Rachunek prawdopodobieństwa 29.10.2005
Klasyczny model r-ku pr-stwa
D - doświadczenie losowe
W - przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich pojedynczych wyników doświadczenia losowego
W klasycznym modelu r-ku pr-stwa zakłada się że przestrzeń zdarzeń elementarnych W jest zbiorem skończonym i każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny tj. W = {w1, w2……wn} i " 1 ≤ i ≤ n, P ({w1}) = 1/n
W tym modelu przez zdarzenie losowe rozumiemy dowolny podzbiór W
A zdarzenie losowe <=> A Ì W
2W rodzina wszystkich podzbiorów W
AÎ 2W <=> A Ì W
Np.:
W= {1,2,3}
2W={f, {1} {2}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
AÌ W to P(A)=
- liczba elementów zbioru A
W urnie jest M kul ponumerowanych liczbami 1,2……M losujemy n razy opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia losowego
1) losowanie bez zwracania
n≤M
a) próbka uporządkowana
w=(a1, a2,…an) : ai¹aj dla i¹j
a=1,2……M
W tym przypadku wjest n-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru M-elementowego
W={w:w=(a1, a2,…an) : ai¹aj dla i¹j
W= M (M-1)(M-2)*(M-n+1)=(M)n
b) próbka nieuporzadkowana
w=[a1, a2,…an] : ai¹aj dla i¹j
W tym przypadku w jest to n-elementowa kombinacja bez powtórzeń zbioru M-elementowego
n-elementowy podzbiór złożony z różnych elementów ze zbioru M-elementowego
W={w: w=[a1, a2,…an] : ai¹aj dla i¹j}
M!=1*2*…M 0!=1
2)losowanie ze zwracaniem
w=(a1, a2,…an) : ai=1,2,…M
W tym przypadku w jest n-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru M-elementowego
W={w:w=(a1, a2,…an) : ai=1,2,…M
b)próbka nieuporządkowana
w=[a1, a2,…an] : ai=1,2,…M i=1,2…n
W tym przypadku w jest to n-elementowa kombinacja z powtórzeniami zbioru M-elementowego
Rzucamy tak długo moneta aż pojawi się orzeł. Przestrzeń zdarzeń tego doświadczenia jest następująca:
W={O, RO, RRO, RRRO,…..}
Zbiór wyników tego doświadczenia losowego jest zbiorem przeliczalnym tzn. elementy tego zbioru możemy ustawić w ciąg nieskończony
Wykres…..
Przestrzeń W jest zbiorem nieskończonym, który nie jest zbiorem przeliczalnym.
Ogólny model r-ku pr-stwa
W - przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich pojedynczych wyników doświadczenia losowego D (W- zbiór nieskończony, przeliczalny lub nieprzeliczalny
F – rodzina podzbioru zbioru W spełniającego następujące warunki
1) WÎF
2) jeżeli AÎF to A’ = W\ AÎF
3)
Wtedy F nazywamy s (sigma) podzbioru W
Przez zdarzenie losowe będziemy rozumieć dowolny podzbiór W tj. F= 2W
Funkcję P: F®[0,1] spełniającą warunki:
1) P(W)=1 to unormowanie miary (pr-stwo zdarzenia pewnego równa się 1)
2) "
Ai ÙAj¹f dla i¹ j zachodzi równość:
Przeliczalna addytywność nazywamy funkcję pr-stwa lub pr-stw lub miara probabilistyczną
Uporządkowaną trójkę: (W, F, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną ® jest modelem matematycznym doświadczenia losowego
Pojecie zmiennej losowej
Niech (W, F, P) przestrzeń probabilistyczna funkcji X’ : W spełnia warunki "aÎR {wÎW : X(w)<a}ÎF nazywamy zmienną losową określoną na przestrzeni probabilistycznej (W, F, P)
(Nieprecyzyjna definicja zmiennej losowej)
Przez zmienną losową rozumiemy dowolną funkcję określona na W o wartościach R (X : W®R)
Oznaczenie Fx – dystrybuanta zmiennej losowej X
Funkcję Fx : R®[0,1]
"xÎR Fx(x)=P {wÎW ÷ X(w)<x}=P(X<x)
Nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej x
Dystrybuanta jest charakterystyką funkcyjną zmiennej losowej.
Zmienne losowe skokowe (dyskretne)
Niech X zmienna losowa określona na przestrzeni probabilistycznej (W, F, P)
c=x (W)= {x (w):wÎW}
Mówimy, że X jest zmienną losową skokowa (dyskretną) jeżeli jej zbiór wartości c jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym tj.
c={x1, x2,…xn} lub c ={x1, x2,x3…}
pi=P(X=x i) x iÎc
Zbiór {(xi, P) : xiÌc, pi=P(X=x i) nazywamy rozkładem pr-stwa zmiennej losowej X
Przykłady zmiennych losowych skokowych
1) X~Poiss (l),>0
P(X=k)= e -l *, k=1,2…..
Zbiorem wartości tej zmiennej jest zbiór wszystkich liczb całkowitych nieujemnych (³0)
2)X~Bin (n,p), nÎN, 0≤P≤1
Zmienna losowa X ma rozkład binominalny (2- mianowy) o parametrach n, p
P(X=k)= k=0,1….n
Zmienne losowe ciągłe
Mówimy, że X jest zmienną losową ciągłą jeśli istnieje funkcja f : R®R+ , taka, że "xÎR
Fx (x)=
Funkcje f nazywamy funkcją gęstości pr-stwa zmiennej losowej x
Przykłady zmiennej losowej ciągłej
1) X~Exp (a), a>0
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy (eksponencjalny) z parametrem a
2) X~N (m,s) m ÎR, s >0
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych
E(X) – wartość średnia lub wartość oczekiwana zmiennej X
1) X – zmienna losowa skokowa
a) c={x1, x2,…xn}
Pi=P(X=x i), i=1,2…. (P=pr-stwo)
wtedy
b) c={x1, x2,x3 …}
Pi=P(X=x i), i=1,2,3….
Wtedy przy założeniu, że szereg stojący po prawej stronie równości definicyjnej jest zbieżny bezwzględnie tj. że <∞
2) X zmienna losowa ciągła o funkcji gęstości pr-stwa f
Wtedy przy założeniu, że
Twierdzenie o własnościach wartości średnich
Niech X1, X2, X3 zmienne losowe określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej (W, F, P), zakładamy, że istnieją(są skończone) E(X1), E(X2) , E(X) wtedy istnieje wartość średnia
1) $ E(X1+X2) i zachodzi równość E(X1+X2) = E(X1) + E(X2)
2) "aÎR $ E(aX) i zachodzi równość E(aX)=aE(X)
3) "cÎR E(c)=c
Wartość średnia (oczekiwana) jest najważniejszą charakterystyka zmiennej losowej
...
luizaXd