Rozdział 12. Ciągi liczbowe              91

12.  Ciągi liczbowe

12.1.  Ogólne własności ciągów

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Jeżeli np. symbol a oznacza tę funkcję, to jej wartość dla argumentu n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy symbolem Jeżeli wyrazy ciągu są liczbami, to taki ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

Analogicznie funkcję postaci nazywamy ciągiem skończonym k-wyra­zowym.

Zgodnie z tradycją funkcję określającą ciąg o n-tym wyrazie oznaczamy symbolem lub , jeżeli chcemy podkreślić, że jest to ciąg skończony k-wyrazowy.

Uwaga. Czasami przyjmuje się za dziedzinę ciągu zbiór wszystkich liczb naturalnych i wów­czas pierwszym wyrazem takiego ciągu jest .

Ciągi liczbowe możemy określić:

1. przy pomocy wzorów ogólnych, np.

              2. rekurencyjnie, np. i dla

3. opisem słownym, np. „ oznacza n – tą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby ”

Ważną klasę ciągów stanowią ciągi monotoniczne. Są to ciągi, które są funkcjami mono­tonicznymi. Ponieważ w zbiorze liczb naturalnych każda liczba ma swój następnik, więc poszczególne definicje dają się przeformułować w następujący sposób:

Ciąg nazywamy ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy

Ciąg nazywamy ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy

Ciąg nazywamy ciągiem niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy

Ciąg nazywamy ciągiem nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy

              W analogiczny sposób wprowadza się pojęcie ograniczoności ciągu. A mianowicie, ciąg nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór jego wyrazów jest ograniczony, tzn., gdy

Jeżeli zachodzi tylko jedna z po­wyż­szych nierówności, to ciąg nazywamy, odpowiednio, ograniczonym z góry lub ograniczonym z dołu.

Przykłady. a) Ciąg o wyrazach zdefiniowanych wzorem

jest ciągiem rosnącym, ograniczonym z dołu i nieograniczonym z góry.

b) Ciąg o wyrazach

nie jest ciągiem monotonicznym, ale jest ciągiem ograniczonym.

c) Ciąg gdzie

nie jest ciągiem monotonicznym, jak również nie jest ciągiem ograniczonym, zarówno z dołu, jak i z góry.

d) Pokażemy dla przykładu, że ciąg zdefiniowany następująco:

jest ciągiem rosnącym.

Rozwiązanie. Mamy

skąd dla każdego

12.2.  Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne

              Ciąg , skończony lub nieskończony, nazywamy ciągiem arytmetycznym, gdy każdy jego wyraz, oprócz pierwszego, powstaje poprzez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r. Liczbę tą nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Przykład. Ciąg określony wzorem

jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie i różnicy Rzeczywiście, dla dowolnego n mamy

Poniższe twierdzenia opisują własności ciągu arytmetycznego:

Niech będzie ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie i różnicy r. Wtedy

i) dla każdego n prawdziwy jest wzór

ii) ciąg jest:

                            rosnący, gdy

                            malejący, gdy

                            stały, gdy

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy:

i) każdy wyraz tego ciągu, oprócz pierwszego i ewentualnie ostatniego, jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich;

ii) suma n pierwszych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem

W skończonym n-wyrazowym ciągu arytmetycznym suma każdych dwóch

wyra­zów jednakowo oddalonych od początku i od końca ciągu jest stała i wynosi .

Przykład. Kamień spada na Ziemię z wysokości 210 metrów. Zbadamy ile metrów przebywa kamień w ostatniej sekundzie, jeżeli prędkość początkowa wynosi 5 m/s, a przy­spieszenie ziemskie 10 m/s.

Rozwiązanie. Przypomnijmy wzór na drogę w ruch jednostajnie przyspieszonym:

gdzie jest drogą przebytą w czasie t, - prędkością początkową, g - przyspieszeniem ziemskim.

Spadający kamień w ciągu n-tej sekundy przebędzie drogę wynoszącą:

Dla m/s i m/s otrzymujemy:

              .

Ciąg , gdzie jest ciągiem arytmetycznym o różnicy i .

Załóżmy, że w ciągu n sekund kamień przebędzie drogę 210m. Wówczas

Podstawiając podane wartości i g, otrzymujemy równanie:

W czasie ostatniej, czyli szóstej sekundy, kamień przebędzie drogę:

              [m].

              Ciąg skończony lub nieskończony, nazywamy ciągiem geometrycznym, gdy każdy jego wyraz, oprócz pierwszego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i stałej liczby q. Liczbę tą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Przykład. Ciąg określony wzorem

jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie i ilorazie .

Poniższe twierdzenia opisują własności ciągu geometrycznego:

Niech będzie ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie i ilorazie q. Wtedy

i) dla każdego n prawdziwy jest wzór

ii) ciąg jest:

                            rosnący, gdy i q>1 lub i

                            malejący, gdy i lub i

                            stały, gdy lub

              iii) suma n pierwszych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem

Ciąg jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego wyrazu tego ciągu, oprócz pierwszego i ewentualnie ostatniego, jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich.

Przykład. Lokaty pieniężne składane są w bankach  na ogół na tzw. procent składany. Procentem składanym nazywamy sposób oprocentowania lokaty pieniężnej, polegający na tym, że po ustalonym okresie czasu do złożonego kapitału dolicza się odsetki od niego i w następnym okresie oprocentowuje się kapitał wraz z odsetkami. Doliczanie odsetek do lokaty, to kapitalizacja odsetek, a okres, po którym się je dolicza – ...