Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 24
Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
Rozwiązania
x = Acoswt
v = dx/dt = Awsinwt
a = d2x/dt2 = – Aw2coswt
przy warunku w = (k/M)1/2.
Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Załóżmy, że w chwili początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek qm, a prąd przez cewkę jest równy zeru.
Energia zawarta w kondensatorze
WC = qm2/(2C) (24.1)
jest maksymalna, a energia w cewce
WL = LI2/2 (24.2)
jest równa zeru.
Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie prąd I = dq/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu.
Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko kondensator jest naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku (prądu).
Z prawa Kirchoffa
UL + UC = 0
(24.3)
Ponieważ I = dq/dt więc
(24.4)
To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym następujące wielkości są analogiczne
q « x, L « M, 1/C « k
Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania
q = qmcoswt
I = dq/dt = qmwsinwt = Imsinwt
w = (1/LC)1/2 (24.5)
gdzie Im = qmw
UL = - LdI/dt = – LImwcoswt
UC = q/c = (qm/C)coswt
Ponieważ
LImw = Lqmw2 = Lqm(1/LC) = qm/C
widać, że amplitudy napięć są takie same.
Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C. Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w wykładzie 12, przy czym współczynnik tłumienia 1/2t jest równy R/2L.
Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym
Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, C oraz źródło SEM ma postać
(24.6)
różniczkując po dt
(24.7)
albo
(24.8)
To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L « 1/t, 1/LC « w02 oraz wU0/L « a0.
Rozwiązanie ma więc analogiczną postać .
Amplituda wynosi więc
(24.9)
a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem
(24.10)
Wyrażenie (24.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy U0 i I0
(24.11)
pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją (zawadą) obwodu.
Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy do kondensatora to
Stąd
co dla U=U0sinwt daje
Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 90°.
Maksymalny prąd I0 = U0/(wC) a stała proporcjonalności 1/wC pełniąca rolę analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową.
XC = 1/wC (24.12)
Jeżeli generator prądu zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie można pokazać, że
Prąd pozostaje za napięciem o 90°, a reaktancja indukcyjna ma wartość
XL = wL (24.12)
Zauważmy, że w obwodzie RLC, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych.
Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć.
...
pkoszla