Rozdział 13. Trygonometria 110
Przypomnijmy na wstępie, że jeżeli dane są dwie półproste p, q o wspólnym początku A leżące w ustalonej płaszczyźnie Π, to każdą z części, na jakie dzielą one tę płaszczyznę, wziętą wraz z tymi półprostymi, nazywa się kątem płaskim o ramionach p, q i wierzchołku A. Używając języka współczesnej matematyki, można powiedzieć, że kąt płaski jest trójką postaci gdzie p, q są półprostymi o wspólnym początku A, K jest podzbiorem płaszczyzny Π, w której zawarte są półproste p oraz q. Ponadto oraz brzeg zbioru K równa się zbiorowi Ilustruje to poniższy rysunek:
Π
Aby zdefiniować miarę kąta płaskiego, ustalmy odcinek jednostkowy i naszkicujmy okrąg o środku A i promieniu 1. Częścią wspólną tego okręgu i kąta K jest łuk L (patrz rysunek powyżej). Idea mierzenia kąta K polega na porównaniu długości łuku L z długością analogicznego łuku dla ustalonego kąta wzorcowego, np. kąta półpełnego, i przyjęciu jako miary kąta K liczby równej proporcjonalnej części miary kąta wzorcowego. W matematyce stosuje się głównie dwie miary:
a) miarę w stopniach, w której kąt półpełny ma 180 stopni, w zapisie
b) miarę łukową, w której kąt półpełny ma π tzw. radianów, w zapisie π.
Formalnie w obu powyższych przypadkach miary kąta K wyrażają się wzorami:
ad a)
ad b)
Drugi z podanych wzorów uzasadnia, dlaczego zdefiniowana przez niego miara nazywa się łukową. Dodajmy, że stosuje się również następujące jednostki do mierzenia kątów: gradusy w geodezji, rumby w żegludze i żeglarstwie, tysięczne w wojsku. Poniższa tabela podaje miary przykładowego kąta pełnego w poszczególnych jednostkach:
stopnie
radiany
gradusy
rumby
tysięczne
360
2 π
400
32
6400
Mówiąc o różnych jednostkach miary kąta musimy dodać, że dzieli się na 60 minut, w zapisie a 1 minuta kątowa to z kolei 60 sekund kątowych, w zapisie Przykładowo, zapis oznacza miarę kąta równą 37 stopni + 51 minut + 28 sekund.
W dalszym ciągu skupimy się na kwestii przeliczania jednostek między miarą stopniową a miarą łukową zwaną także miarą naturalną. W pewnych przypadkach szczególnych możemy skorzystać z tabeli:
0
Przykład. Wyrazimy w radianach miarę kątów równe
Rozwiązanie. Mamy
Przykład. Przeliczymy na stopnie następujące ilości radianów:
W ogólnym przypadku możemy skorzystać z tzw. reguły trzech, która ma zastosowanie w zagadnieniach dotyczących proporcjonalności prostej. Jest to celowe szczególnie w przypadkach przeliczania stopni na radiany.
Przykład. Wyliczymy równowartość w radianach oraz
Rozwiązanie. Oznaczając przez x szukaną liczbę radianów, mamy proporcję:
Zatem
W drugim przypadku z proporcji
wynika, że
Załóżmy, że wszystkie obiekty geometryczne, o których będzie mowa, leżą w ustalonej płaszczyźnie Π. Przyjmijmy prócz tego, że ustalony został odcinek jednostkowy, a kąty płaskie mierzone są przy pomocy miary łukowej.
Zanotujmy najpierw następujący, oczywisty fakt:
Jeżeli T jest ustaloną liczbą dodatnią, to dla każdej liczby nieujemnej v istnieją takie, jednoznacznie określone: liczba liczba naturalna n, że
Niech p będzie półprostą o wierzchołku A oraz Z poprzedniej własności wynika, że w sposób jednoznaczny określone są: liczba naturalna n oraz liczba że
skąd
Przyporządkujmy półprostej p półprostą q o tym samym początku A tak, aby powstał kąt płaski o mierze Aby zagwarantować sobie jednoznaczność tej operacji, przyjmijmy dodatkowe założenie, że:
a) jeżeli to półprosta q powstała z półprostej p w wyniku obrotu o środku A w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara o kąt płaski K o mierze
b) jeżeli to półprosta q powstała z półprostej p w wyniku obrotu o środku A w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara o kąt płaski K o mierze
W związku z tym parę nazywać będziemy kątem skierowanym o wierzchołku A, ramieniu początkowym p i mierze t. Ponadto prostą q nazywać będziemy ramieniem końcowym definiowanego kąta skierowanego. Ponieważ miara kąta pełnego wynosi więc liczbę n występującą w rozkładzie , jeżeli jest ona różna od zera, można zinterpretować jako ilość...
Koteciek