czy wektory a ; b ; c s¡ liniowo niezale»ne

C. Znale¹¢ cosinus k¡ta mi¦dzy wektorami a i b oraz pole trójk¡ta rozpi¦tego mi¦dzy tymi wektorami

D. Obliczy¢ obj¦to±¢ czworo±cianu zbudowanego na wektorach ~ a ; ~ b ;~ c

2. Znale¹¢ dªugo±¢ wektora u = 2~ p 3~ q gdy: j~ p j= 2;j~ q j= 3 i k¡t mi¦dzy wektorami ~ p oraz ~ q wynosi 3

3. Dane s¡ punkty A(2, 1, -1), B(1, 0, 1) C(1, 2, 0)

A. Napisz równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkty A, B, C

B. Znajd¹ pªaszczyzn¦ 1 równo oddalon¡ o punktów A i B

C. Wyznacz odlegªo±¢ punktu C od tej pªaszczyzny

4. Napisz równanie pªaszczyzny:

A. przecinaj¡cej osie ukªadu w punktach A(3, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 1)

B. przechodz¡cej przez punkt A(-2, 1, 3) i równolegªej do pªaszczyzny 2 x y + 4 z = 1

C. przechodz¡cej przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych i prostopadªej do pªaszczyzn:

x + y + z 2 = 0 oraz x + 2 y z 1 = 0

D. przechodz¡cej przez punkt A (3;2;1) i zawieraj¡c¡ prost¡ x 1 = 2( y 2) = 3( z + 1)

E. przechodz¡cej przez punkt A (3;2;1) i równolegªa do wektorów u = [2;3;1]; ~ v = [1;4;0]

F. przechodz¡cej przez punkt A (0;2;1) i równolegªa do prostych l 1 : x 1 = 2( y 2) = 3( z +1); l 2 :

2 =

5. Napisz równanie kanoniczne i parametryczne prostej danej w postaci kraw¦dziowej:

2x - y + 3z = 1

x + 3y - 2z = -5

6. Napisz równanie prostej przechodz¡cej przez:

A. punkty A(1, 2, 3), B(0, -1, -4)

B. punkt A(1, -1, 2) i punkt przebicia pªaszczyzny 4 x y + 3 z =1 prost¡ x 1 =

3 = z

5 = z 1